1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (П.И. Романовский - Ряды Фурье. Теория Поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа), страница 5

1 точки струны с абсциссой х в момент 1, то функция и (х, 1) будет удовлетворять линейному однородному урав- нению с частными производными второго порядка дэн дах — =а— д1е дхэ ' (1.25) где а — постоянное положительное число. Если струна имеет конечную длину 1 и ее концы с абсциссами 0 и 1 закреплены, то мы получаем следующие граничные условия: и (О, 1) = 0; и (1, 1) = О. (1.26) Будем сперва искать те решения уравнения (1.25)в об- ласти 0<х<1, — с <с<+со, удовлетворяющие граничным условиям (1.26), которые имеют специальный вид: Х (х) Т (7), где Х вЂ” дважды вепрерывно дифферевцируемая функция от х на (О, 1), не равная тождественно нулю, Т вЂ” дважды непрерывно дифференцируемая функция от 1, не равная тождественно нулю.

Вставляя и = Х Т в (1.25), получим; ХТ' а'Х" Т, (1.27) откуда после разделения переменных найдем1 Х' 7" Х еэу (1.28) Так кан левая часть не зависит от 1, а правая часть не зависит от х, то общая величина этих отношений есть некоторая постоянная Л) поэтому Х вЂ” ЛХ=О;Т" — ЪаТ=О. (1.29) Строго говоря„формула (1.28) н, следоэательно, формула (1.29) слранедлнэы для тех х, где х (х) + О, н тех е, где т (1) чье. нотам, где Х (х) = О, змеем в силу (1.27) Х' (х) = О (нбо Т не йсчеэаст тождественно), н там, где Т (г) = О, имеем э силу (1.27) Т" (г) = О (нбо Х не нсчеэаег тождественно), поэтому рааенстаа (1.29) спраэедлнаы для всех рассматриваемых х н Ь Граничные условия (1.26) даюте Х (О) Т (Т) = О; Х (1) Т (1) = О . з т1 ггавнвнив своводных малых колвванин статны 37 н, следовательно (так как Т не исчезает тождественно), Х (0) = 0; Х (Е) = О.

(1.30) Покажем теперь, что при Л ~ 0 первое из уравнений (1.29) не может иметь на (О, И решений, не'исчезающих тождественно и удовлетворяющих граничным условиям (1.30). В самом деле, если бы при Л ) 0 нашлось такое реше- ние, то в некоторой точке между 0 и Е оно было бы отлично от нуля, например положительно (в противном случае сле- довало бы заменить Х на — Х); тогда наибольшее значе- ние Х на (О, Е! должно было бы быть положительно и до- стигаться в некоторой точке -$ внутри этого сегмента.

Но тогда Х(Р>О; Х ®=О; Х" ®=ЛХ(Р>О и, следовательно, в точке $ функция Х должна иметь ми- нимум, что нелепо. В случае Л = 0 первое нэ уравнений (1.29) превращается в Х" = О, следовательно, Х линейна и при условиях (1.30) может быть только тождественным нулем. Итак, мы доказали, что Л < О, поэтому можно по- ложить Л = — й~, где й ) О. Уравнения (1.29) принимают вид Х" + йтХ = 0; Т" + йзазТ = О.

(1.29') Составляя и решая соответствующие характеристиче- ские уравнения этих однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, найдем: Х = С, соз йх + Сз 3!и йх; Т = Р, соз аи + Рв з!в айг, где ффРю Р, — постоянные. Граничные условия (1.30) налагают требования: С, = 0; С, соз Ы + С, з!и Ы =* О, откуда (так как С, + О, если Ст = 0) з!и Ы = 0; Ы = ля (я — целое); й = пяЕЕ; следовательно, Х = С, зйл —,; Т = Р, соз — + Р, з1в —, аях саят ваяФ откуда (полагая С~Рт — — А, С,Р, = В) и = ХТ = (А сов †" + В з(п †"" 1зЕп †" . (1.30') Е Е Е 33 гяды етгьв и интвггал фггьн ~гл.

