1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (П.И. Романовский - Ряды Фурье. Теория Поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа)

ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЕ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ П. И. РОМАПОВСКИИ РЯДЫ ФУРЬЕ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА НЗДАНВВ ПЯТОВ, ДОПОЯНВННОВ Деникино Маннсиыроыеом висжева и среднево сиеииавьново одрававаних СССР в качеакые рчебново аасобнх дех сиьрдеимое виске их иыхиичесхич рчвбных аыедеииа ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКАо ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1973 527.2 Р бй УДК 527.5 Ряды б7урае. Теория поля. Аналнтическве и специалвные фуивции.

Креобрааоввпие Лалама. Романовский П. И. Главная редакцвя фввико-математической литературы вед-ва еНаука», 7973. Кинга представляет собой учебное пособве для студентов втувов по некоторым раоделам математикм, входящим в настоящее время в программы еначвтельвого числа высшвх технвческих учебных наведений. Книга может быть также палеева аспирантам технвческих кафедр, преподавателям и инженерам, Илл. 72, Па««а И«ноше««ич Романа«ение Ряды Фурье. Теория вопя. йаевнтвчеснве и спедвав»вые йуиндвв. Преобраеовавве Лапваса (Серащ «Набранные гвены высшей маыметвнв дня ввшеиерон в студентов в»усове) Ы., 1973 г., 336 стр. о ивн. Редактор и. В.

Дб раи Те*и. Редентор И. Ш. Лююлоюб Поррентор Л, Н. В«»юсино СДШШ Е ВабОР 10/Х 1972 Г. ПОДПВОЕВО Н ПЕЧатн 3/П 1973 Г. ВУвата 84ХИИТю Фпо. печ, а. РИ3 усвоен. печ. в. 17,06 уч.-вод. а. 18,16. тпрын 39000 оно. т-007ы Пена нв7ши 81 ноп. ване»»6 1266 Иедатеньогво «Наунае гваевея реданпвя йпевно-матеыотнчеоной да«ературы П7О1, мосина В-71, Левввонай проспент, 18 2-я тнпогрырня иодатев»опы енауне«. Носнов, шубввонай пер., ю ОГЛАВЛКНИЕ Предисловие к первому иэдепшо Предисловие ко второму издапшо Предисловие к пятому изданию Г л а в а 1.

Ряды Фурье в интеграл Фурье...,, °, ° 4 1. Периодические функции ......,..., ° 4 2. РядыФурьедляфувкцийспериодом2я..... ° 3. Комплексная форма ряда Фурье для функций с периодом 2я » 4. Четные и нечетные функции . $5. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2л $6. Ряды Фурье для фувкцвй с любым периодом . $7. Уравнение свободных малых колебаний струим и его решение методом Фурье $8.

Уравнение распространения тепла в стержне 4 9. Йвтеграл Фурье $10. Комплексная форма интеграла Фурье $11. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций,, 4 12. Ортоговальныа системы функций $13. Минимальное свойство иозффициевтов Фурье . 4 14. Замкнутые системы функций $15. О решенви методом Фурье некоторых задач для линейных уравнений с частными производными второго порядка ° ° Г л а в а 11. Основы теории поля... ° ° ° ° ° » > ° ° $1. Основные сведения из векторной алгебры . °,, ° 4 2. Векторные функции скалярного переменного $ 3.

Сопровождающий трехгранник пространственной кривой 4 4. Скалярное поле. Градиент скалярного поля .. $5. Криволвиейные интегралы 4 7. Поверхностные интегралы .. ° ° > ° >» 4 8. Формула Остроградского 4 9. Векторная запись формулы Остроградского. Дввергенция векторного поля........... ° ° $10. Формула Стокса $11. Векторная запись формулы Стокса. Вихрь векторного поля ° > 9 9 10 27 30 74 79 79 81 Й 105 107 112 115 1е Огллвлкниж 4 12. Операции второго порядка .

° э з ~ ~ ° в ° ° $13. Символика Гамильтона . $14. Векторные операции в криволинейных координатах Г л а в а П1. Начальные сведения об аналвтических функциях 4 1. Комплексные числа $2. Ряды с комплексными членами...,,.... $3. Степенные ряды 4 4. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции комплексного переменного $5. Некоторые многозначные функции комплексного переменного $6. Производная функции комплексного переменного $7. Аналитические и гармовические фуякции .

8. Интеграл функции комплексного переменного . 4 9. Основная теорема Коши $10. Интегральная формула Коши... °,, $11. Интеграл типа Кошв $12. Производные зысшвх порядков от апалвтической функцви 13. Последовательности и рядм аналитических функций ....................... 1 14. Ряд Тейлора * $15. Ряд Лорана $16.

Изолированные особые точки аналитической функция 4 17. Вычеты $18. Принцип аргумента $19. Дифференцируемые отображения . 4 20. Конформные отображения областек $21. Задача Дирихле для круга и свойства гармонвческих функций Г л а в а П'. Онекоторых спецвальвых функциях ~ з е 4 1. Гамма-функция $ 2. Бесселевы фупкции с любым индексом . $3. Формулы приведения для бесселевых функций .

