1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (Свешников - Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций), страница 10

Сколько чисел необходимо взять из таблицы случайных чисел, чтобы с наиболыпей вероятностью обеспечивалось появление среди них трех чисел, оканчивающихся цифрой 7? 8З7. Вероятность попадания в десятку при одном выстреле р = 0,2. Сколько нужно произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,9. попасть в десятку хотя бы один раз? 8.38. За один цикл автомат изготовляет 10 деталей. За какое количество циклов вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее 0,8, если вероятность того, что любая деталь бракованная, равна 0,01? 8.39. На прямой через 60 см один от другого расположены центры окружностей, диаметры которых одинаковы и равны 1 см. Несколько таких прямых устанавливаются параллельно друг другу в одной плоскости, причем относительный сдвиг линий равновозможен на любую величину от 0 до 60 см.

Перпендикулярно этим линиям в той же плоскости перемещается круг радиуса 7 см. Какое количество линий должно быть, чтобы вероятность пересечения окружности перемещающегося круга с какой-либо окружностью была не менее 0,9? 8.40. Из ящика, в котором 20 белых и 2 черных шара, и раз извлекаются шары по одному, причем после каждого извлечения шар возвращается. Определить наименьшее число извлечений, при котором вероятность достать хотя бы один раз черный шар будет больше половины.

8.41. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Произведено 10 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность. 8.42. Найти наивероятнейшие числа отрицательных и положительных ошибок и соответствующую вероятность при четырех измерениях, если при каждом измерении вероятность получения положительной ошибки равна 2~3. а отрицательной — 1/3. й 9, Полиномиальное распределение.

Рекуррептные формулы. Производящие функции Основные формулы Вероятность того, что при п независимых опытах, в каждом из которых может произойти только одно из событий Аь Аа ..., А,соответственно с вероятностями рь рь ..., р,события А~(А = ~ ии=п~ 1, 2, ..., т) произоццуг ровно ли раз ~~=1 ! „определяется формулой полиномиального распределения и ~ й~ ~,„ ! п1иил,,...,п = „~, ~ и ~ Р1 Ри ° ° ° Р~ Вероятность Р„.„~,„2 „является коэффициентом при и"1и"й...

и"35 в следующей производящей функции: О(и,, ие ..., и ) =(Р,и,.+Р~и~+ ....+Р,„и )" Производящая функция для л + Ж независимых опытов является произведением производящих функций для и и соответственно для %опытов. Использование этого свойства часто существенно упрощает вычисление искомых вероятностей. Для этих же целей применяется соответствующая замена аргументов в производящей функции.

Если, например, нужно определить вероятность того, что событие А~ при л испытаниях появится на 1 раз больше, чем событие Аь то в производящей функции следует положить иг = 1/и, и~ = и, и = 1() = 3, 4, ..., и1). Искомая вероятность является коэффициентом при и в разложении по степеням а функции 1 ам~=(рр Х-~~р .

а а р = — ~В 1,2» ., ) з=з и требуется определить вероятность того, что сумма номеров появившихся событий равна г, то искомая вероятность является коэффициентом при и' в разложении по степеням и функции О(и)= — „и" (1+ '+ ... + ')" = — „~ 1 При разложении О(и) в ряд удобно для (1 - и) " .использовать следующее разложение: (1 — и) "= 1+С„" и.+ь',"~+~й+ С +Ф, + Факториалы больших чисел могут быть найдена на таблицы логарифмов, этих величин [2Т) или вычислены по формуле? Стирлинга и1 =вийи ~1 +)э +эаа ~+ ) 1 1 Вероятность появления события при л опытах иногда может быть получена с помощью соотношений (рекуррентных формул) вида Ри = ииРд-1+ инРа-о где а1 и Ьь — известные постоянные.

Искомая вероятность определяется переходом от л к л + 1 после расчета по исходным данным вероятностей для нескольких значений Й. Решение типовых примеров Пример 9.1. Вероятности того, что диаметр любой детали меньше допустимого, больше допустимого и в допустимых пределах, равны соответственно 0,05; 0,10 и 0,85. Из общей партии берутся наудачу 100 деталей. Определить вероятность того, что среди них будет пять деталей с меныним диаметром и пять деталей с большим диаметром.

Решение. Пусть событие А! — выбрана наудачу деталь первого, Аг — второго и Аз — третьего типа. По условию ру=0,05, р~=0,10, р1=0,85. Всего производится и = 100 опытов. Определяется вероятность р того, что при этом события А! и А! произойдут по пяти раз. Тогда л! = п~= 5, лг=90. Поэтому искомая вероятность » =Рщд, ь Ь ее = —.0;05е ° 0,1е ° 0,85м. 100! 5!5!90!' Логарифмируя данное равенство; находим 1я» = !а 100 ! — !д 90 ! — 2 !д 5 1+ 5 !д 5+ 90'!5 0,85 — Г5.

Воспользовавшись таблицей для логарифмов факториалов и таблицей десятичных логарифмов, получаем !к» =3,7824, т. е. » ж0,006. Аналогично ре!лаются задачи 9.1 — 9.7 и 9.25. Пример 9.2. При каждом испытании вероятность появления события равна р. С какой вероятностью оно произойдет четное число раз при и испытаниях? Решение. Обозначим через р1, вероятность того, что после й опытов событие произойдет четное число раз. Перед к-м опытом можно сделать две гипотезы: при !к — 1)- м опыте событие произошло четное или нечетное число раз.

