1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (П.И. Романовский - Ряды Фурье. Теория Поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа), страница 9

Пусть, в частности, (Я) есть ортонормированная система функций Ф1 (х), ~рг (х), ..., ~р„ (х),... Тогда справедлива Т е о р е м а. Длл замкнутости ортонормированной системы (Я) необходимо и достаточно, чтобы длк каждой непрерывной функции ~ (х), удовлетворяющей требованию С (1.59), имели,~~~ се = (7, 7), где а„— коэффициенты Фурье 11 функции 7 (х) относительно системы (8). Иначе говоря, требуется, чтобы для всякой непрерывной функции, удовлетворяющей требованшо (1.59), неравенство Бесселя (1.58) превращалось в равенство. Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если система (Я) замкнута, то для любой непрерывной /, удовлетворяющей (1.59), левая часть формулы (1.57) при достаточно большом п будет как угодно малой, следовательно, правая часть также, поэтому соотношение (1.58) становится равенством. Обратно, если для некоторой непрерывной 7', удовлетворяющей (1.59), соотношение (1.58) оказывается равенством, то при некотором и правая часть (1.57) будет как угодно малой, следовательно, средняя часть также и, следовательно, 7' как угодно хорошо аппроксимируется в среднем линейными комбинациями функций из (Я), ч. т. д.

О л е д с т в и е. В случае замкнутой ортогональной системы (8) разным непрерывным функциям, удовлетворяющим (1.59), отвечают разные ряды Фурье. Д о к а з а т е л ь с т в о. Систему (Я) можно считать ортонормированной. Если а„— коэффициенты Фурье для ~, ܄— коэффициенты Фурье для у, то а„— Ь„будут ОО коэффициентами Фурье для 7 — у, но ~~~~(а„— Ь„)1 1 вв Ряды ФуРЬВ и интвгРАл ФуРЬВ [ГЛ.

1 (( — а, [' — д) =,'О, поэтому, если а„= Ь„для всех н, то — л, 1 — д) = О, откуда [ Вид, ч. т. д. Заметим, что замкнутая ортонормированная система функций п о л н а в том смысле, что ее нельзя расширить с сохранением ортонормированности, ибо если ~р орто- С гональна ко всем функциям системы, то ([р, ~р) =,~~ О = О 1 и, следовательно, [р Рн О.

Последовательность непрерывных функций /„ (х), удовлетворяющих требованию (1.59), называется сходящейся е среднем относительно веса р (х) к непрерывной функции у' (х), удовлетворяющей требованию (1.59), если (~ — 1„, 1 — 1„) -+ О. Ряд,Я~~„(х), члены которого непрерывны и 1 удовлетворяют (1.59), называется сходящимся е среднем к е (х) относительно веса р (х), если последовательность частичных сумм е„(х) сходится в среднем к г (х). О Из (1.57) видно, что ряд,~',а„[р„сходится в среднем 1 к 1, если для ~ соотношение (1.58) есть равенство. Иэ доказанной теоремы следует, что ряды Фурье всех непрерывных функций, удовлетворяющих (1.59), сходятся в среднем к этим функциям, если (Я) — замкнутая ортогональная система.

Поэтому, если в случае замкнутости (Я) ряд Фурье некоторой непрерывной у, удовлетворяющей (1.59), сходится в среднем к некоторой непрерывной ~„ удовлетворяющей (1.59), то 11 = / (сходимость в среднем, как легко видеть, может быть только к одной непрерывной функции). Если весовая функция р (х) на евассматриваемом интервале с концами а и Ь такова, что ~ р(х) дх (+ оо (например, это будет, если рассматриваемый интервал есть сегмент), то равномерная сходимость будет частным случаем сходимости в среднем. Следовательно, если при такой весовой функции ортогональная система замкнута и ряд Фурье некоторой непрерывной функции, удовлетворяющей (1.59), равномерно сходится, то его сумма равна ~ (х).

