1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (П.И. Романовский - Ряды Фурье. Теория Поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа), страница 6

Тогда на и (х, Г) должно быть налоя1ено начальное условие вида и(х, 0) =ф(х) приО(х(Е, (1.39) где ф (х) — заданная функция, причем ф (0) = ф (Х) = О. Будем искать среди решений вида (1.38) такие, которые удовлетворяют начальному условию (1.39), т. е. подчиним и (х, 1) требованию (1.39). Ясли ф (х) на (О, 1) допускает разложение по синусам л О 1р (х) —,~~ А„аш — и при этом ряд,«', ~ А„] сходится, 1 1 то поставленная задача раарешима, ибо, определив тогда и (х, с) по формуле (1.38) с помощью этих А „, найдем, что и(х, 0) будет иметь на (О, И такое же равложение, как ф(х).

Пусть теперь числа А„таковы, что числовой ряд ~ ( А„) сходится. Тогда функциональный ряд 1 УРАВнение РАспРОстРАнения теплА В стеРжне 43 Применение формул (1.24) дает ! 2 Г . »яв А„= — ~ (д (х) эш — «(х. о »»»»в и(х, «) =,~~~А„е " з«п— где ! А»= « ~Ф(х)э«п — !)х (п=1,2,3,...). 2 !" . »я* (1.40) Принцип мавсимума для уравнения тепло«)роводности, Если и (х, «) непрерывна на прямоугольнике 0<х(1; 0<«<Т и удовлетворяет уравнению — = ао — при 0 < х ( Ц ди о дои д! дго 0 < «< Т, то среди точек, где и (х, «) достигает максимального значения на упомянутом прямоугольнике, есть точка (х,« ), где либо х, = О, либо хо = 1, либо «, = О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что такой точки нет.

Тогда максимальное значение Мдостигаетсявточке (хо~ «о), где 0 < хо < «, 0 < «о < Т, причем и (О, «) при 0<«<Т,и («, «) приО<«<Т,и(х,О)приО<х< < 1 будут < М. Пусть т — наибольшее из максимальных значений этих трех функций на упомянутых сегментах, тогда т < М. рассмотрим функцию о (х, «) = и (х, «) + + «с («, — «), где й ) О. Эта функция достигает своего наибольшего значения в некоторой точке (х„ «,) прямоугольника, итак как М = и (х, «о) =Р (х, «о), то о (х, «!),ВМ. ПРН)с(, должнынметь 0 < х < 1, 0( «! < Т, Э частности, ф (х) будет удовлетворять укаэанным требованиям, если !р (х) на (О, Ц непрерывно дифференцируема. Итак при упомянутых требованиях, наложенных на !о (х), задача о распространении тепла в стержне при постоянной нулевой температуре на концах и заданной начальной температуре в каждой точке стержня разрешима и ее решение дается формулой Ряды ФуРье н интеггал ФуРье [гл.

х ибо в противном случае М<Р(х,, С,) = и(х„«,)+ «<(С< — «,)< <и(х„«,)+ «<!С< — С,)(л<+ — ~Т = Л«, что дает противоречие. Необходимое условие максимума Дает сии (х<, «,) <О, Р<(х„«<) ) О(= О, если «, < Т), следовательно, иии (х„«,) = Р„„(х„«,) < О, и, (х„«,) = = Р,(х,, «,) .+ «< ) О, но это противоречит уравнению ди < д'и — = а —, ч.т.д. д« дж ' Заменяя и на — и„получим такое я<е заключение о точках, где и достигает минимального значения. Из сказанного вытекает следующая теорема единственности. Может существовать н е б о л е е одной и (х, «), удовлетворяющей требованиям: и (х, «) непрерывна прн 0 < < х < С; 0 < С < + оо, 'удовлетворяет уравнению ди з д<и — = а —, при О < х < С; 0 < С < + оо.' и (х,О) = <р (х) при 0<х<С; и(0, С) =<у<(С) при 0<«<+ оо, и («, С) = <р< (С) при 0 < С < + <ю (где <р, <рп <Рз — заданные функции на соответствующих интервалах).

В самом деле, если имеем две такие функции и, и из, то Р и« вЂ” и, непрерывна при 0 < х < С, 0< С < + оо д , д<и удовлетворяет уравнению — = а' —, при 0 < х < С, 0<«<+ со, 'Р(х, 0) =.0 при 0<х<С; Р(0, С) =0 при 0 ~ С <. + се', Р (С, С) = 0 при О < С < + оо. При каждом Т ) 0 максимальное и минимальное значение и на прямоугольнике 0 ~ х < «, 0 < С ~ Т достигается в точках, где либо х = О, либо х = С, либо С = О, но в этих точках Рии О, следовательно, Рни О на упомянутом прямоугольнике, а так как Т ) 0 произвольно, то Р ив 0 пря 0 < х ~ С, О < С < + оо и, следовательно, и, ви из, ч.т.д. В частности, рассмотренная выше задача о нахождении непрерывной функции прн 0 <~ х < С, 0 ~ С < + оо, удоваетворяющей уравнению — а —, при 0 < х ( С, ди з д<и 0 < С + оо, удовлетворяющей граничным условиям 45 ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ й 9.

