1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (П.И. Романовский - Ряды Фурье. Теория Поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа), страница 8

В случае ортонормированной системы (Я) формулы (1.54) принимают вид (гл. т Ряды Фугьк и интеггьл Фугьи По индукции видно, что каждая функция ф„есть линейная комбинация функций ~и ~„..., ~„с коэффициентом 1 прн /„, откуда следует, что функции ~р„щ,..., ж„,... линейно независимы. В частности, каждая ~р„не исчезает тождественно. Покажем, что можно (единственным образом) подобрать числа Лы так, что система функций ж„~рг,..., <р„,... станет ортогональной относительно веса р (х) на данном интервале (процесс построения таких ~р„называется ортогоналиаацией системы линейно независимых функций ~„). Требование (рэ, <р,) = Лэ, (~рп ~р1) -+ (~„<р1) = О дает Оэ, ч,) Л21 (ч1 Ф1) Пусть теперь Лгэ при 3 ( и — 1 уже определены и «р„... ...,~р„, попарно ортогональны. Тогда требования (рэ, рг) = Х Л ( (Ь Фг) + (7 Чг)- С=1 =Л„„(р„р„)+(1„, рг) =О (й = 1, 2,..., к — 1) ), и такам образом з дают Л„э = — — ' (й = 1, 2,..., я — 1 0 чз) (Ф ° Фэ) все Лы при 1( нопределеныифункции~рп ..., <р„попарно ортогональны.

Итак, индукция проведена, н утверждение доказано. Ортогоиальиые полиномы. Наложим на весовую функцию р (х) добавочное условие: ь ~)х)" Р(х)бх(+ оо (и = О, 1, 2,...). О Тогда функции 1, х, жэ, ..., ж",... будут удовлетворять отмеченным в начале параграфа требованиям. Применяя процесо ортогонализации относительно веса р (х) на рассматриваемом интервале к системе степенных функций 1, х, зэ,..., х", ..., получим последовательность полиномов Р, (х), Рд (х), Рз (х),..., Р„(ж),... степеней О, 1, 2,..., и,... с единичными старшими коэффи- $12] огтогональнык систвмы эвикции 61 циентами, обраэующих ортогональную (относительно веса р (х) на данном интервале) систему.

Отметим некоторые свойства этих полиномов. Если Д (х) — проиэвольный полипом степени т ( и, то (Р„, Д) = О, ибо, раэлагая ч (х) по полиномам Ре (х),... ...,Рм(х), получим () (х) = ~ ееР„(х) (е„— некоторые чисв-о ла), откуда (Р„, ~,'Э) = ~~'~ е„(Р„, Р„) = О. к о Покажем, что полиномы Р„(х) удовлетворяют простым рекуррентным соотношениям. Очевидно, Р (х) = 1; Р, (х) = х + ()е ф, — некоторое число). Раэлагая при и ~ 1 полипом Р„, (х) — хР„(х) (его степень, очевидно, < в) по Р, (х),..., Р„(х), получим Р,1 (х) — хР„(х) = ~~'~~ ееРе (х) (еа — некоторые числа), откуда при 1 = О, 1,..., и (Р„Р, — хР„) = ~ ее(Рь Ре) = е~ (Рь Р~).

В-е Но (Рь Р— хР ) = (Рь — хР ) = — (хРь Р„) что при 1 ~ и — 1 равно нулю, следовательно, ее = е1 = = ... = е„а = О; затем,' разлагая хРа т по Рю..., Р„, найдем (хР „Р„) = (,Я~ АР„+ Р„, Р„) =(Р„, Р„)~О (д» вЂ” некоторые числа), поэтому е„, ( О. Следовательно, полагая е„1 = ая, е„= ()„, Ряды ФуРЬБ и интигРал ФуРЬБ П'Л. 1 получим~ Рвиа (х) = хР„ (х) а„Р„ , (х) + р„Р„ (х); а„) О (л 1, 2, 3,...).