з Обратно, непосредственно проверяется, что выражение (1.30') при любых постоянных А и В удовлетворяет уравнению (1.25) и граничным условиям (1.26). Таким образом, общий вид всех решений уравнения (1.25), удовлетворяющих граничным условиям (1.26) и имеющих специальный вид и = Х (х) Т (С), дается формулой (1.30'). Так как уравнение (1.25) и граничные условия (1.26) линейны и однородны, всякая линейная комбинация решений уравнения (1.25) с условиями (1.26) есть также решеаие уравнения (1.25) с условиями (1.26). В упомянутой линейной комбинации может участвовать не только конечное, но и бесконечное число функций, однако в последнем случае постоянныекозффицентыследует брать так, чтобы получающийся ряд и ряды, появляющиеся из него после однократных и двухкратных почленвых дифференцирований по рассматриваемым переменным, были бы равномерно сходящимися (тогда заковы однократные и двукратные почленные дифференцирования, с которыми придется встретиться при проверке выполнимости (1.25).

Таким образом, выражения вида + СО и (х, 1) =,~ Я(А„соа ™ + В„з!и — ) з!и — (1.31) при упомянутом выборе А„и В„будут решениями уравнения (1.25) с условиями (1.26). В частности, требования, предъявляемые к А„, В„, выполняются, если сходятся ряды Ф О ~Р, и' ~ А„~, ~~~~ нз ~ В„(. 1 1 Предположим теперь, что для каждой точки струны известно ее начальное положение н начальная скорость. Тогда на и (х, г) должны быть наложены дополнительные ограничения вида и (х, О) = ~р(х); й, (х, О) =ф (х), (1.32) где ~р (х), ф (х) — заданные функции (причем ~р (О) = = р(1) =' р (О) = р ()) =О). Условия (1.32) называются начальными усзовилми. Будем искать среди решений вида (1.31) такие, которые тзавнвнии своводных малых колнвпиии стогны 39 удовлетворяют начальным условиям (1.32), т.

е. подчиним функции +Ф -« / ппп« пяа«'« . пяп и (х, Ф) =,~« ~А„соз — + В„з!п — ~ з«п— п=« и«'(х, 1) = +Ф пяа . ппа«ппа пяа«') . пях у « = Т1- — А з(п — + — В соз — 1з(в— й-1 условиям (1.32). Если «р (х) и«р (х) на (О, Ц допускают разложения по си- нусам ОО ОО «р(х) = ,Яа„ з!и†" , «р (х) = ,"~~~~Ь„ з1п — ""* 1 1 и при этом числа Ап = а„, В„= — Ь„удовлетворяют требованиям, принятым при построении решений вида (1.31), то поставленная задача разрешима, ибо, определив тогда и (х, «) по формуле (1.31) с помощью этих А„, В„, найдем, что и (х, О) ий,(х, О) будут иметь на[0, Ц такие же разложения, как «р (х) и«р (х).

Так как этиразложенияоказываются равномерно сходящимися, то формулы (1.24) применимы, и, следовательно, 2 Г пяп А„= — ~ «р(х) з(п — Ах; и 1 0 В„= — „~ «Р (х) з1п — «1~. г ппх о В частности, «р (х) и и «р (х) будут удовлетворять указанным требованиям, если нечетная функция с периодом 21, совпадающая с «р (х) на (О, Ц, трижды непрерывно дифференцируема и нечетная функция с периодом 21, совпадающая с «р (х) на (О, 1), дважды непрерывно дифференцируема (см. сказанное в конце $ 2). Итак, при упомянутых требованиях, наложенных на «р (х) и «р (х), задача о свободных малых колебаниях струны с закрепленными концами и заданными начальными положениями и начальными, скоростями ее точек 40 гяды еггьв и интвглал еггьв и'л.

