1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (Свешников - Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций), страница 4

Скорости этих точек постоянны и равны соответственно и и в В фиксированный момент времени расстояние АВ=г (г > Я), а угол между линией АВ и вектором ч равен [э. Считая все направления движения точки А равновозмож-ными, определить вероятность попадания точки А в круг. 8 4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей Основные формулы Условной вероятностью Р(А~В) события А называется вероятность появления этого события, вычисленная в предположении, что имело место событие В. События А и В независимы, если Р (А ( В) = Р (А).

Вероятность произведения двух событий определяется по формуле Р (АВ) = Р (А) Р (В ) А) = Р (В) Р (А ) В), которая обобщается на произведение и событий: / и 1 / ! !!-! Р Ц! А 1=Р(А)Р(А ~А)Р(А ~АА ! ... Р(А ) пА ) =1 Ф=.1 События Аь Ав ..., А„независимые, если для любого и (т=2,3,...,п) и любых ~у(!=1,2,...,п), 1[к!< й~<...< Й [и Р[[!А~~ ПР(А,!. Решение типовых примеров Пример 4.1. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательнио соединенных элементов. Определить вероят- ность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0,3; 0,4 и 0,6. Как изменится искомая вероятность, если первый элемент не выходит из строя? Решение.

Искомая вероятность равна вероятности того, что не выйдут из строя все три элемента. Пусть событие Аь означает, что Ьй элемент не выйдет из строя (А =1, 2, 3). Тогда р =Р (А~АгАз). Так как события независимы, то р = Р(А~) Р(Аг) Р(Аз) = 0,7 ° 0,6 ° 0,4 = 0,168. Если первый элемент не выходит из строя, то р = Р(Аз Аз) = 0,24.

Аналогично решаются задачи 4.1 — 4.10. Пример 4.2. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4',4 всей продукции являются браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта. Решение. Пусть событие А состоит в том, что выбранное изделие небракованное, а событие  — выбранное изделие первосортное. Дано; Р (А) =1 — 0,04= 0,96, Р (В ! А) =0,75. Искомая вероятность р = Р (АВ) = 0,96 ° 0,75 = 0,72. Аналогично решаются задачи 4.11 — 4.19. Пример 4,3. Партия .из ста деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непринятой, если она содержит 5Я неисправных деталей? Решение.

Найдем вероятность д противоположного события, А которое заключается в том, что партия деталей будет принята. Данное событие является произведением пяти событий А = А~А~АзА~А~, где Аь (?г =1, 2, 3, 4, 5) означает, что Й-я проверенная деталь доброкачественная. Вероятность события А~ Р (А~) = 95/100 так как всего деталей 100, а исправных 95. После осуществления события А~ деталей останется 99, среди которых исправных 94, по этому Р(А~~ А~)=94/99.

Аналогично Р (Аз! А~Аг)= =99/98 Р(А~! АгАгАз) = 97 и Р(А„, ~ А,АгАгА4) = —, 92 91 По общей формуле находим 95 94 98 92 91 — — —: — ° — = 0,77. 100 99 98 ' 97 96 Задачи 4.1. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Определить вероятность хотя бы одного попадания в мишень. 4.2. Вероятность выхода из строя 1-го блока вычислительной машины за время Травнар„~1,2, ..., и).

Определить вероятность выхода из строя за указанный промежуток времени хотя бы одного из и блоков этой машины, если работа всех блоков взаимно независима. 4.3. Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события.

Определить вероятность того, что придется производить четвертый опыт. 4.4. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором три. Найти вероятность того, что все детали первосортные. 4.5. Разрыв электрической цепи может произойти вследствие выхода из строя элемента К или двух элементов К1, и Кя которые выходят из строя независимо друг от друга соответственно с вероятностями 0,3; 0,2 и 0,2.

Определить вероятность разрыва электрической цепи. 4.6. Работа прибора прекратилась вследствие выхода из строя одной лампы из общего числа М Отыскание этой лампы производится путем поочередной замены каждой лампы новой. Определить вероятность того, что придется проверять и ламп, если вероятность выхода из строя каждой лампы равна р. 4.7.

