1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Тождественный нуль есть единственная функция, иоторая является одновременно четной и нечетной. функцией в зависимости от четности или почетности числа нечетных множителей. В частности, произведение двух четных нли двух нечетных функций есть четная функция, произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция. Если функция ~ (х) интегрируема на сегменте ( — с, с), то ем виды еу ьв для чвтных и ничвтных ютнкции 27 Отсюда легко заключить, что любви функция не может бмть двумя разными способами представлена в виде суммы четной и нечетной функций.
Действительно, если 1 (х) тт (х) + фт (х) фз (х) + фз (х) (где ф1, ез четные, ф1, фз нечетные), то е1 (х) <рз (х) = фе (х) 1р, (х); йо левая часть етого равенства есть четная функция, пра1юя же часть — нечетная, откуда ег (х) фз (х) = ф (х)- (х) О, сл едовательно, (Р1 (х) = фз (х)' $1 (х) фз (х) Отсюда и из ранее сказанного видно, что всякая функция единственным способом может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций. й 5. Рядн Фурье для четных и нечетных функций е периодом 2и Пусть у (х) — четная функция с периодом 2я, удовлетворяющая условиям определения $2.
Для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы е е ае — — — „~ у(х)дх= — ~~(х]дх) а„= — ~ 1 (х) сов нх дх = — „~ / (х) сов лх с(х, 1 Р 2 г Я е В 'о„= — „~ у (х) а(влх Нх = О 1 (я=1, 2, 3, ...). Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье длх невской (дуни г)ии с периодом 2я выглядит так) +Ой И*)- 2 + Х а„сонях, ((.и) где ае = — „~ (х) г(х, ае = —,1 ) 1 (х) сов нх с(х (В = $, 2, 3, ...). Ряды ФуРье и интегглл Фурье 1гл.
! (п=1,2,3,...); » » ! г ге Ь„= — ~ 1(х)в(впхйх«» — ~1(х)в1впхах (п = 1,2,3,...). Пусть теперь у (х) — нечетная функция с периодом 2и, удовлетворяющая условиям определения 5 2. Для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы » ао — — — „~ /(х)е(х»«О; а„= — „~ 1(х)соапхг(х=О Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и рлд Фурье длл нечетной функции с периодом 2и выглядит так: + С» 1(х) —,Я Ь„з(них, (1Л2) «=т где 2 Ь„= — ~1(х) в1в их о)х о (и = 1, 2, 3,...).
Рнс. 1. Пример М. Раоложнть в ряд Фурье функцию я — — на ( — я,с), 1(х) = и 4 НВ (, ), имеющую период 2я (в точках яя, где я — целое, полагаем 1(х) = О) Очевидно, / (х) — нечетная фу|пщия (рнс. 1), поотому в силу (1.!2) имеем: ! сов ях !» Ь вЂ” — е1пяхох ~вшяхНх= —— я ) 4 2» 2«(о е е 1 сове сваях ! ( !)" — „пРн Я нечетном; 2« О прн я чегном; значит, Ьо 1, Ьо = О, Ьо = !/3, Ьо = О, ... и искомое разложение есть 1 1 )(х)=вша+ 3 в(пЗх+ 3 в(аЗх+., и 1 1 1 О юд Р * Д У" ' 4 3 +т 7 +'" Прмхеер И. Равложить в ряд Фурье функцюо ) (х) = ) х ) иа я, я), имеющую период 2я. Рис. 2.
Очевидно, у (х) — четная функция (рнс. 2), понтону в силу (1.11) имеем: а с 2 Ы(п 2 я 2)о е 2 г 2 т хв(пах совах ~(а а ~хсовах~(х — + э п3 — „(, х ы / ~о е ( 1)а 1 ве < 4 яае — — при п нечетном~ О п и и четном. 2 сов ая — сов О 2 Р Следовательно, 4 4 а1 — — ае О ае — —, а4 О" и Ф Оя ' и искомое равложение есть и 4 / 1 1 ((х) — — — ~сова+ — совЗх+ — сов 5х+ ... ). 25 Отсюда, в частности, при х О получим: я 4 / 1 1 О- — — ~~1+ — + — + —...) 2 я ~ 3 3 т ")' 1 е) ряды юувьи лля чнтных и нячктных юункнни 29 1гл. 1 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ откуда яэ 1 — =1+ — + — + — + ..
