1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (П.И. Романовский - Ряды Фурье. Теория Поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа), страница 7

Заменяя х, на х и х на й доказанное предложение можно формулировать так: Т е о р е м а. Если 1(х) имеет на каждом конечном интервале нс багге конечного числа точек разрыва и абсолютно интвгриругма на ( — оо, +оо), то в каждой нючквх, в которой 1 (х) диЯЗервнцирусма, имеем: 1(х) = ( $ ди $ 1(с)сози(г — х)дд (1.42) 50 Ряды ФуРье и ннтегРАл ФуРье 1гл. Правая часть формулы (1.35) нааывается деодиым интеералом Фурье функции 1 (х). Так как соз и (1 — х) = соз ие соз их + з1п иг з1п их, то (после внесения множителя 1/я) внутренний интеграл в формуле (1.42) можно преобразовать так: +О +ОΠ— ~ ~(1)сози(1 — х)~И = — ~ /(1) сози1М созих+ 1» 1 ОО ОО +ОО 1 -(- — ~ /(1) з!пи1йг з(пих = а(и) сових+ Ь(и) з(пих, ОО +О» а (и) = — ~ ~ (1) соз ит й О +ОО Ь(и) = — „~ ~(1)з(пиесой 1 (и м О), (1.43) (и > О).

Тогда (1.42) принимает вид +ОО у(х) = ~ [а(и)сових+ Ь(и) з1пих)Ии. (1.44) о Выражение, стоящее в правой части формулы (1.44), называется интегралом Фурье для функции ~ (х). Таким образом, функция / (х) представляется своим интегралом Фурье во всех точках дифференцируемости. Заметим, что это достаточное условие представимости функции своим интегралом Фурье не является необходимым, представимость интегралом Фурье будет иметь место и при более общих условиях. Формула (1.44) показывает, что интеграл Фурье можно рассматривать как континуальный аналог ряда Фурье: вместо суммирования по индексу п, пробегающему целые значения, мы имеем интегрирование по непрерывно изменяющемуся переменному и; вместо коэффициентов Фурье, зависящих от целого индекса п, мы имеем функции а (и), Ь (и) от непрерывно изменяющегося переменного и, определяемые формулами (1.43).

е 10] КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ИитвГРАЛА ФУРЬЕ 51 $ $0. Комплексная форма интеграла Фурье Преобразуем подынтегральное выражение формулы ((.44) с помощью формулы Эйлера. Имеем.' а (и) сових + Ыи) з[л их = елее -~- е Еое ее"" — е (™ =а( ) 2 +Ь(и) е~ое+е ~ее е~ое — Е ~о» = а(и) — [Ь(и) 2 2 =. с (и) е'"" + с ( — и) е"""', где положено Тогда л ~ [а (и) соз их + Ь (и) зп1 их] Ну = о л =~[с(и)ее""+с( — и)е-' [Ни= о $с(и)е'"еда+ $с( — и) е-о "о[и = = ) с(и)е'""ди+ ~ с(и) е~"*о[и = ) с(и) е'оее(и, о -л -л л так как после замены и иа — и интеграл ) с(- и)е-еоеееи е о переходит в ~ с(и) е' "Ни.

-л 52 Ряды Фтеьв и интзгзал Фузък игл. 1 Для с(и) получим выражение с(и) = о(о) 2 +ОО +со 1 — — г(л)совилал — 1 — ~ у(г)вши1НГ) = » » +~» +М т — гл ~ (С) (сов из — 1 в!и ис) й = — ~ у (Ю) е-л ~ йс (и ~ О) Непосредственно видно, что этн формулы верны и при и ( О, например, из того, что е ( — и) = с (и). Из формулы (1.37) получаем теперь: л ~(х) = Иш ) (а(и)сових+ Ь(и)в!пих) да = +а ь л +» = )пп ) с(и)е™" аи = ) с(и)е'""аи л-+Ор л ОФ +Ой л (понимая ) кан Иш ) ), » Итак, в точках дифференцируемости функции ) (х) у(х] = ') с(и) е'""с1и, Ю (1.45) где Выражение для ~ (х) в форме (1.45) является комнлексной формой интеграла Фурье для функции г(х).

Если в формуле (1.45) заменить с (и) его выражением, то получим в точках дифференцируемости функции ~ (х)~ +ОР +а ~(х) = ~~ — ~ е'""<Ь .~ )Яе-'"'сй (1.46) 40 ЯО г и] ннтвгглл для чвтных и нвчвтных эвикции 53 нли, после внесения е'"" под внак внутреннего интеграла, +со +со 1(х)= 2 1 Ыи 1 1(с)е' = дс (146) Правая часть формулы (1.46') навывается двойным ин- тегралом Фурье в комплексной Форме.

