1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (Свешников - Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций), страница 2

Когда возможны равенства: а) А + В = А;; б) АВ = А:,; в) А +. В = АВ З 1.10. Найти случайное событие Хиз равенства Х + А+ Х -+ А = В. 1.11. Доказать, Что АВ+ АВ+ АВ = АВ. 1.12. Доказать эквивалентность и справедливость дующих двух равенств: л !! ДА»=П А„, 1.13. Совместны ли события А в А+. В! 1.14. Доказать, что события А, АВ л А+ В образуют полную группу. 1.15. Два шахматиста играют одну партию. Событие А— выиграет первый игрок,  — выиграет второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий? 1.1б. Машинно-котельная установка, состоит из двух котлов и одной мапшны.

Событие А — исправна машина, событие В» (к = 1, 2) — исправен А=й котел. Событие С означает работоспособность машинно-котельной установки, что будет в том случае, если исправны машины и хотя бы один котел. Выразить события С в С через А и Вь 1.17. Судно имеет одно рулевое устройство, четыре котла и две турбины. Событие А означает исправность рулевого устройства. Вь (к =1, 2, 3, 4) — исправность 1-го котла, а С. () = 1, 2) — исправность у-й турбины. Событие 1) — судно управляемое, что будет в том случае, когда исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина. Выразить события )Э я О через А и Вь 1 18.

Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. События: Аь (к = 1, 2) — исправен 1-й блок первого типа, В Д = 1, 2, 3) — исправен)-й блок второго типа. Прибор работает, если исправны хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа. Выразить событие С, означающее работу прибора, через А» и В . 8 2. Непосредственный подсчет вероятностей Основные формулы Если результат опыта можно представить в виде полной группы событий, которые попарно несовместны и равновозможны. то вероятность события равна отношению числа и благоприятствующих этому событию исходов опыта к общему числу л всех возможных исходов, т. е, Р» .

Под равно- возможными понимаются события, которые в силу тех или других причин (например, симметрии) не имеют объективного преимущества одно перед другим. Решение типовых примеров Пример 2.1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера.

Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь две окрашенные стороны. Решение. Всего кубиков л =1000. Куб имеет 12 ребер, на каждом из которых по 8 кубиков с двумя окрашенными сторонами. Поэтомуотш=12 ° 8=96, Р= » =0,096. Аналогично решаются задачи 2.1 — 2.7. Пример 2.2.

Определить вероятность того, что последние две цифры у куба наудачу взятого целого числа %равны единице'). Решение. Представим А7в виде Ь7= а+10Ь+..., где а, Ь, ...- произвольные числа, могущие принимать любые значения от 0 до 9 включительно. Тогда У' = а'+ ЗОа Ь+.... Отсюда видно, что на две последние цифры у У~ влияют только значения а и Ь. Поэтому число возможных значений л = 100. Так как последняя цифра у 1»1~ равна единице, то имеется одно благоприятствующее значение а = 1. Кроме того, должна быть »11 единицей последняя цифра " То т. е. должно оканчиваться на единицу произведение ЗЬ. Это будет только при Ь = 7. Таким образом, благоприятствующее значение единственное (а = 1, Ь = 7), поэтому р=О,О1.

Аналогично решаются задачи 2.8 — 2. 11. Пример 2.3. В партии из и изделий й бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки»»2 изделий ровно 1 окажутся бракованными. Решение. Число возможных способов взять и изделий из и равно С . Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа к бракованных изделий взято 1 (это можно 1 сделать ~» способами), а остальные»л — 1 изделий не бракованные, т. е. они взяты из общего числа л — к (количество ~»-11 способов равно С -»). Поэтому число благоприятствующих ~Е ~п1 -1 и-» 1 т-С 7» ж случаев равно С»С'» . Искомая вероятность будет Аналогично решаются задачи 2.12- — 2.20.

Пример 2.4. Из полного набора костей домино наудачу берутся пять костей. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна с шестеркой. Решение. Найдем вероятность д противоположного события. Тогда р = 1- д. Вероятность того, что все взятые пять костей не содержат птестерки (см. пример 2.3), равна 7 21 ~21 р=1 — — =0.793 с»в поэтому Аналогично переходом к противоположному событию решаются задачи 2.21, 2.22. Задачи 2.1.