Зьмкнутыи систвмы Функции 69 $141 Замкнутость тригонометрической системы (Т). Рассмотрим на сегменте 1 — я, я) систему функций (Т) -2-, созх, зшх,..., созпх, зшпх, при весовой функции р (х) = 1 и докажем замкнутость этой системы. Если ~ (х) непрерывна на 1 — я, я1 и у ( — я) = у (я), ~ (х) после надлежащего продоля1ения становится непрерывной функцией с периодом 2И.

Для всякого е ) О найдется такая непрерывная функция ~р (х) с периодом 2я, кусочно гладкаяна1 — я, я), что ~/ (х) — ~р (х)1( з!2, но 1р (х) разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье, поэтому для частичной суммы Т (х) с достаточно большим номером будем иметь11р (х) — Т (х) 1( е12 и, следовательно, 1/ (х) — Т (х) 1 ( е.

Таким образом, всякая непрерывная функция на 1 — я, я1 с одинаковыми значениями на концах этого сегмента равномерно с любой точностью аппроксимируется линейными комбинациями функций системы (Т). Для доказательства замкнутости системы (Т) остается лишь обнаружить, что в с я к а я непрерывная функция ф (х) на 1 — я, я1 сколь угодно хорошо аппроксимируется в среднем непрерывной функцией на 1 — я, я) с одинаковыми значениями на концах этого сегмента.

Пусть М = = шах 1 ф (х) 1, и пусть ф (х) при — я е-' х ( я б 1 (х) = ф ( — я) при х = я, линейна на (я — б, я], где О ( б ( 2я. Очевидно, что как угодно мало при достаточно малом б. Это завершает доказательство. Системы функций, связанные с задачей Штурма— Лиувилля. Важными примерами замкнутых ортогональных систем функций являются системы собственных функций в так называемой задаче Штурма — Лиувилля. 70 Ряды ФРРьи и интвгРАл ФРРьв огл, т Пусть на сегменте (О, Л заданы непрерывно дифференцируемая функция р (х) "> О, непрерывная функция д (х), непрерывная функция р (х) > О. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка (РУ ) + РР— У) У = О и краевую задачу для него У(0) =0; У(!) =О.

(1.60') Те значения )о, при коих эта задача имеет ненулевые реше- ния', называются собственными аначениями, соответству- ющие ненулевые решения называются собстоенными . функциями. Две собственные функции, соответствующие одному собственному значению Х, отличаются лишь постоянным множителем (пусть у и з — две собственные функции, со- ответствующие собственному значению Х, тогда з = су, где с = з'(0)/У'(0)).

Собственную функцию У, соответству- ющую собств енному значению Х, нормируем требованием ! уор!(х= 1 и обозначим ух(ух определена с точностью о до знака). Система функций уь (Х пробегает все собственные зна- чения) является ортонормированной с весом р на (О, Л. В самом деле, (ру,) + (Хр — р) у, = 0; (ру„) + (рр — д) у„ = О, откУда, УмножаЯ эти Равенства на У„ и Уои вычитаЯ, по- лучим (РУл) УР - (РУ!Р) Ул = Ь - Х) РУоУШ (Р(рлУР- Уорэ)Г = ((о — Х) Ррорэ О=(Р-Л)~У,У„Р (х, о откуда ~уоуэр Их О при )о+Х. о Введем для дальнейшего на совокупности непрерывно дифференцируемых на [О, Л функций следующие ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ 71 о 141 функционалы! ! 6(у, г) = ~(ру'г'+ дуг)бх, о 6(у) =6(у, у) =) (ру'+ бу') дх; о Н(у) = Н(у, у) =) уорбх.