Вероятности этих гипотез равны соответственно Рь ! 1- Рь! Тогда »е=» 11 — »)+:<1 — » -!)» т. е. »е = »+.»е 11 — 2»). Представив последнее выражение в виде 2) 1 ' »)(»" ' 2) 1 4 и перемножив левые и правые части всех л таких равенств. получим Сокращая обе части равенства на и1 — Ф) й=! находим 1 т 1 :в — — =(1 — Зг) ~д — —,) О ',Я 2!/ Так как ря = 1, то искомая вероятность будет 2 1 +( Лнапогично решаются задачи 9.8 — 9.13 и 9.2б. Пример 9.3. Определить вероятность получения билета, у которого равны суммы первых трех и последних трех цифр номера, если номер шестизначный и может "быть любым от 000 000 до 999 999. Решение.

Рассмотрим сначала первые три цифры номера. Так как они произвольны, то можно считать, что производится три опыта (и = 3), в результате каждого из которых с вероятностью р=1/10 появляется одна из цифр. В данном случае число событий и =10, вероятности ря = 1/10 (к = О, 1, ...,9), а производящая функция имеет вид где индекс А и иь указывает на то, что в результате опыта появляется число А.

Положим иь = и . Тогда у функции коэффициент при и равен вероятности того, что сумма первых трех цифр номера билета равна и. Лналогично у функции коэффициент при й равен вероятности того, что сумма последних трех цифр номера билета равна о. Но тогда у функции 0()=0 (я)0 ®= у-~~ ( ! ) коэффициент при и равен искомой вероятности того что суммы первых трех и последних трех цифр номера билета равны. Имеем (! — и'5~=1 — Сци -~-Сви ~ж иа (! — и)-в — ! +Сьи+Суа~+...

' Поэтому искомая вероятность будет р = — (С~~ — СаСрр ~-СоСп) = 0,05525. !. / ! 5 2 51 !а 1 Аналогично решаются задачи 9.14 — 9.24. Задачи 9.1. В урне имеется три шара: черный, красный и белый. Из урны шары по одному извлекались 5 раз, причем после каждого извлечения шар возвращался обратно. Определить вероятность того, что черный и белый шары извлечены не менее чем по два раза каждый. 9.2.

Рабочий производит с вероятностью 0,90 годное изделие, с вероятностью 0,09 — изделие с устранимым браком и с вероятностью 0,01 — с неустранимым браком. Произведено три изделия. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно годное изделие и хотя бы одно с устранимым браком. 9.3. Каждый из девяти шаров с одинаковой вероятностью. может быть помещен в один из трех первоначально пустых ящиков. Определить вероятность того, что: а) в каждый ящик попало по три шара; б) в один ящик попало четыре шара, в другой — три, а в оставшийся — два !пара.

9.4. По мишени, состоящей из внутреннего круга и двух концентрических колец, производится десять выстрелов из спортивного пистолета. Вероятности попадания в указанные области при каждом выстреле равны соответственно 0,15; 0,22 и 0,13. Определить вероятность того, что при этом будет шесть попаданий в круг, три — в первое кольцо и одно попадание во второе кольцо. 9.5. Прибор имеет четыре блока, в каждом из которых имеются электронные лампы. Если известно, что одна лампа вышла из строя, то вероятности того, что эта лампа принадлежит данному блоку, равны соответственно р! = 0,6111, Р~=Р~= 0,0664, Р~ = 0,2561 и не зависят от того, сколько ламп вышло из строя до этого. Определить вероятность прекращения работы прибора при выходе из строя четырех ламп, если прибор прекращает работать как при выходе из строя хотя бы одной лампы из первого блока, так и в том случае, когда и во втором и в третьем - блоках выходят из строя хотя бы по одной лампе.

9.6. В электропоезд, состоящий из шести вагонов, садится двеншщать человек, причем выбор каждым пассажиром вагона равновозможен. Определить вероятность того, что; а) в каждый вагон вошло по два человека; б) в один вагон никто не вошел, в другой — вошел один человек, в два вагона - по два человека, а в оставшиеся два вагона соответственно три и четыре человека. 9.7. Урна содержит 1 белых, т черных и и красных шаров. Производится 1г+т~+в~ извлечений шаров по одному с возвращением каждого извлеченного шара. Определить вероятность того, что будет извлечено; а) сначала 1~ белых, затем и~ черных и наконец п~ красных шаров; б) 6~ белых, т~ черных и п~ красных шаров, причем все шары одного цвета появляются подряд, но последовательность цветов может быть любой; в) 1у белых, т~ черных и л~ красных шаров в любой послсдоватсльности.

9.8. Определить вероятность того, что при и бросаниях монеты герб появится нечетное число раз. 9.9. Два равносильных противника играют в шахматы до тех пор, пока один из них не выиграет падве партия больше, чем другой. Какова вероятность, что будет сьпрано 2п результативных партий? 9ЛО. Двое играют до тех пор, пока один из них не выиграет все деньги у другого. Определить вероятность того, что при этом будет сыграно ровно в партий, если все ставки одинаковы, каждый игрок в начале игры имеет по три ставки, а вероятность выигрыша в любой партии для каждого из игроков равна половине.