° 8 Зэ зэ 7' Зная сумму этого ряда, легко найти 1 1 1 1+ — + — + — + — + .. А. зэ еэ зэ Имеемг яэ 6+ 4 следовательно, о = яэ/6, т. е. +Ой яа 1 — -Х— 6 »э ' 6 б. Ряды Фурье для фушщий с любым периодом Пусть «(х) — функция с произвольным периодом 2« (где 1 есть полупериод). Полагая х = аг, получим функцию «(а8) спериодом23/а. Выберематак, чтобы21/а = 2я, т.е. а = 1/я. Тогда подстановка х = М/я приводит нас к функции «(11/я) с периодом 2я. Предположим, что «(х) имеет на сегменте ( — 1, 1! не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте. В силу у 2 имеем в точках дифферанцируемостиг +И «( я ) = о +,Я (а» сое яг + Ь„81п ВГ) » где ае= — ~ «( — „)г(1; а„= 1 ~ «(гг)солят,(1 Ь» = — ~ «( —,)е(ппгс11 (и = 1,2,3,/..).
Возвращаясь как в ряде, так и в формулах для коэффициентов, от нового переменного 1 к старому перемен- ты тяды етгьн для фтнкцин с лввым пазиодом 31 где = —,~1(И 1 а„= — ~ 1(х)соз — бх эяз 1 Г . эиз Ь„= — ~ 1(х) з(п — дх (и= 1,2,3,...); (1 14) (и= 1,2,3,.„.). Ряд (1.13) с коэффициентами, определяемыми формулами (1 14), называется рядом Фурье для функции у (х) с периодом 21. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с любым периодом. В случае четной функции с периодом 21 все Ь„= = О и, следовательно, в ряде Фурье иет членов с синусами. Тогда получим (как в 3 5) в точках дифференцируемости1 +СО 1()= —,+ Х" й г где г г гг ииз а,= — ~/(х)дх; а = — ~~(х)соз-)- О е (1 15) ох (и= 1,2,3,...) В случае нечетной функции с периодом 21 все о„= О и, следовательно, в ряде Фурье нет свободного члена и чле. нов с косинусами.
Тогда получим (как в $5) в точках дифференцируемостн1 +Ой 1(х) = ~ Ь„з)и —, в т (1.16) ному х и замечая, что 1 —, сИ = + сЬ, получаем в точ- их ках днфференцируемостн1 +в 1(х) = ~ +,Я (а„соз -~-+ Ь„з(п -"ф*-), (1.13) т~ 1 Ряды ФуРье и иитегвмл Фурье И'Л. 1 32 РДВ г Г аях Ь„= — ~~(х) в!и — дх (и $,2,3,...). с 2Урммер 2. Написать разложение в ряд Фурье нечетной функ- ции с периодом 1. Здесь 2! = 1, и на основании (1.16) получаем: +« 1(1 ((х) = ~~ ь в!п2«ях, где ь„=4 ) 1(х)вш2«ля ах, «=1 о Хурммерп.
Равложить в ряд Фурье ) вш х ). Очевидно, ) вш есть четная функция с периодом к. Здесь 2! = к, и на основании (1 15) получаем: +« ) в!в х ) ~ + ",ь', а„сов 2«х, где «)з вс — ~ в!пх1(х — ( — сова) ~ 4 Р . 4 й/в я е я )с я «я «)1 а„:) в!пхсов2ах4х — л! вш(2« — 1)хах-)- 2 г я е о «(в + ~ в!п (2« + 1) х Ех е я 2п — ! )1 2 сов (2« -!. 1) х («)1 2 ( — ! я 2а+1 )в я ~ 2а — 1 + 2«-(-1 ) 4 1 Следовательно, +СО 2 4 чч сов 2«х (в!пх! * — — т.
,— =, я Ь 4ат — 1 1 я — я ( 2 ов2 + 16 сов4 + Л вбх+... ). +Ю О тсюда прк * О получаем: Π— р;, следова- 2 4 чт 1 з « тельно «1 ~ м РЯды Фтэьв для Фтпкпяи с лювым пкэиодом 33 Комплексная форма ряда Фурье для фуннции с любым периодом. Пусть | (х) — функция с периодом 2), удовлет- ' воряющая условиям, указанным в начале параграфа. Тогда подстановка х = Й/я приводит нас к функции 7(Р/я) с периодом 2я. В силу 1 3 имеем в точках дифференцируемости~ + л ) ( — „) = Х с.е'"', с.