Такам образом, всякий интервал и всякая заданная на нем весовая функция р (х) порождают такую последовательность положительнмх чисел аы ав, ав,... и такую последовательность действительных чисел (3о, рп рв,..., что соответствующие ортогональные полиномы удовлетворяют соотношениям Р,(х) = $, Рт(х) =х+ рв, Р„ег (х) — (х + Р ) Р„(х) + овР а (х) = О (л = $, 2, В,...). ($.55) Отметим интервалы и заданные на них весовые функции, порождающие классические ортогональные полиномы Название полинонов р (х) Полнномы Лежандра Полиномы Чебышева 1-го рода у ~ — ха Полнномы Чебышева 2-го рода Полшюмы Якоби Полиномы Лагерра Обобщеиныв нолииомы Лагеррв Полиномы Эрмита а)-1; е -ха Различные аналитические выражения для упомянутых в атой таблице полиномов мы здесь не рассматриваем.

Свойства нулей ортогональных полииомов. При любом интервале и любом заданном на нем весе нули ортогональных полиномов обладают нижеследующими свойствами: з 32] огтогоньльныв систвмы етнкции 63 1) Все нули полиномов Р„(х) действительные, простые и лежат в интервале (а, Ь). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ь„..., ( те из нулей Р„(х), которые действительны, лежат на (а, Ь) и имеют нечетную кратность. Пусть ~ (х) = (х — ь,)...

(х — ~ ). Если т ( и, то (Р„, ч) = О, но сто невозможно,таккакР„(~ сохраняет постоянный знак на (а, Ь). Следовательно, должно быть т = и. Отсюда видно, что Р„(х) имеет на (а, Ь) и нулей, поэтому все они простые и других нулей Р„(х) не имеет. 2) Полиномы Р„(х) с соседними индексами не имеют общих нулей. В самом деле, из (1.55) видно, что общий нуль двух полиномов с соседними индексами был бы нулем всех полиномов с меньшими индексами (ибо все а„+ О), но это невозможно, так как Р, (х) = 1. 3) В каждом нуле полинома Р„(х) полиномы Р„ы (х) н Р„, (х) имеют разные знаки. Это видно из (1.55) (ибо все сс„) О). 4) Между всякими двумя соседними нулями полинома Р„(х) лежит один нуль полинома Р„(х).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказываемое предложение справедливо при и = 2, ибо в нуле полннома Р, (х) полинам Рз (х) отрицателен, так как там Р, (х), будучи тождественной единицей, положителен; следовательно, нули квадратного трехчлена Рз (х) лежат по разные стороны от нуля линейной функции Р, (х). Предположим теперь, что доказываемое предложение справедливо для и — 1 (т. е. между всякими двумя соседними нулями полинома Р„ т лежит один нуль полинома Р„ ). Й нулях полинома Р„ т значения Р„ знакочередуются (в силу простоты нулей Р„и в силу сделанного предположения), следовательно, на основании 3) значения Р„также знакочередуются.

Отсюда видно, что между всякими соседними нулями поли- нома Р, находится нуль полинома Р„(что дает и — 2 нуля). Затем, правее большего и левее меньшего из нулей Р„т найдется по нулю полинома Р„, ибо анан Р„в названнйх нулях Р„, противоположен тому знаку, какой имеет Р„соответственно вблизи Ь и вблизи а. Полученные и нулей полинома Р„(х) исчерпывают его нули и обеспечивают искомое взаиморасположение нулей Р„, и Р„.

Итак, нндукция проведена и предложение доказано. Ряды Фтаьи и иптвгэ»л Фуэьв »гл. 1 $ $3. Минимальное свойство коэффициентов Фурье Определение. Пусть ~ (х) и ~р (х) — двв функции (удовлвтворяющие отмеченным в начале $ (2 требованиям). Среднекеадрап»аческим уклонением /(х) от ~р(х) относительно веса р (х) на данном интервале называется число р' У вЂ” р 1 — р). Пусть имеем какую-нибудь ортогональную (относительно веса р (х) на данном интервале) систему функций ~р» (х), ~р» (х),..., ~р„(х),...

