1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (Свешников - Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций), страница 3

Геометрические вероятности Основные формулы Геометрическое определение вероятности может быть использовано в том случае, когда вероятность попадания в любую часть области пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы. Если геометрическая мера всей области равна Б, а геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть Бв, то вероятность события равна ~Б .Р= 3 ' Области могут иметь любое число измерений. Решение типовых примеров Пример 3.1. На горизонтальной плоскости вдоль прямой АВ через интервал 1 расположены оси одинаковых вертикальных Цилиндров с радиусом основания г.

Под углом д к прямой бросается шар радиуса Я. Определить вероятность столкновения шара с цилиндром, если пересечение линии движения центра шара с прямой АВ равновозможно. в любой точке'). Решение. Пусть х — расстояние от центра шара до ближайшей линии, проходящей через центр цилиндра параллельно направлению перемещения центра шара: Возможные значения х определяются условиями (рис. 2) О < я < — 1Мад. 1 Рис. 2.

Столкновение шара с цилиндром произойдет в том случае, если о «, х ~' й+ г. Искомая вероятность равна отношению длин отрезков, на которых находятся благоприятствующие и все возможные значения х. Поэтому — прн Й+ г.( ~ маЧ; Р= 1мпя 1 . пря Й+г)~ ~ мяЧ Аналогично решаются задачи ЗЛ - 3.4 и 3.24. Пример 3.2. На одной дорожке магнитофонной ленты длиной 200 м записано сообщение на интервале 20 м, на второй - записано аналогичное сообщение.

Определить вероятность того, что в интервале от 60 до 85 м не будет промежутка ленты, не содержащего записи, если начала обоих сообщений равновозможны в любой точке от 0 до 180м. Решение. Пусть х и у - координаты начала записей, причем х>у. Таккак0<х<180;0<у<180их/у, тообластью возможных значений х и у является треугольник с катетами по 180 м. Площадь этого треугольника 5= — ° 180~ лР. 2 ' ' Найдем область значений х и у, благоприятствующих указанному событию. Для того чтобы получилась непрерывная запись, необходимо выполнение неравенства х — у 1 20 м.

Чтобы интервал записи был не менее 25 м, должно быть х - у / 5 м. Кроме того, для получения непрерывной записи на интервале от 60 до 85 м должно быть 45 м < у < 60 м. 65 м < х < 80 м. Проведя границы указанных областей, получим, что благоприятствующие значения х и у заключены в треугольнике, Ба = — 18 1 площадь которого а 2 1рис.

3). Искомая вероятность равна отношению площади 8в, попадание в которую благоприятствует данному событию, к площади области Б возможных значений х и у, т. е. дх Ь7 ах й7 Рас. 3. Аналогично решаются задачи 3.5 — 3.15. Пример 3.3. В любые моменты времени промежутка Т равновозможны поступления в приемник двух сигналов. Рис. 4. У т т Рнс. 4. Приемник будет забит, если разность между моментами поступления сигналов будет меныпе т.

Определить вероятность того, что приемник будет забит. Решение. Пусть х и у — моменты поступления сигналов в приемник. Областью возможных значений х, у является квадрат площадью Т (рис. 4). Приемник будет забит, если ~ х — у ~ 1 т. Данная область лежит между прямыми х — у= т и х - у=- т. Ее площадь 8Б ~и 8 — 1T — т) .

поэтому ( т) Аналогично решаются задачи 3.16 — 3.19. Пример 3.4. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше 2/92 Решение. Пусть х и у — взятые числа. Их возможные значения 0[х[1; 0[у[1, что на плоскости соответствует квадрату с площадью Я=1. Благоприятствующие значения х удовлетворяют условиям: х + у [ 1 и ху [ 2/9.

Граница х+у=1 делит квадрат пополам, причем область х+ у [ 1 представляет собой нижний треугольник [рис, 5). Вторая граница ху = 2/9 является гиперболой. Абсциссы точек пересечения зтих границ: х~ = УЗ и хз = 2/3. Величина благоприятствующей площади 1Я яз 1 1 2 РНх 1 2 83= — + 1 у~1х= — + — 1 — = — + — 1п2.

3,/ 3 9,/ х 3 9 1/3 Гп р = — = 0,437. ~Б Искомая вероятность Р 3 Аналогично решаются задачи 3.20 — 3.23. Задачи 3.1. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины Л, равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние, не меньшее 1. 3.2. На плоскости проведены параллельные линии, расстояния между которыми попеременно равны 1,5 и 8 см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной линией.

33. В круге радиуса Я проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более Я, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению7 3.4. Перед вращающимся с постоянной скоростью диском находится отрезок длиной 2Ь, расположенный в плоскости диска таким образом, что прямая, соединяющая середину отрезка с центром диска, перпендикулярна отрезку.

