1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Итак доказана Т е о р е м а. Если функция1 (х) с периодом 2я имеет на сегменте (-я, я) не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то эта Яункцияразлагается в свой ряд Фурье в каждой точке, в которой она диубЯеренцируема.

П р и меч а в в е. Дспазавпое достаточное условие представпмоств фуапцнв своим рядом Фурье отнюдь не является песбхсдпммм. Предстаелепве фуэкцпв свопм рядом Фурье будет иметь место и прв значительно более обшпх предположеппах. Отметим, например, без доказательства, что если / (х) удовлетворяет условию Дирихле на ( — я, я), то у (х) разлагается в свой ряд Фурье в каждой точке непрерывности, а в точках раарывах рядФурьесходитсяк ~( )+~( + 2 Говорят, что функция удовлетворяет условию Дирихле иа некотором сегменте, если этот сегмент можно разе бить на конечное число частичных сегментов так, что вну- вв 21 гиды етгьи цля этнкцин с пнгиодом нь 19 три каждого из них функция монотонна и ограничена.

Таким образом, разложение рассматриваемой функцин в ряд Фурье имеет место во всех правильных точках, т. е. в точках х, где !)*) = ))* и ') ))' )' ь , Пусть теперь Е (х), функция с периодом 2я, имеющая на сегменте [ — я, я] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируемая на этом сегменте, удовлетворяет на интервале (а, ]]) условию Липшица (зто значит что для любых х' и х" на этом интервале ] Е (х") — Е (х') ] а-„ а:. К ] х" — х' ], где К вЂ” некоторая постоянная). Покажем, что тогда на каждом сегменте ]а, Ь], где а < а < Ь < ]1, ряд Фурье функции Е (х) равномерно сходится к этой функции (следовательно, если рассматриваемая функция непрерывно дифференцируема на некотором открытом интервале, то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на всяком сегменте, содержащемся в этом интервале).

Пусть Ь)0 меньше чисел а — а, ]] — Ь, я. При а < х, < Ь в силу (1.8"') имеем 1 ь) ~ (~)'в* )*.) — ))М= — )))~.) )-И~), д )- 2в1в 2 -ь ЗФ + — „~ + — „~ =Еь+Еь+ Еь. 1Г Так как прн а < хь < Ь ь ь ~ '( +*' —,'Ьм) в] тхдх~< К ~ — *, Нх, '2 -ь 2в1с —.х -ь 2в)в 2 х то при достаточно малом Ь будем иметь ] Е, ] < е при а < < х, < Ь, где е ) О произвольно мало. Далее в силу леммы Римана и ограниченности Е на ]а, Ь] ) в)этх ] Е( ) в)атх 1 2в1в-в-х 2вш 2 х 20 Ряды ФуРьк и инткгРАл ФуРЬВ игл.

3 равномерно при а < х, ( Ь, и аналогичное относится к — ь Г Теперь очевидно, что для доказательства выше- формулированного утверждения достаточно показать, что если  — А ( 2я и ф (х) — фиксированная непрерывная функция на [А, В), то в Х(х лу) =) 1(хз+х)ф(х)зштхдх-~0 при у-лО А равномерно при — оо ~ хз с. + оо. Продолжим ф (х) до непрерывной функции с периодом 2я с сохранением максимума модуля, и пусть т= шах ~ф(х)~. Легко видеть,что найдется такая непрерывная функция Р (х) с периодом 2п, что ) ~Р(х) — 1(х)~/(х<" з, л где а ) 0 произвольно мало.

Переход от 1к Р изменит 1(хш и) меньше чемна/лз, поэтомудостаточно лишь показать, что в Х(хз,т) =~ Р(х +х)ф(х)Мптхдх-лО прн У-+ со равномерно относительно хю Замена х на х + ~ дает  — л/» 7(хз, т) = — ~ Р (хе+ х + — ) ф (х+ — ) з(птх Их = А — л/л В А  — + ~ =1,+1,+1„ А А — л/л  — л/л откуда после почленного сложения 21(хю, У) = ~ ~Р(хе+ х)ф(х)— А -Р(х.+х++)ф (х+ —,")1з1я-,Ь+1,+1,. Но так как модули .1, и 1з не превышают М/вп/т, где 1 г1 гады этгьн для ютнкпнн с пвгнодом м> 21 М = >пах ~ Р (х) [, то остается лишь обнаружить, что в $ ~Р (хь + х) ф (х)— А — Р(хь+х+ — 1>ф (х+ — 1[в(птхь[х-ьО крит-ьои гя ример.