Положив +со Р(и) = ) ~(г) е-~"'ас, со формулу (1.46) можно переннсать так~ +Ов ~(х) = — ~ г (и)е'""Ии. 1 2л (1.46") 4 11. Интеграл Фурье для четных и нечетных фуннцнй +ов Ь(и) — „~ у(с)в(ви$3$ = О, т следовательно, интеграл Фурье (1.44) нриннмает внд +св у(х) = ) а(и)совихг(и, (1.47) (1.47') Пусть у (х) — четная функция, удовлетворяющая ус- ловиям $9. Тогда +Ос +Ос а(и) — ~~ у(г)салигов= — $ у(1)соаисс)СЬ г 2 64 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ИГЛ. 1 Это — интеграл Фурье длл четной функции ~ (х). Заменяя здесь а (и) его выражением, получим двойной интеграл Фурье длл четной функции.' +оо + о 1(х) = — ~ совихаи ~ /(1)созигай (1.48) 2 о о Пусть теперь | (х) — нечетная функция, удовлетворяющая условиям 3 9. Тогда а(и) = — „~ /(1)созигй =0; 1 +оо +со Ь(и) = — „~ 1Яв!пиййг= — $ 1(1)тпи1а1; 1 Г .

2 Оо о следовательно, интеграл Фурье (1.44) принимает вид +о 1(х) = ~ Ь(и)в(пихйи, о (1.49) где Ъ (и) = — ~ ) (1) з!и и1 й1. о (1.49') Формулы (1.48) и (1.50) можно перефразировать следующим образом. Положим Это = интеграл Фурье длк нечетной функции / (х). Заменяя здесь Ь (и) его выражением, получим двойной интеграл Фурье длл нечетной функцииг +оо +оо гч- — '(м *ъ~ ног ~ьо.

<о.ооо о $ и] интвгаал для нитных и нвчвтных Функции 55 Тогда из (1.48) следует [если у (х) — четная функция, удовлетворяющая отмеченным выше условиям), что в точках диффереицируемости функции у (х) +09 у(х) = у — ~ «р(1)созх1««1. Г2 е Называя выражение, стоящее в правой части ($.48')« иосинустрансформа«)пей функции у (х), приходим к з акопу взаимности: если «р (х) есть косинус-трансформация четной функцииу (х), тоу (х) есть косинус-трансформация от «р (х). Положим «р(х) = ~à — „~ у(1) з(пхИ1. е (1.50') 1 при )х)(1, 1 прн (х( 1~ О при ) х () 1. Р (х) Функции 1(х' четнаи, следовательно, на основании (1.47) имеем: у(*)- $.(.).

ь: е 1 2 Г 2 в1пы«!«ь 2вжи е(и) = — )1(1)сохи««)1 — ~совкам. — — ~ и 3 и (««е е е Тогда из (1.50) следует (если у (х) — нечетная функция, удовлетворяющая отмеченным выше условиям), что в точках дифференцируемости функции у +СО у(х) = у~ — $ «р(1)з(пх1И. У 2 е Называя выражение, стоящее в правой части (1.50'), синус-трансформацией функции у (х), приходим к закону взаимности: если ф (х) есть синус-трансформация нечетной функции у (х), то у (х) есть синус-трансформация от ))(х). утрммер.

Представить интегралом Фурье функцию (гл. е Ряды ФуРЬВ и интвгРлл Фурьв позтому 2 (' з1пи е (х) — соз их йи. ж и Тапки образом, если [х((1, 1 (х(=1 ° О, волк ) х () 1. +е 2 Г з(пи — — соз их йи = я и (1.51) Вырзжепяе (1.51) называется реериеиим миехеитееем д ирихле. 2 12. Ортогональные системы 'функций Будем рассматривать действительные функции у (х) на каком-нибудь интервале (закрытом, открытом нли полуоткрытом) с концами а, Ь (а конечно или равно — оо, Ь конечно или равно + оо), на котором фиксирована некоторая положительная непрерывная функция р (х) (вгсовал 1буняция).

Будем предполагать функции ~р '(х) непрерывными на рассматриваемом интервале н такими, чтои) ь ) [ер (х) ) з р (х) е(х ( + оо. е «) Если рассматрвваомый вктзрвал есть сегмопт, то отому трсбозавкк» удовлетворяет каждая яепрерывкая ка кзм функция. Для таких функций у (х), (р (х) положим ь (~р, е[е) = ~<р(х)ер(х) р(х)дх. е Этот интеграл имеет смысл, так как [<рф [ ( — (ер~+ фз).