Сколько нужно взять чисел из таблицы случайных чисел, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что среди них хотя бы одно число четное? 4.8. Вероятность того, что в результате четырех независимых опытов событие А произойдет хотя бы один раз, равна половине. Определить вероятность появления события при одном опыте, если она во всех опытах остается неизменной. 4.9. В круг радиуса Я вписан равносторонний треугольник.

Какова вероятность того, что четыре наугад поставленные в данном круге точки окажутся внутри треугольника? 4.10. Определить вероятность того, что написанная наудачу простая дробь несократима (задача Чебышева). 4.11. События А и В несовместны, Р(А) не =0 и Р ~В) не = О. Зависимы ли данные события? 4.12. Вероятность того, что в электрической цепи напряжение превысит номинальное значение, равна рь При повышенном напряжении вероятность аварии прибора — потребителя электрического тока равна ря Определить вероятность аварии прибора вследствие повышения напряжения.

4.13. На участке АВ для мотоциклиста-гонщика имеются 12 препятствий, вероятность остановки на каждом из которых равна 0,1. Вероятность того, что от пункта В до конечного пункта С мотоциклист проедет без остановки, равна 0,7. Определить вероятность того, что на участке АС не будет ни одной остановки. 4.14. Три игрока играют на следующих условиях.

Сначала против первого последовательно ходят второй и третий игроки. При этом первый игрок не выигрывает, а вероятности выигрьппа для второго и третьего игроков одинаковы . и равны 0,3. Если первый игрок не проигрывает, то он делает по одному ходу против второго и третьего игроков и, выигрывает у каждого из них с вероятностью 0,4. После этого игра заканчивается. Определить вероятность того, что в результате такой игры первый игрок выитрает хотя бы у одного партнера.

4 15. Вероятность попадания в первую мишень для данного стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения, обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определить вероятность поражения второй мишсни. 4.16. Детали могут быть изготовлены с применением двух технологий: в первом случае деталь проходит три технические операции, вероятности получения брака при каждой из которых равны соответственно 0,1, 0,2 и 0,3. Во втором случае имеются две операции, вероятности получения брака при которых одинаковы и равны 0,3. Определить, какая технология обеспечивает большую вероятность получения первосортной продукции, если в первом случае для доброкачественной детали вероятность получения продукции первого сорта равна 0,9, а во втором 0,8.

4.17. Вероятности того, что любая деталь окажется бракованной в результате механической и термической обработки, равны соответственно р~ и р~ Вероятности того, что брак является неустранимым, соответственно равны рз ир~. Определить: а) какое количество деталей необходимо взять после механической обработки, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что хотя бы одна из них будет сдана доброкачественной в термическую обработку с учетом возможности устранения брака; б) вероятность того, что хотя бы одна из трех деталей будет иметь неустранимый брак после прохождения сначала механической, а затем термической обработки.

4.18. Показать, что если условная вероятность Р~А(В) больше безусловной вероятности Р ~А), то и условная вероятность Р ф ~ А) больше безусловной вероятности Р ~В). 4.19. Мишень состоит из двух концентрических кругов с радиусами к„и /л„, где к < л. Считая равновозможным попадание в любую часть круга радиуса ш; определить вероятность того, что при двух выстрелах будет одно попадание в круг радиуса Й.. 4.20. С помощью шести карточек, на которых написано по одной букве, составлено слово «карета». Карточки перемешиваются, а затем наугад извлекаются по одной.

Какова вероятность, что в порядке поступления букв образуется слово «ракета»? 4.21. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места. Как изменится вероятность, если известно,что последняя цифра нечетная? 4.22. В лотерее п билетов, из которых и выигрышных.

Какова вероятность выиграть, имея к билетов? 4.23. В лотерее из сорока тысяч билетов ценные выигрыши падают на три билета. Определить: а) вероятность получения хотя бы одного ценного выигрыша на тысячу билетов; б) сколько необходимо приобрести билетов, чтобы вероятность получения ценного выигрыша была не менее 0,5. 4.24.