о Н(у, г) = ) уграх; о Если ~(х) непрерывно дифференцируема на [О, Д и ~ (0) = ~ (!) = О, то 6(ул, Л = ЛН(у, ~), ибо 6(ул, У) =)(рулУ'+ були бх = о ! = ру4 ~~ — ~ Ирул)' — дул) 1 бх = )5~ уДр бх = ЛН (ул, [). о о Следовательно, 6 (ул) = Л; 6 (ул, у ) = 0 при Л+ [л. Если д (х) > 0 на [О, !), то все собственные значения положительны, ибо тогда Л = 6 (ул) = ) (рул + чул) ![х ) ~ дул ах ~ О. Формулируем бев доказательства следующее предлоя!ение (которое можно доказать„пользуясь аппаратом варнационного исчисления).

Совокупность всех собственных значений образует возрастающую последовательность Л„Л„..., Л„, ..., имеющую пределом + оо. Функционал 6 (у), рассмотренный на классе двахсды непрерывно дифференцируемых на [О, 1) функций, удовлетворяющих 'требованию у (0) = у (1) = 0 и ! Условиям Н (у) = т, )улвурбх = 0 при.) ( п, достйеает о Ряды Фугьи и ннтвгРАл ФуРьн ~ГЛ. 1 а„= ~ »ул„р дх = Н(», ул ) о »(х) —,Яа,ул (х); 1 и положим»н = » — ~~~~а„ул„, тогда 1 6(»я) = 6 (» —,Я а,ул ) = 1 =. ЯР (»' —,.~ а„УЛ„) + д (» —,~~авУЛ„) ~ 1ЛХ = е 1 1 = 6(»)+ „~~~а'„6(ул„) — 2ЯВ„С(» ул„)+ 1 1 + 2,Я~ а1а16 (улл, ул,) = 1(1 *= 6(») +,~~)л„а~ — 2~~~~а„Х,„Н(», ул„) = 6(») — „~~А„а~ 1 1 1 Так как Х„-л-+ оо, то найдется такое Нв, что Х„) 0 при п ) Лг . Пусть Лг ) Нв, и положим 1 М бй = Н (»н) = ~ (» — Х а ул„) р Йх о 1 тогда Н (»я»бк) = 1 (если бн + 0), а так как еще 1 Ул,.в — Рдх = — ~Ул.»ЯР1»х = 0 »н 1 о е минимума при у = ул„(п — любое фиксированное натуральное число).

Следовательно, для упомянутых у имеем С (у) л Х„. Опираясь на это, покажем, что система функций ул„ ул„..., ул, ... замкнута на (О, П. Пусть» (х) — дважды непрерывно дифференцируема на [О, Ц и удовлетворяет требованиям» (0) = » (л) = О. Рассмотрим ряд Фурье этой функции вамкнттык анотвмы фгнкции пРи 3 < 11', то б (1к/бк) ~ ),у„, откУДа М и Ме 'С О) — ~) „а~ С О) — ~ Х„ад С Ц) — ~Ч~~ Ь„а~ ~ )'Я+1) бм < ь ся М11 У+1 СЛЕдОВатЕЛЬНО, бя-1-0 Прн Х-~- ао.

ЭТИМ ПОКаЗаНО, ЧтО всякая дважды непрерывно дифференцируемая на [О, Л функция 1(х), имеющая нулевые эначения на концах этого сегмента, как угодно хорошо аппроксимируется в среднем линейными комбинациями функций р„. Но тогда этим свойством будет обладать и любая непрерывная функция на [О, Л. В самом деле, любая непрерывная на [О, Л функция ) (х) как угодно хорошо аппроксимируется в среднем на 10, Л функцией 1р (х), определяемой так~ [И (л) при 26 < х < 1 — 26, 1Р(х)= ~лО пРи 0<я<6 ипРи Š— 6<х<1, инейна на [6, 261 и на [[ — 26, 1 — 61, если только положительное число 6 достаточно мало, но непрерывная на 10, [1 функция, равная нулю вблиэи концов этого сегмента, равномерно с любой точностью аппроксимируется дважды непрерывно дифференцируемой функцией на [О, Л, равной нулю на концах этого сегмента.