Составить ряд Фурье дяя функции х ф(х) = 2 ни (0,2я), имеющей период 2к (в точках авда 2/>я, гдв к — целое, положим / равной к/2). Имеем 11 ь — дх к: и — ) — сох ях >(х = О (и,ю 1) х 2 >>3 2 е Ь = — гь — в1п ях ь/х — — (и~1), 1 32 и ь слеаоиательво, к в1п 2х в1п ях ф (х) — — в(п х — — —...— — „ 2 2 "' я На основании ввложенпого этот рвд сходится к >(> (х) равномерво ва каждом сегменте, ке содвржащим точек вида 2вк, ио в этак точках рва сходится к к/2, следовательно, то>хе к ф. Таким образом, равномерно относительно х, но это непосредственно следует из ограниченности и равномерной непрерывности /г и ф.

Из доказанного следует, что если / (х) удовлетворяет условию Липшица на всей числовой прямой, например является непрерывной функцией с периодом 2я, кусочно- гладкой на [ — я, я), то ряд Фурье для / (х) сходится к / (х) равномерно на всей числовой прямой. Функция / (х) нааывается кусочно р раг (р и 0) непрерывно ди4у>еренцируемой на сегменте [а, Ь), если внутри него, за исключением конечного числа точек, производные /1г> (х) (О (/г ( р) непрерывны, в исключенных точках имеют конечные левые и правые пределы, в точке а имеют конечные правые пределы, в точке Ь имеют конечные левые пределы. В случае р = 0 / (х) называется кусочно-непрерывной на [а, Ь[, в случае р = 1 / (х) нааывается кусочно-гладкой на [а, Ь[. 22 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ (ГЛ.

1 и чт 3(в ах вогоду Е(я) *= — — т. ° Иэ этого примера видно что ряд 2»~~ л 1 <» Х „ в)п лв всюду сходится и притом равномерно ва всех оогпеп- 1 тах, пе содэржапшх точек вида 2ля. ь(1) пл = л ап) ол Ь„=— л (а„, Ь„обозначают коэффициенты Фурье функции~ (х)). Последовательное применение этих соотношений показывает, Отметим еще, что если функция ~ (х) с периодом 2л кусочно-гладка на (-я, я) и допускаетлишьправильныо разрывы, то ряд Фурье этой функции сходится к ней всюду (притом равномерно на сегментах, не содержащих точек разрыва). В силу изложенного в проверке нуждается лишь сходимость ряда Фурье к самой функции в точках разрыва х . Если я (х) — функция аналогичного вида и такая, что е (хо+ 0) — в" (хэ — 0) = г(хо+ 0) — г (хэ — 0), то / (х) — я (х) будет кусочно-гладкой и непрерывной в окрестности х, следовательно, ее ряд Фурье сходится к ней и точке х„а тогда ряд Фурье для ~ (х) будет сходиться к у (хо) в точке хо, если ряд Фурье для )г (х) будет сходиться к я (хо), в точке хо.

Но в качестве я (х), обладающей нужным свойством, можно ваять С тЬ (х — х ) при надлежащем выборе числа С, где ф — функция, рассмотренная в предыдущем примере. Пусть теперь ~ (х) — любая функция с периодом 2я, кусочно-гладкая на ( — я, я]. Заменяя ее значение в каждой точке разрыва х числом ' ' ', мы не наг' (в — О) + 1 (х + О) меним ее ряда Фурье, но сделаем все точки разрыва правильными.

('ледовательно, ряд Фурье функции ~ (х) в каждой точке х сходится к ~( ) + ~( + ) . 2 Пусть функция ~ (х) с периодом 2я имеет непрерывные производные до р-го порядка включительно (р ~ О). Обозначим через а~™', Ь'„) коэффициенты Фурье дляР"') (х) (т ~ р). Формула интегрирования по частям покавывает, что КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ 23 а() Ь(3) (4) п аи и 3 ла 3 (3) Ь(4) л' п4 л3 ь(3) и л а(1) Ьи и и вообще (33) )(а) и а =+.— И ла3 3 при нечетном т<р. при четном П)(Р, (13) Ь И ла3 ь«а) й 3. Комплеисная форма ряда Фурье для функций с периодом 2и Пусть ~ (л) — функция, удовлетворяющая условиям определения $2, и пусть ряд ОО ~ + ~~~ (аи соз )ьт + Ьи зш )Ат) и 1 является ее рядом Фурье.