По касательной к окружности в произвольный момент времени слетает частица. Определить вероятность попадания этой частицы на отрезок, если расстояние между отрезком и центром диска равно Е. 1 3.5. Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса г. Расстояния между осями прутьев равны соответственно а и Ь, Определить вероятность попадания шариком диаметра Ы в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки. 3.6. В средней части эллипса с полуосями а =100 см и Ь=10см симметрично расположен прямоугольник со сторонами 10 и 3 см, большая сторона которого параллельна а.

Кроме того, проведены не пересекающиеся с эллипсом, прямоугольником и между собой четыре окружности, диаметр каждой из которых равен 4,3 см. Определить вероятность того, что: а) случайная точка, положение которой равновозможно внутри эллипса, окажется внутри одного из кругов; б) окружность радиуса 5 см, построенная вокруг этой точки как около центра, пересечется хотя бы с одной стороной прямоугольника. 3.7.

Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно Ь"(А=1, 2, 3, 4, 5). Круградиуса г и два кольца с внешними радиусами Зг и 5г заштрихованы. В круге радиуса 5г наудачу выбрана точка. Определить вероятность попадания этой точки: а) в круг радиуса 2г; б) в заштрихованную область. 3.8. Лодка перевозит груз с одного берега пролива на другой, пересекая пролив за один час. Какова вероятность того, что идущее вдоль пролива судно будет замечено, если с лодки обнаруживают судно в случае, когда пересекают его курс не ранее, чем за 20 мин. до пересечения судном курса лодки, и не позднее, чем через 20 мин.

после пересечения судном курса лодки? Любой момент и любое место пересечения судном курса лодки равновозможны. 3.9. На отрезке длиной 1 наудачу выбраны две точки. Какова вероятность, что расстояние между ними меныпе Ы, где0<1<1? 3.10. На отрезке АВ длиной 1 наудачу поставлены две точки 1. и М Найти вероятность того, что точка В будет ближе к точке М чем к точке А. 3.11. На отрезке длиной 1 наудачу ставятся две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что из трех получившихся частей отрезка можно построить треугольник.

3.12. На окружности радиуса Я наудачу поставлены три точки А, В, С. Какова вероятность, что треугольник АВС остроугольный? 3.13. Какова вероятность, что из трех взятых наудачу отрезков длины не более 1 можно построить треугольник? 3.14. На отрезке АВ длиной 1 наудачу поставлены две точки М и М Определить вероятность того, что длины каждого из трех получившихся отрезков не превосходят заданной величины а ~1)~а)~ з). 3.15. К автобусной остановке через каленые четыре минуты подходит автобус линии А и через каждые шесть минут— автобус линии В. Интервал времени между моментами прихода автобуса линии А и ближайшего следующего автобуса линии В равновозможен в пределах от нуля до четырех минут.

Определить вероятность того, что: а) первый подошедший автобус окажется автобусом линии А; б) автобус какой-либо линии подойдет в течение двух минут. 3.16. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода один час, а второго - два часа. 3.17. Два лица имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент промежутка времени Т.

Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше ь 3.18. Два судна в тумане: одно идет вдоль пролива шириной Л, а другое курсирует без остановок поперек этого пролива. Скорости движения судов соответственно равны чр и ~~ .Второе судно подает звуковые сигналы, которые слышны на расстоянии И < В. Определить вероятность того, что на первом судне услышат сигналы, если пересечение курсов судов равновозможно в любом месте пролива.

3Л9. Стержень длиной 1=200 мм наудачу ломается на части. Определить вероятность того, что хотя бы одна часть стержня между точками излома будет не более 10 мм, если точек излома а) две, б) три, причем излом стержня равновозможен в любом месте. 3.20. На поверхности сферы радиуса Я. произвольно выбираются две точки. Какова вероятность, что проходящая через них дуга больпюго круга стягивает угол, меньший а(а<к)? 3.21. Спутник Земли движется по орбите, которая заключена между 60' северной и 60' южной широты.

Считая падение спутника в любую точку поверхности Земли между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадет выше 30' северной широты. 3.22. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 1,. Найти вероятность того, что наудачу брошенная игла длиной 1 (? < А.) пересечет какую-нибудь прямую (задача Бюффона). 8.23. Определить вероятность того, что корни а) квадратного х +2пх+Ь=О, б) кубического х +Зах+2Ь=О уравнений вещественны, если равновозможны значения коэффициентов в прямоугольнике )а! [ л, )Ь! [ и. Какова вероятность, что при указанных условиях корни квадратного уравнения будут положительными? 8.24. На плоскости независимо друг от друга прямолинейно перемещаются точка А и центр В круга радиуса К.