1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (П.И. Романовский - Ряды Фурье. Теория Поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа), страница 11

О, )г (х) ~ О,-А (х) имеет непрерывную проиаводную на (О, Ц, то все 2„положительны и ряд (1.67) принимает вид ГЛАВА 11 ОСНОВЫ-ТЕОРИИ ПОЛЯ $ $. Основные сведения из векторной алгебры Вектором нааывается направленный отрезок прямой. Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину, параллельны и одинаково направлены. В печати векторы часто обозначают полужирными буквами. Например, буква а обовначает вектор в отличив от скаляра (числа) в).

Длину вектора а будем обозначать ~а~. Угол между векторами а и Ь обозначим (а, Ь). Угол между векторами берется в границах от 0 до я. Угол между а и Ь теряет определенность, если хотя бы один из векторов нулевой. Проекцию вектора а на ненулевой вектор Ь обозначим аь. Имеем аь = ~ а ~соз (а, Ь). Суммой векторов а и Ь нааывается вектор — диагональ параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, н обо- . значается а + Ь. Сложение векторов подчиняется перестановочному закону а + Ь = Ь + а и сочетательному закону (а + Ь) + с = а + (Ь + с). Из этих ааконов следует, что при сложении векторов допустимы изменение порядка слагаемых и любая группировка слагаемых.

Вычитание векторов есть действие, обратное сложению. Произведение вектора а на скаляр Х, обозначаемое аХ или Ха, определяется как вектор, параллельный а, одина- ' в) Иногда вектор ввпиоываетов символом АВ, осли А есть начало вектора, а  — конец его. 80 ~гл. н ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ ково или противоположно направленный, смотря по тому, будет лиЛ ) 0 или(0, имеющий длину [аЛ[ = [ а [ [Л [. Произведение вектора на скаляр подчиняется сочетательному закону аЛ [х = а Л]х (а — вектор, Л и р — скаляры) и двум распределительным ааконам; (а + Ь) Л = аЛ + + ЬЛ; а (Л+ р) = аЛ+ ар (а, Ь вЂ” векторы; Л, р — скал яры). Скалярное произведение двух векторов а иЬ есть скаляр, обозначаемый аЬ и определяемый формулой ,Л, аЬ= [а [[Ь [сов(а, Ь).

Очевидно, аЬ = аь [ Ь [. Скалярное произведение векторов подчиняется перестановочному закону аЬ = Ьв я распределительному закону (а + Ь) е = ае + Ье. Векторное произведение двух векторов а и Ь есть вектор, обозначаемый [вЬ], имеющий длину, равную площади параллелограмма, построенного на а и Ь, ортогональный плоскости этого параллелограмма и направленный так, что видимый иэ конца вектора [вЬ] переход от а к Ь происходит в положительном направлении (в случае правой ориентировки).

Векторное произведение двух векторов подчинено антикоммутативному закону [аЬ[ = — !Ьа] и распределительному закону [(а + Ь) е] = [ас1+ [Ье]. Произведение трех векторов а, Ь и е, обозначаемое (аЬс), есть скаляр, равный ~.-У, где У вЂ” объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и е, причем знак ~ берется в зависимости от положительной или отрицательной ориентировки системы рассматриваемых векторов. При круговой перестановке множителей оно не меняется; (аЬе) = (Ьеа); при перестановке двух множителей меняется знак: (аЬс) = — (Ьае). Произведение трех векторов равно смешанному векторно-скалярному произведению (вЬе) [аЬ1с = в [Ье1.

Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве (правую). Пусть 4, у, й — единичные векторы (орты), направленные по осям Ох, Оу, Оз. Пусть а — какой-нибудь вектор. Проекции его на Ох, Оу, Оэ (или, что то же, на $, у, й) называются его координатами. Координаты а обоаначим вю аю а,.

Два вектора равны тогда и только тогда, когда их координаты соответственно равны. Поэтому для доказательства равенства двух векторов до- 22) вектОРные Функции скАляРЯОГО пеРеменнОГО 8А статочно. установить равенство соответствующих координат. Всякий вектор а может быть разложен по ортам; а = 4а„+ уа„+ йа,. При сложении векторов координаты их складываются (прн вычитании вычитаются), при умножении вектора на скаляр координаты умножаются на этот скаляр.

