1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (826603), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

т' отмечены некоторые обобщения преобравования Лапласа, какие можно получить, если передать роль показательной функции каким-нибудь другим функциям, удовлетворяющим надлежащим требованиям. Некоторые добавления сделаны, и в других местах книги. Автор ГЛАВА ! РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ й 1. Периодические функции Пусть у (х) — функция, определенная на всей числовой прямой. Число Т называется периодам этой функции, если от прибавления его к аргументу величина функции не меняется, т.

е. если для всех х имеем ~(х+ Т) = /(х). Если Т есть период функции, то пТ, где и — любое целое число, есть тоже период рассматриваемой функции. Таким образом, всякое кратное периода есть период. Функция, имеющая период, отличный от нуля, называется периоди чеслой. Легко вкдеть, что всякая периодншская функция, отличная от постоянной, имеющая хотя бы одну точку непрерывности, имеет среди своих положительных периодов наименьший. Тогда все прочее верноды будут кратны ему. Обычно, говоря о периоде функции, понимают под словом еперводе наименьший нэ положительныл периодов.

Если функция ~(х) имеет период Т то ф(х) — г(пх) имеет период Т|а. В самом деле, <р (х+ — ) = ~~а (х+ — )1= у(ах-)-Т) =~(ах) = ф(х). Если у (х) имеет период Т, то интеграл этой функции, взятый в пределах, отличающихся на Т, не зависит от вы- бора нижнего предела интегрирования, т. е. а+7 т у(х)дх = ~ 1(х)дх (о гяды етгьв и интзггал етгьв [ГЛ.

1 при всяком с. Действительно, пусть, например, О« с ( Т. Тогда с+т т с+т т с т 1 =1+ ) =)+)=) с+Т с учитывая, что вследствие периодичности, с $2. Ряды Фурье для функций с периодом 2я Поставим зздачус разложить сложную периодическую функцию ка простые периодические функции. Под «простыми периодическими функциями» естественно понимать простые гармоники, т. е. функции вида А я«п («ех + а) или, что равносильно, функции вида а соя е»х + Ь в«п вх. дта простая гармоника имеет период 2я/а.

Если мы хотим разложить функцию с периодом 2я на простые гармоники, то их частоты следует выбирать так, чтобы каждая из этих гармоник имела 2я в качестве одного иэ своих периодов. Таким образом, частоты е слезя дует брать так, чтобы и — = 2п (и — целое) или сг =и, т. е. в качестве составляющих следует брать гармоники с целыми частотами. Допуская в качестве составляющей еще постоянную, для которой всякое число служит периодом, приходим к такой задаче! разложить функцию ~ (х) с периодом 2я в ряд вида ф + (а, сов х + Ь, в«п х) + (а, сов 2х + Ь, в«п 2х) +... ...

+ (а„сов пх + Ь„я«п пх) +... или, короче, в ряд вида +Ос з +Х(в. ° +Ь.вп *), с=1 тле ос е1 Ь1. а„Ь«, „а„, Ь„,... — некоторые постоянные (свободный член удобно записывать в виде а»/2 по причине, которая выяснится виже). гяды еггья для огнкцнн с пягиодом вз И , уз] ) совихдх, — к и — целое; л вш ихйх, сов тх сов их Их в1птхвшпхдх, т, и — целые положнтельные. в1й тх соз пх их Имеем: созпхох= ((Я) й — = О(и+о), х~ .== 2и ' (и= 0)> 1-- — = 0(л+0)( совах 1~ зших Их= 0~,=0 (1.2) (и = 0); созтхсовпхдх= — ~ соз(т — п)хнах+ 1 г =2 3 г (О (т +и), + —, ~ ( +.)*Н.=~ 1 (=.); ($.3) вштхвшихдх= — ~ сов(т — п) хйх- 2 -и $% — — ) сов(т+ и)хдх= ~ Р (О (т+и), (1.4) г ) (я (т п)( Иычнсленне вспомогательных интегралов. Нам погребуются нятегралы 12 Ряды ФуРЬВ н интнгРАЛ ФуРЬВ Ггл.

в и и з1пихсозпхйхии — ~ в1п(т — п)хйх+ 1 2 и + — ~ зйл(т+ п)хйх =О, 2 (1. 5) причемпривыводе формул (1.3) и (1.4) использовалась формула (1Л), при выводе (1.5) испольаовалась (1.2). Предположим теперь, что функция )» (х) окавалась такой, что для нее нашлось разложение в равномерно сходящийся ряд указанного выше вида: »и 1 (х) = — +,~~ (а„сов Кх + Ь„зп1 Ьх).

(1.6) и=» Почленное интегрирование в пределах от — и до и (законное в силу предположенной равномерной сходи- мости) с учетом (1Л) и (1.2) дает; ~ 1(х)йх = и и и = — ~ йх+ ~ч» (а„~ сов йх йх+ Ь„~ в!пйх йх) = яаы и »» — и -и и и Ях) сов пх йх = — ~ сов пх йх+ 2 и и 00 и »» +,Я~ (аз ) совйхсовпхйх+5„) з)пйхсов ихйх~)= яаи. в 1 -и »» Аналогично, умножая (1.6) на з1п пх и интегрируя почленно от — и до и и учитывая (1.2), (1.4), (1.5), получим: ) ~(х) вш пхйхии ЯЬ„. — и Умножая (1.6) на соз пх и интегрируя почленно от — и до и, с учетом (1Л), (1.3) и (1.5), получим; РЯды ФУРье длЯ ФУнкпии с пврнодом 2я 13 2 21 Таким образом, ио = —, ~ 1(х)с[х, 1 и = — „.~ 7(х)созпхс[х (п=1,2,3, .