Линейные комбинации иэ п первых функций этой системы, т. е. выражения вида с,<р, (х) + с»~р (х) + ... + с„~р„ (х), где сы с„ ..., с„ — любые действительные постоянные, наэввем для сокращения обобимннмми пслинсмами п-го порядка. Экстремальная эадача. Из всех обобщенных полиномов и-го порядка найти тот, который имеет наименьшее среднеквадратическое уклонение от данной функции ~ (х) (удовлетворяющей отмеченным в начале $12 требованиям). Вопрос сводится к отысканию таких с„..., с„, для и н которых (р —,)~', с»~р», р — ~ с»~р») будет наименьшим. 1 1 Нв нарушая общности, можем считать систему (Я) ортонориированной (в противном случае путем умножения иа нормирующие множители мы можем сделать ве таковой). Полагая, что индексы суммирования принимают эначения а, 2, ..., и и а» обозначают коэффициенты Фурье функции 1, будем имвтш (~ -,Цс»»р», ~ —,)!~ с»р») = (~, р) — 2~с»(1, ~р») + »» » +,Я с»с» (т», ~р») = Ц, р) — 2 ~с»а» +,Яс» »л » » - Ц, Д вЂ”,'Ц~а', +,'Ц„(с» — а,)».

1 18) ' миннмлльнов сВОйстВО козФФициннтОВ ФУРъп 65 Из полученной формулы (» —,Я силР», ~ — ~Л'~ силуи) = (1, Д вЂ” ~~ ави + „~~~ (с» — аи)в 1 1 1 1 (1,56) видно, что искомый минимум получается при с„ = а„ ' (11=1, 2, ..., и). Итак, из всех обобщенных полиномов и-го порядка наименьшее среднеквадратическое уклонение от данной функции 1 (х) имеет и-я частичная сумма ряда Фурье втой функции. Из формулы (1.56) находим пип (7' — ~~~~ силРи, ~ —,~~ силРи) = 1 1 л л и = (7' Халлуи, У вЂ” ~~~~лаилуи) = (( У) алой (1 57) 1 1 1 Так как средняя часть формулы (1.57) неотрицательна, то и ,Я~они ((7, Д, откУда следУет, что РЯд Яа'„сходитсЯ и 1 в имеет место неравенство Бесселя '3ай(й У) 1 (1.58) (1.58') ' 3 П.И.

Романовский Учитывая неравенство —" ( — ~а + — ~ заклю!а„~ л 2 'Лл лв)' ил (а„~ чаем еще, что ряд,~~ —" сходится. л 1 Ксли система (Я) ортогональная (но не обязательно ор-, тонормированная), то (1.58) следует заменить неравенст-' вом 66 Ряды Фугь В и интнггал Фуэьн [гл. г где Х» — нормирующий множитель для ~р» (х) (ибо, беря Х»»~ „вместо»у», мы должны взять а»/Х» вместо а„). Из (1.58'), в частности, видно, что для всякой непрерывной на [ — я, я! функции ряд „Я~(а'„+ Ь») (где а„ 1 и Ь„определяются формулами (1.7) сходится и, следова[а„[ ч» [Ь [ тельно, сходятся ряды ~ — ", г,—" » " » Называя тригонометрическим полипомом и-й степени функции вида ++,~, (и йх+ о з[пйх), »=1 получим как частный случай решенной экстремальной задачи (когда в качестве системы (Б) берется тригонометрическая система (Т)) следующий результат.

Из всех тригонометрических полиномов и-й степени наименьшее среднее квадратическое уклонение на [ — я, л) от заданной па этом сегменте непрерывной функции ~ (х) имеет тригонометрический полипом ~ + ~~'., (а,созйх+ Ь» агя йх), »»г коэффициенты которого определяются по формулам Фурье (1.7) из т 2. й 14. Замкнутые системы функций Система (Б) функций, удовлетворяющих требованиям, отмеченным в начале $12, нааывается замкнутпй, если любая непрерывная функция 1 (х) на рассматриваемом интервале с концами а и Ь и такая, что ь ) [7" (х)[ар(х)»[х(+ со, (1.59) а может быть как угодно хорошо аппроксимирована в среднеи линейными комбинациями функций из (8). Это значит, что для любого е ) О найдутся номер »»', такие ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ р, (х), ..., ~рк (х) из (8) и такие числа с„..., ск, что ь к ~ (7" (х) —,'Я с„~р„(х)1 р (х) с(х ( в.