4 4. Бесселевы функции с полуцелым индексом 4 5. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом $6. Ряды Фурье — Бесселя $7. Асимптотическое представление бесселевых функции с целым индексом для больших значений аргумента 8. Интегральный логарифм, интегральный синус, интегральный косинус.... ° ° ° з з,, а . * в Г л а з а т'. Преобразование Лапласа...

° ° ° -. з $1. Вспомогательные сведения об интегралах, зависящих от параметра $2. Преобразование Лапласа.. 4 3. Простейшие свойства преобразования Лапласа, ~ 4. Свертка функций . ~, °, ° °, в ° ~ ° ° з ° ° И8 119 121 131 131 134 137 147 151 157 159 164 169 171 173 174 177 182 185 189 197 201 211 236 236 243 249 251 253 257 262 267 274 274 279 283 286 ОГПЛВПБННВ 304 313 318 б. Оригиналы с рациональными изображениями . 289 6. Приложения к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коаффициевтами ..

. .. . . . . , 293 ?. Приложевиек решению линейных уравнений в конечных разностях с постоянными коэффициентами 297 2 8. Оригиналы с иэображениями, регулярными з бесконечности . 1 9. Иэображения некоторых специальных функций 1 10. Формулы обращения $11. Достаточное условие для того, чтобы аналитическая функция была изображением 1 12.

Об одном обобщевви преобразования Лапласа .. Предметный указатель ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Современное развитие техники предъявляет повышенные требования к математической подготовке инженера. Традиционный втузовский курс математики оказывается явно недостаточным при подготовке инженеров ряда специальностей. На некоторых факультетах многих высших технических учебных заведений в обязательную программу ныне включаются специальные (дополнительные) главы курса математики. Однако подходящей для студентов втузов учебной литературы по этим вопросам еще не хватает.

Использование же только одних больших курсов и монографий затруднительно для студентов. Практика показывает, что имеется большая потребность в небольших по объему, сжато написанных учебных пособиях, где в доступной для студентов форме и в определенной логической последовательности излагалось бы основное содержание дополнительных глав курса математики, ныне преподаваемых во втуэах. Настоящая книга имеет целью в сжатой, конспективной форме изложить некоторые из этих глав. Она возникла из книги «Дополнительные главы курса математики для радиотехнических факультетов» (Оборонгиз, 1954), явившейся конспектом лекций, читанных автором на радиотехническом факультете Московского авиационного института.

Предлагаемую книгу следует рассматривать как краткое учебное пособие для студентов высших технических учебных заведений по следующим разделам: ряды Фурье и интеграл Фурье; теория поля; теория аналитических функций; некоторые специальные функции; операционное исчисление.

пгвдисловив к пятомт изданию Т В книге не приводятся физические и технические криложения излагаемых теорий. Такие приложения можно найти в более подробных руководствах, например~ в книге М. А. Лаврентьева и В. В. Шабата «Методы теории функций комплексного переменногоя (по аналитическим функциям, специальным функциям и операционному исчислению), в книге Г. П.

Толстова «Ряды Фурьея (по рядам и интегралу Фурье). В отдельных (немногих) местах книги, в целях большей стройности, изложены некоторые не обязательные для студентов факты, тесно примыкающие к излагаемым теориям. Автор ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Во втором издании книги несколько расширен пара граф, посвященный ортогональным системам функций, и добавлен параграф, содержащий приложение преобразования Лапласа к решению линейных уравнений в конечных разностях с постоянными коэффициентами. Исправлены замеченные опечатки Автор ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ В пятое издание книги включено несколько новых параграфов и сделаны добавления к некоторым старым параграфам.

К э 2 гл. 1 добавлены доказательство простейшего достаточного условия равномерной сходимости ряда Фурье к порождающей его функции и доказательство связи между характером гладкости функции н быстротой стремления к нулю коэффициентов ряда Фурье. В $8 гл. 1 рассмотрено решение методом Фурье простейшей задачи для уравнения теплопроводности. В э 14 гл. 1 введено понятие замкнутой системы функций, доказана замкнутость тригонометрической системы функций и изучена система функций, связанная с задачей Штурма — Лиувилля. пвидисловии к пятому издАнию В $ $5 гл. 1 рассмотрено решение методом Фурье некоторых задач для линейных уравнений с частными проивводными 2-го порядка, обобщающее наложенные в Ц 7 и 8 решения вадач о колебании струны и распространении тепла в стержне.

К в 9 гл. 111 добавлено докавательство теоремы Морера и дано обращение основной теоремы Коши об аналитических функциях. В $21 гл. 111 дано решение Задачи Дирихле для круга и наложены различные свойства гармонических функций двух переменных. В $ 6 гл. 1Ч изложены краткие сведения о рядах Фурье — Бесселя с использованием теоремы сравнения Штурма для линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка. В $12 гл.