= й Г)1 а е '"'М. Переходя как в ряде, так и в формулах для коэффициентов к старому переменному х и эамечая, что г = ях(1, Н~ = —,Их, получим в точках дифференцируемости: + о 7(х) =,~ ~ с„е'" е, (1.17) ОЭ гдэ е„= — ~ ~(х) е-ы «ох 1 2Г (и = О, + 1, ~ 2,...), (1 18) Э П.
и. Ревевеэеееа Правая часть формулы (1.17), где коэффициенты определяются равенствами (1.18), наэывается комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом 2й Равяожепие в ряд Фурье функции, ааданной на сегменте 1 — 1, Ц. Если на полуоткрытом интервале длины 21, т. е. на интервале вида [а, а + 21) или (а, а + 21), определена какая-нибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится функция с периодом 21. В самом деле, возьмем график эаданной функции на упомянутом полуоткрытом интервале и присоединим к нему все его гори-, зонтальные смещения на расстояния, кратные 21 (т. е.
ка расстояния 2л1, где и — произвольное целое число). Тогда получится график функции с периодом 21, совпадающей с эаданной функцией на том интервале, где она была определена. Отсюда и Нэ сказанного ранее о разложении периодических функций в ряды Фурье следует, что если 7(х) имеет на ( — 1,' 1) не более конечного числа точек разрывая, абсолютно иктегрируема на этом сегменте, то внутри этоге Ряды ФуРье и ннтегэал ФуРЪБ !ГЛ. ! сегмента в точках дифференцируемости имеем: 1(х) = ~ +,~~ (а„соз ™ + Ь„з(в — ~, (1 19) р=! где а„= — ~ 1(х) соз — !(х 1 пах -! (и =1,2,3,...); ар — — — ~ 1(х) дх; 1 -! (1.20) Ь„= ! ) 1(х) зрп — !(х (и =1,2,3,...).
Разложение в ряд косинусов функции, заданной на сегменте 10, р1. Коли на сегменте (О, Ц определена какая- нибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится четная функция с периодом 21. В самом деле, возьмем график заданной функции на этом сегменте, присоединим к нему фигуру, симметричную с ним относительно оси ординат. Затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смещения на расстояния, кратные 21. Тогда получится график четной функции ' с периодом 21, совпадающей с заданной функцией на сегменте (О, Ц.
Отсюда и из сказанного ранее о разложении четных периодических функций в ряды Фурье следует, что если !(х) имеет на (О, Ц не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого сегмента в точках дифференцируемости имеем разложение в ряд косинусов: + сф 1(.) = ф+.'Е "~ —,', (1.21) р=! з т) УРАвнвнив своводвых малых колввании стРУны Об Разложение в ряд синусов функции, заданной на сегменте [О, Ц. Если на интервале (О, 1) определена какаявибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится нечетная функция с периодом 21.
В самом деле, возьмем график заданной функции на упомянутом интервале, присоединим к нему фигуру, симметричную с ним относительно начала координат, затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смещения на расстояния, кратные 21, и, кроме того, добавим все точки с координатами п1, 0 (где и — любое целое число). Тогда получится график нечетной функции с периодом 2), совпадающей с заданной функцией на интервале (О, (). Отсюда и из сказанного ранее о разложении нечетных периодических функций в ряды Фурье следует, что если ) (х) имеет на (О, Ц не более конечного числа точек разрыва и абсолютно ивтегрируема на этом сегменте, то внутри этого сегмента в точках дифферевцируемости имеем разложение в ряд синусов: +со ) (л) =,~~~ Ь„эш (1.23) где 1 Ь„= — ~~(х) э(п ™* г(х (л = 4,2,3,...).
($.24) с На концах сегмента рлд (1.23) будет сходиться к нулю. Слодоэатольно, если дополнительно потребовать, чтобы Г (л) обращалась в нуль на ионцах сегмента (С, )), то разложение (т.23) будет имать место ожо на концах сегмента (О, )). $7. Уравнение свободных малых колебаний струны и ого решение методом Фурье Рассмотрим натянутую струну, расположенную вдоль оси абсцисс. Если струна совершает малые поперечные колебания (т. е. каждая точка струны может смещаться только в вертикальном направлении и, следовательно, сохраняет величину своей абсциссы) беэ воздействия внешних сил, то можно показать (отбрасывая малые величины высших порядков), что если и (х, г) обозначает ординату Ряды ФуРьи и интигРал ФуРье 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