Выражение скалярного проиаведения векторов а и Ь через их координаты имеет вид аЬ = а„Ь„+ а„ЬР + а,Ь„ (2 1) [аЬ) =4 +у +й ", (2.2) что непосредственно получается, если а и Ьразлох1ить по ортам, выполнить умножение полученных сумм и принять во внимание, что [ай = [0) = [йй) = 0(нулевой вектор); [4у[ = й; [уй) = з; [И)=,у; (,у$] = — й; [йл = — '[; Ий) = — у. Выражение произведения трех векторов а, Ь, с через координаты на основании сказанного имеет вид аде = [аЬ[с = [аЬ)„с„+ [аЬ)„с„+ [аЬ),с, = а„ аз а, Ь„ Ь„ Ь, с„ с„ с, ь ь '*+ ь ь "+ ь ь '*= (2.3) 5 2. Векторные функции скалярного переменного Пусть а (2) — вектор, зависящий от скалярного переменного 2.

Прсизвсдназ векторной функции а (2) определяется как вектор а'(2) = 1[ш — = Ит са(2) . а(2+ а2) — а(2) ыэ л2 ыэ что непосредственно получается, если а и Ь разлоя1ить по ортам, выполнить умноясение полученных сумм и принять во внимание, что 22 = уз = й' = 1, зу = уй = йз = О. Выражение векторного произведения векторов а и Ь через их координаты имеет вед ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ игл.

и причем в левых частях (2.4), (2.5), (2.7) фигурируют производные векторных функций; в левой части (2.6) — производпая скалярной функции; в правых частях (2.4), (2.5), (2.7) знак + обозначает сложение векторов; в правой части (2.6) анан + обозначает сложение скаляров. Если а, — постоянный вектор, «р» — постоянный скаляр, то получаем ряд формул «вынесения постоянного множителя аа знак производной» в произведениях трех типов (вектор на скаляр, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов): (а (~) «р,)' = а' (1) «р; (а««р («))' = а««р' («); (а«Ь (8))' = а,Ь' («); [а,ь (»)Г = [и,Ь' (г)[. (2.5') (2.5") (2.6') (2.7') Эти формулы получаются из (2.5), (2.6), (2.7), если учесть, что производная векторной постоянной есть нулевой вектор.

Производные высших порядков от вектор-функций определяются как результат последовательного дифференцирования. Рассмотрим систему прямоугольных координат в пространстве. Каждой точке М (х, у, з) отнесем вектор если этот векторный предел существует (предел переменного вектора есть такой вектор, что длина разности между ннм и переменным вектором стремится к нулю).

Если вектор-функция а (р) имеет производную (днфференцируема), то она подавно непрерывна в рассматриваемой точке, т. е. а (з + «»«) — а («) стремится к нулевому вектору прн Ьг— О. Правила дифференцирования векторных функций выводятся как правила дифференцирования скалярных функций в дифференциальном исчислении, Если а.

(»), Ь («)— дифференцируемые векторные функции, «р («) — дифференцнруемая скалярная функция, то (а («) + Ь (»))' = а' («) + Ь'(«); (2.4) (а (г) «р (г))' = а' (г) «р (~) + а (г)«р' (г); (2.5) (а (») Ь (з))' = а' (~) Ь (~) + а («) Ь' («); (2.6) [а («) Ь («) Г = [и ' (~) Ь (») [ + [и (~) Ь' (~)[, (2 . 7) ь ЬЬ сопговождающий тгнхгганник кгивои 83, г = Фх + ур + гсз с такими же координатами. Такое соответствие между точками и векторами будет взаимно однозначным.

Таким образом, каждой точке соответствует вектор, каждому вектору соответствует точка. Векторное параметрическое уравнение г = г (Ь) [г (Ь) — векторная функция одного скалярного переменного[ после перевода на координатный язык дает три координатных параметрических уравнения х = л (Г), у = р (Ь), з = э (г) и изображает некоторую кривую в пространстве. Производная г' (Ь) будет касательным вектором к этой кривой.

Векторное параметрическое уравнение г = г (и, г) [г (и, и) — векторная функция двух скалярных переменных[ после перевода на координатный язык дает три координатных параметрических уравнения х = х (и, г), у = у (и, и), з = з (и, и) и изображает некоторую поверхность в пространстве. 5 3. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой Рассмотрим пространственную кривую, заданную векторным параметрическим уравнением г= г(г), где эа параметр взята длина дуги г, отсчитываемая от некоторой точки кривой (фигурирующая в этом уравнении вектор-функция предполагается трижды непрерывно дифференцируемой).

Касательный вектор ч = э" (г) при таком выборе параметра будет единичным для всех точек кривой (ибо отношение хорды к дуге при стягивании последней в точку стремится к единице). Дифференцируя равенство г' = Ь, получим г'г = О,следовательно, векторг" ортогонален ч. Единичный вектор ч = †„ = †, (еслиг" — ненулевой 1г" [ [т'[ вектор) определяет направление главной нормали кривой (в рассматриваемой точке); единичный вектор [) = [чч) определяет направление бинормали кривой (в рассматриваемой точке).