~ разрешима и ее решение дается формулой +ао хнам . хкагт . хях и(х, г) ,~~ ~А„соз — + В„з!и — ) з|п— И1 где А„= — р (х) зш — дх, 2 Г . акх а В„= — ~$(х) яп — Ах 2 Г, аих а (и =1,2,3,...). (1,33) 4 8. Уравнение распространения тепла в стержне рассмотрим идеально тонкий однородный изолированный стержень, расположенный вдоль оси абсцисс.

Из физических соображений следует, что если и (х, г) обозначает температуру точки стержня с абсциссойх з момент г, то функция и (х, г), выражающая закон распространения тепла в стержне, удовлетворяет линейному однородному уравнению с частными производными второго порядка ~о=а ы (1.34) где а — постоянное положительное число.

Если стержень имеет 'конечную длину ) и на его концал с абсциссами 0 в ) поддерживается постоянная нулевая температура, то возникают граничные условия и(0, г) 0 в и(1, г) =О. (1.35) Будем сперва искать те решения уравнения (1.34) в области 0<, <1,0а.г<+ удовлетворяющие граничным условиям (1.35), которые имеют специальный вид Х (х) Т (г), где Х вЂ” дважды непрерывно дифференцируемая функция от хна (О, )), не равная тождественно нулю, Т вЂ” непрерывно дифференцируемая функция от ~ на (О, + сс), не равная тождественно нулю.

Вставляя и = ХТ в (1.34), получим Х Т' а'Х'Т, ы УРАзненив РАспРостРАнения теплА В стВРжнн 41 откуда после разделения переменных найдем (для тех В, где Х + 0 и тех т, где Т + 0) х" Х АТ Общая величина этих отношений есть некоторая постоянная Л, поэтому Х" — ЛХ =0; Т вЂ” ЛазТ =О, (1.36) причем (1.36) оказываются справедливыми для всех х на(0, 1) и всех г на (О, + оо)(учитывая, что Хи Тне равны тождественно нулю). Граничные условия (1.35) дают х(о) =х(ц =о. (1.37) (1.36') Общие решения этих уравнений имеют вид Х = С, сов йт+ С, з1пйх; Т =Ое-""".' Граничные условия (1.37) налагают требования С, =0; Ст соей(+ С,з1п«1 =О, откуда (так как С, + О, если С, = 0) з(п й1 = О, й1 = пя (и — целое), й = —, откуда (полагая С,1) =А) Ф П=ХТ= Ае '* зш —.

(1.37') Обратно, непосредственно проверяется, что выражение (1.37') при любом постоянном А и любом целом п удовлетворяет уравнению (1.34) и граничным условиям (1.35). Таким образом, общий вид всех решений уравнения (1.34), удовлетворяющих граничным условиям (1,35) и имеющим специальный вид и = Х (л) Т (1), дается формулой (1.37') Первое иэ уравнений (1.36) не может иметь при Л > 0 решений, удовлетворяющих (1.37) и не равных тождественно нулю, поэтому Л(0 и можно положить Л = — йз, й ) О.

Уравнения (1.36) принимают вид Х" + йзХ = 0; Т' + йза'Т = О. Ряды ФуРье н интвгРлл ФуРье ИГЛ. 1 6Р ллла1 Х- — лях А„е " зш 1 равномерно сходится при 1 > 0 и ряды, полученные из него путем почленных дифференцирований любое число рав, равномерно сходятся при 1~с, где е — любое положитель. нос число. Отсюда следует, что в случае сходимости ряда '«~] А„) функция 1 Фда~ и(х, 1) =,«', А„е '* а(ив 1 (1.38) непрерывна при 1 ~ О, удовлетворяет граничным условиям 1.35) и удовлетворяет уравнению (1.34) при г ) О. редположим теперь, что в начальный момент каждой точке стержня придана начальнаятемператураи требуется выяснить вакон распространения тепла в стержне при условии, что на концах поддерживается постоянная нулевая температура.