Лотерея выпущена на общую сумму и рублей. Цена одного билета г рублей. Ценные выигрыши падают на и билетов. Определить вероятность ценного выигрьппа на один билет. 2.2. Случайно выбранная кость домино оказалась не дублем. Найти вероятность того, что вторую также взятую наудачу кость домино можно приставить к первой. 2З.

В колоде 36 карт четырех мастей. После извлечения и возвращения одной карты колода перемешивается и снова извлекается одна карта. Определить вероятность того, что обе извлеченные карты одной масти. 2.4. Буквенный замок содержит на общей оси пять дисков, каждый из которых разделен на шесть секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка.

Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв. 2.5. Черный и белый короли находятся соответственно на первой и третьей горизонталях шахматной доски. На одно из незанятых полей первой или второй горизонтали ° наудачу ставится ферзь. Определить вероятность того, что образовавшаяся позиция матовая для черного короля, если положения королей равновозможны на любых полях указанных горизонталей. 2.6.

В кошельке лежат три монеты достоинством по 20 коп. и семь монет по 3 коп. Наудачу берется одна монета, а затем извлекается вторая монета, оказавшаяся монетой в 20 коп. Определить вероятность того, что и первая извлеченная монета имеет достоинство в 20 коп. 2.7. Из партии деталей, среди которых и доброкачественных и и бракованных, для контроля наудачу взято з штук. При контроле оказалось, что первые Й из з деталей доброкачественны. Определить вероятность того, что следующая деталь будет доброкачественной. 2.8. Определить вероятность того, что выбранное наудачу целое число Ф при а) возведении в квадрат; б) возведении в четвертую степень; в) умножении на произвольное целое число даст число, оканчивающееся единицей. 2.9. На десяти одинаковых карточках написаны различные числа от нуля до девяти.

Определить вероятность того, что наудачу образованное с помощью данных карточек а) двузначное число делится на 18; б) трехзначное число делится на 36. 2.10. Определить вероятность того, что серия наудачу выбранной облигации не содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001. 2.11.

Десять книг на одной полке расставляются наудачу, Определить вероятность того, что при зтом три определенные книги окажутся поставленными рядом. 2.12. На восьми одинаковых карточках написаны соответственно числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12. и 13. Наугад берутся две карточки. Определить вероятность того, что образованная из двух полученных чисел дробь сократима. 2.13. Имеется пять отрезков, длины которых равны; соответственно 1, 3, 5, 7 и 9 единицам. Определить вероятность того, что с помощью взятых наудачу трех отрезков из данных пяти можно построить треугольник. 2.14.

Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов: а) один выигрышный; б) оба выигрышных; в) хотя бы один выигрьппный. 2.16. Обобщение задачи 2.14. Имеются л + и билетов, из которых и выигрышных. Одновременно приобретаются 1г билетов. Определить вероятность того. что среди них з выигрышных.

2.16. В генуэзской лотерее разыгрываются девяносто номеров, из которых выигрывают пять. По условию можно ставить ту или иную сумму на любой из девяноста номеров или на любую совокупность двух, трех, четырех или пяти номеров. Какова вероятность выигрыша в каждом из указанных пяти случаев? 2.17. Для уменьшения общего количества игр 2п команд спортсменов разбиты на две подгруппы.

Определить, вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся. а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе. 2.18. В заде, насчитывающем п+А мест, случайным образом занимают места п человек. Определить вероятность того, что будут заняты определенные в [ и мест. 2.19. Из колоды карт (52 карты) наугад извлекаются три карты. Найти вероятность того„что это будут тройка. семерка и туз. 2.20.

Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются три карты. Определить вероятность того, что сумма очков этих карт равна 21, если валет составляет два очка, дама - три, король- четыре, туз - одиннадцать, а остальные карты- соответственно шесть, семь, восемь, девять и десять очков. 2.21. Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю три билета по три рубля и два билета по пяти рублей. Наугад берутся три билета.

Определить вероятность того, что: а) хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость; б) все три билета стоят семь рублей. 2.22. Очередь в кассу, где производится продажа билетов по 5 коп, состоит из 2п человек. Какова вероятность того, что ни одному из покупателей не придется ждать сдачи, если перед продажей билета первому покупателю из очереди у кассира было только 2т пятаков, а получение платы за каждый билет равновозможно как пятаком, так и гривенником? 8 3.