Преобразуем общий член етого Отсюда и из леммы Риманаследует,чтодля коэффициентов Фурье р раз непрерывно дифференцируемой функции с периодом 2ж имеем „- („'Р) Ь„=о( — „',). ( Запись ии ли о(ии), где и„+О обозначает, что ~ -30.) аи 00 и Кроме того, заметим, что ряды,ЯПР1)а„~ и,~~~па-)~Ь„ 1 1 )ад'>~ )ьц') ( (р ~ 1), или, что равносильно, ряды,~~ —" и ~— 1 1 сходятся. Это видно из неравенства — ~ — ~Аз+ — ) и )А~ 1 I 3 1 ) л 2~ па~ неравенства (1.58') в $13. ~ГЛ. 1 Рикы ФуРЬВ и интвгРАл ФуРЬВ ряда с помощью формул Эйлера (выражающих косинус и еинуо через покааательную функцию). Имеем - 1ах -1ах епх -1пх а.

+Ь.В1 = .' +' +Ьа' 1пх . -Ых 1ах -1п» е +е е — е аи ап 2 — 1ьп г а — 1Ь ах+ йп п а $ах ! -п1х Рхх ~ С Е-1ах где аа — йп а„+ 1Ьа си 2 ~ с-а ПолагаЯ еЩе с = аа/2, полУчим Длк частичных сУмм РЯ- да Фурье выражение -~-+,Я (аасовпх+ Ь„вшпх) = а 1 и и = са+ ~~', (сае'ах+ С пе 'а*) =,~', с„е"" ДЛЯ НОВЫХ КОЭффВЦИВВтОВ Са ПОЛУЧавМ ФОРМУЛУ (УЧИ- тывая формулы для ап и Ьа). а — 1Ь и а Са — ~ — ~ ~(х) совпх дх — 3 — ~ / (х) в1ппхах) $/$ Р 1 а 2 ~п и — 1 ~ (х) (сов пх — 1 з! в пх) ах = — 1 1 (х) е '" йх (п)0). 2п,) 2п,) Непосредственно видно, что эта формула верна для и = ° = О и для и ( О (последнее видно, например, ив того, что с „е, где с обоаначает число, сопряженное с). чвтпын и нячвтныв Фтнкпии 25 По доказанному имеем в точках дифференцируемости1 1(х) = 11ш1 — +,~~ (а„сов нх+ Ь„айа нх)1= и ао ( 2 и 1 к +в = 11ш,'5„' с„е'"",",~~ с„е'"" О~я -н СЮ +<~ и ( понимая ~~ как 11ш ~Я 1.

к ., Итак, в точках днфференцируемости + 60 1(х) = ~~~~ с„е'", 00 (1.9) где с„— 2я ~ ((х)е ~*йх (и = 0,~1,~2,...). Правая часть формулы (1.9) представляет собой комнлексную форму ряда Фурье для функции с периодом 2я. 5 4. Четные и нечетные функции Пусть | (х) — Функция, определенная на всей числовой прямой (или на каком-нибудь интервале с симметричными концами). Функция 1(х) называется четной, если для всех рассматриваемых значений х имеем 1 ( — х) = 1 (х).

Функция 1 (х) нааывается нечетной, если имеем 1' ( — х) = — 1 (х). График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Линейная комбинация четных функций есть четная ФУнкция, линейная комбинация нечетных функций есть нечетная функция (мы называем линейной комбинацией нескольких функций всякую сумму проиаведений стих Функций на какие-нибудь постоянные).

Произведение нескольких функций, каждая из которых является четной или нечетной, будет четной или нечетной Ряды ФуРЪВ и интеггал Фурьн (гл. т с е с ~ ~ (х) дх = ~ у (х) с) х + ~ ~ (х) !)х. Но (при замене х на — х) ~ 1 (х) дх = ~ ~( — х) дх, следовательно, ) ) (х) с)х = ') (~ (х) + ) (- и)) дх, откуда с 2) ~(х) с(х, если ) (х) — четная, $ $0 е О, если у (и) — нечетная.

с ') у(х)!сх = Четные и нечетные функции являются узкими частными случаями функций, но тем не менее всякая функция ~ (х) может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций. В самом деле, имеем~ !(*)-а'-ц — '!!:! !-"! !' ')-с(*)-!-с() где !(е)+! ( — ). )(с) — ! ( — е) 2 ' т() 2 и, очевидно, «р (х) — четная функция, ср (х) — нечетная функция. Если у (х) имеет период, то ср (х), ср (х) имеют такой же период. Если функция 1 (х) окавалась одновременно четной и нечетной, то ) ( — с) = ~ ) (с), откуда ) (с) = — 1 (с) и, следовательно, ) (е) тождественно равна нулю.

Характеристики

Список файлов книги