1 О п р е д е л е н и е. Функции ~р (х) и ер (х) (удовлетворшощие указанным выше требованиям) называются ортогональнмхеи относительно веса р (х) на данном интервале, если (р, ф) = (). (1.52) Ортогональность не нарушается прв умножении функций на постоянные множители. оутогонлльныв систвмы Функции 57 О п р е д е л е н и е. Функция ф (х) (удовлетворяющая указанным требованиям) называется нормированной относительно веса р (х) на данном интервале, если (ф, ф) 1. (1.52') Не исчезающую тождественно ф (х) можно сделать нормированной, умножив на подходящий постоянный множитель Л (нормирующий льножитгль). Этот множитель Л следует выбрать так, чтобы (Лф, Лф) = 1, откуда Л= ~ у'(ф, ф) Например, для х на [О, 1) нри единичном весе ~~/ )ь ь Рассмотрим бесконечную систему функций фг (х ), фь (х),..., ф„(х),...

(8) (удовлетворяющих отмеченным в начале параграфа требованиям). Назовем систему (Я) ортогональной относительно веса р (х) па данном интервале, если все функции этой системы не исчезают тождественно и попарно ортогональвы относительно веса р (х) на рассматриваемом интервале, т. е.

если (ф~, фь) = О при г + й. Назовем систему (Б) ортонормироваяной относительно веса р (х) на данном интервале, если она ортогональная и все ее функции нормированные относительно названного веса на рассматрвваемом интервале, т. е. если ( О при 1+й, 11 1 при 3 = й. Если некоторая функция ~ (х) допускает разложение 1(х) =,Я~ аьфь (х), В-1 (гл. г гиды оугьк и интвггал еугьв зо, умножая зто равенство на ф„(х) р (х) и интегрируя за«$ езм почленно в пределах от а до Ь (если это законно), получим: (у, ф„) = ~ аг(фг, ф„) = а„(ф„, ф„), откуда В-1 а„— '" (и =1, 2, 3,...).

(1.54) ((, ф„) (фс ф„) О и р е д е л е н н е. Рядом Фурье какой-нибудь функции у (х) (удовлетворягощей отмеченным в начале параграфа требованиям) относительно ортогональной системы (Б) называется ряд ОО ,,'~, а„р„(х), и 1 коэффициенты которого определяются по формулам (1.54). При этом пщпут у (х) —,~~ ао~р„(х). 1 Но из этого не следует, что у (х) должна разлагаться в свой ряд Фурье. лурылсср. На сегменте (-и, н. система функций 1 —, сов с, его л, сое2х, ею2л,..., сое ол, е1в вс,...

(Т) ортогональна относительно единичного асса (сы. вычисление есномогательных ввтегралов $2). Обозначая коэффициенты Фурье какой-нибудь функции у (и) на ( — и, в) относительно системы (Т) через вы егю Эь ос~ Еы ° ° 1 со опт ° ° э найдем во фориулаы (1.54р н -и 1 2 1 — - —,~ПО~; ((Д)с ол огтогональныи систвмы Функции 59 1 тз1 1(х) соа ахах аа сова ах дх -а 1 С вЂ” ) 1 (х) соа ах ~)х; а (а=1,2,3,...), 1 (х) а! а ах ох Я С Ьа = — ~ 1 (х) а1п ах (Ь а)па ах сЬ которые а данном случае превращаются е формулы (1.7) 1 2. о = (1 ф а) (и = 1» 2! 5~" ). Ортогоналиаация системы функций.

Пусть 1м 1а "° ...,1„,... — бесконечная система линейно независимых функций (удовлетворяющих отмеченным в начале параграфа требованиям). Взяв произвольные действительные числа йь (1)й э1), последовательно построим функции фа =1а фа = "етфт + 1а~ фа = асафа + асафа + 1а~ ф» = ))кафа + авафа + - + "ъа-а фе-а + 1ав Тригонометрические ряды Фурье являются частным случаем рядов Фурье относительно ортогональных систем функций. Если функции, составляющие какую-нибудь ортогональную систему (Б), умножить на какие-нибудь постоянные Х„ + О, то получим снова ортогональную систему. Коэффициенты Фурье какой-нибудь функции при этом разделятся на Х„(как видно из формул (1.54)), члены же ряда Фурье не изменятся (~1 3,„ф„= а ф„).