Интеграл Фурье Отметим сперва некоторые вспомогательные факты. + Г о!ах Вычисление интеграла ) — Ых. Преобравуя двойо ной интеграл от е-"о з)п х по квадрату (О х:, х х-.. а; О е" (у(а) двумя способами в двукратные интегралы и сравнивая результаты, получим ~ип х дх ~е-*оду = ~ду~е-'оип хе)х. о о Элементарпое интегрирование дает: 1 — Еах. е-хоДу = о а $ — е "о(оооа+уо1ва) е-та)ахах = )+у о Следовательно, а а а а о о Так как о) модуль второго слагаемого левой части меньше 1!а, модуль второго слагаемого правой части меньше 2/а, то в пределе при а -о + оо получим: +С о1вх я — дх = —. х 2 о (1.41) а +а а) учитывая, что ~е а ах( ~ е а ах = а о о а(О, е) =и(е, е) =О при О(о(+ оо и начальному условию и (х, О) = ~р (х) при О ( х < е, может иметь н е б о л е е одного решения.

1гл. 1 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Поскольку — — четная функция, из последней з1п в формулы следует' +~о — Их =п. (1.41') Лемма Римана для бесконечного промежутка. Если у (х) имеет на каждом конечном интервале не более конечново числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на ( — оо, +оп), то +ОО ) 1(х)з(пахах-~О при а-++ со.

Доказательство. Возьмем с н И настолько близкими к — оо и -)- оо, чтобы сумма интегралов от р (х)) по интервалам ( — оо, с) и Ц, + оо)была меньше в/2. Так как в силу леммы Римана ($2) )1(х)в(пахдх — >О при а-+ -(- оо, то при любом в) О найдется таков К ) О, что ~ ~ ~(х) з1п ах бх ~ ч..— при а ) К. Тогда при а ) К а будем иметы +С ~ ~ ~ (х) з1п ах бх ~ С ч в +(Ю ~ ) 11(х)(дх+ ~~~(х)в1пахбх(+ ') ~~(х)1ах ч" в; Ю С в следовательно, +60 ) 1[х)в1пахс1х-+О при а-++ оо.

СО Достаточное условие представимости функции интегралом Фурье. Пусть / (х) — функция, определенная на всей числовой прямой, имеющая на кащдом конечном сегменте не более конечного числа точек разрыва и абсолют- инткгРАл ФРРЪБ 1 91 но интегрируемая на ( — оо, + со). Последнее оэначает, что несобственный интеграл +С ) ~~(х)~ Их Ф есть конечная величина (интеграл сходится). Согласно сказанному в в 6 в каждой точке дифференцнруемости х9 функции 1 (х) имеем (при 1 ) ~ х9 !): +00 1(хе) = ~ +,~~~ (а„соа Я ' + Ь„з(п ~~) и=! где коэффициенты определяются формулами (1.20). Сле- довательно, ! а Дхэ) = — ~ 1(х)Их+ '~~ Я 1(х) сов — "" !)х сов — "" + П=! ' ! 1 !' .

Ая* . Аях9~ + — ~ у(х) а!и — Ых а)п — ! = )— сю ! = —,', ~л) +Х вЂ” ', ~л*) ° ""'*, — ! и=! ая / я 1 1 Полагая и„= — ~тогда !Ъи = — — = — !Аи„! по- и а ! 1 ! 9 )е лучим: СО ! (хо) = — ~ /(х)дх+ —,~~ Ьи„~ у(х) сов и„(х — х9) 99х. 1 -! В ! При 1-!- + оо, очевидно, +а — ', ~1(х)!)х-~0. ~ 1(х) Их=0. ОО Ряды ФуРьи и интБГРАл ФМРье Естественно предположить, что при (-» + со ,Я~ йи„~ 1 (х) соз и„(х — ха) Иха 1 -4 Покажем, что это действительно так. Положим а +» 1 1(а) = — „~би ~ )(х)сози(х — х„)дх. ч а Так как )1 (х) соз и (х — х ) (((1(х)( и ) (1(х)(йх С сходится, то можно изменить последовательность интегрирования и мы получим: +ай О 1(а) = — „~ 1(х)йх ~сохи(х — ха)ои = 1 +йо +ОЮ - — 1 1(х) 1 Г з1п а (х — х~) й~- — ~ П~.+ ) — й Г в1в ах я х — ха а ()) (последний интеграл получен нз предыдущего заменой х на х + х).

Если 1 (ха) = О, то ( '+ ) -» 1' (х,) при х— -» О, и, следовательно, функция ~р(х) = после ) (ха+ х) надлежащего доопределения в точке х = О становится непрерывной в окрестности нуля и будет абсолютно иптегрируема на ( — оо, + оо), ибо при достаточно малом е она непрерызыа на интервале ( — з, е) и вне его )~р(х)(( . )/(хо + х)) в +со +ею 1' -» ~ ни ~ 1(х)сози(х — ха)юх 1) О В (но это не очевидно!).

Если зто так, то полученное для -'() 1 (ха) выражение даст в пределе: + +а 1 1(ха) = — „~ йи ~ )(х) сози(х — х )йх. интиггвл Фугьв Следовательно, в силу леммы Римана для бесконечноге промежутка, имеем: -(:о 1(а) — „~ ~р(х)з(пахдх-эО при а- -(- оо. ( В общем случае [когда значение 1 (хг) может быть любым) положим: Тогда +СЮ +со 1(а) = — ~ 1(хо+ х) — '* сЬ+ — ~ ф(хх+ х) — *(Ь. По доказанному первое слагаемое правой части стремится к нулю при а -~ +оо, ибо 1 (х ) = О.

Второе слагаемое правой части равно 1 х +в ((х! 1. г(вхх ((хх) Г в(вх ((хх) Г гю — ~ — с(х = — ~ — <Ь-+ — ~ — <Ь = 1(хе) и ') * — я я,') -1 а х при а-++ оо (иктеграл в средней части получен из предшествующего заменой ах на х). Таким образом, в точках дифференцируемости х функции 1 (х) имеем: +ав +ею 1(хг) Вш1(а) = — „~ Ии ~ 1(х)сози(х-хх)<Ы.