) 1 — ч и п 1 [(х)з[ппхйх (!=1,2 3 ) 1 — ч (1.7) +м — +,~, (а„сонях+ Ь„зпа пх), коэффициенты которого определяются по формулам (1.7). При этом пишут: +с ((х) — ~ +,~Я (а„сових+ Ь„з[п пх). (1.8) П р и и е ч а н и е. Вместо функций с периодом 2л можно рассматривать функции, определеннме лишь на сегменте [ — я, я[ и удовлетворяющие отмеченным требованиям. Определение ряда Фурье для такой функции будет то же самое. Из определения ряда Фурье не следует, что функция должна в него разлагаться.

Из сказанного выше следует только, что если некоторая функция допускает разложение в равномерно сходящийся ряд вида (1.8), то этот ряд будет ее рядом Фурье. Легко проверить, что при умножении функции на число ее ряд Фурье умножается на это число; при сложении функций их ряды Фурье складыва1отся; для получения Ряда Фурье функции 1(х+ с) следует в ряде Фурье функции 7 (х) заменить х на х + с. ОпРеделение.

ПУсть 1(х) — функция с периодом 2л, имеющая на сегменте [ — я, я[ не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируемая на этом сегменте (тогда она будет абсолютно интегрируема на всяком сегменте). Рядом Фурье этой функции называется ряд Ряды Фувъи и интвгРАл ФуРЬВ (гл. 1 Доказательство разложимости Функции в евой ряд ФУРье в точках ДиффеРенЦиРУемоети.

Имеем ДлЯ любого хос 1 а„сових,+Ь„в(ппх, — „~ у"(х)совпхдх.совпхс+ + -„- ~ у(х) в(ппхе)х в(ппхе=* 1 — ~ у(х)(сов пхсовпхо+ в(пихв(лихо) Их = — „$П) ( — .)пх' -» 8я (хо) 2 + ~~~ (а» сов пхо + Ь в1п ™хс) »=г — у (х) — + ",~' сов п (х — хо) ~ с)х. М чч Заметим далее, что — +,~ сов иа является ' деистви- » 1 тельной частью выражения '1 у 1 у 1 1 — Фим) М М вЂ” + ~се" = — — + Те~'"= — — + » г » о 1 (1 — ее<ям) ) (1 — е е ) + 2 (1 — ее» Р 1 1 — е и+ еоее — е"им) 2 (1 — сов а)е + с(ве а ~ноэгому и 1 1 1 — сова+осе)'еа — сос (У+ 1)а »-+ ~е сов исс — + 2 (1 — сос а) » 1 сос )еа — сос (Ф + 1) а с1п ()т + '/с) а 2(1 — соса) . 1 2 ив — а 2 ищы эь гьи для эгнкций с'пнгнодом вп 15 Следовательно, пРи любом хь имеем1 1 (' ~ в1п(Я+ ь/ь) (х — хь) 2в)п 2 (х — аь) 1 1 + в)п ()ь' + ь/ь) х -а 2 в1п -~ х (1.8') (второй интеграл получен из первого заменой х на хь + х с учетом периодичности Д.

Применяя зту'формулу к слу- чаю~ (х) = 1, получим: Умножая (1.8") на ~ (хь) и вычитая из (1.8'), найдем кри любом хь: ~)п( + 2 )* Ен (хв) — У(хв) = — „$ (! (хь+ х) -У(ха)) а 2вьп 2 х (1.8'") Для дальнейшего нам потребуется. Л е и м а Р и м а н а. Если ьр (х) непрерывно на сегменте (и, Ы, га исключением, быть может, конечного чисва точек, и абсолютно интегрируема нп этом сегменте, то ь ~ьр(х) вшчхс)х-ьО ири ч -~-+ оо.

а Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ь совча — ссвчЬ ~( 2 ( а ь )хвш Нх~ ~ - -)- <, ! 1 ассвча — ЬсовчЬ в1пчЬ вЂ” в)пча ~ х вш чх Нх ~ ч ь — -)- „-г -ьО )а! + )Ь! 2 Ггл. д гяды етгьк и ннтнггдл етгьи при т -~ + оо, то лемма Римана верна для ~ (х) иа 1 и 1 (х) ж х и поэтому верна для любой линейной функции ~ (х) ш Ах + В. Отсюда следует, что лемма верна для любой кусочно-линейной функции (т. е. функции, график которой есть ломаная линия), ибо если / (х) кусочно-линейна на [а, Ь[, то найдутся такие числа сд: а = с, < сд < ( сь « " с = Ь, что ~ (х) линейна на каждом [сд ю сд); а тогда ь е са ь ~ ~ (х) з[п тх Нх= ~ + ~ +...

+ ~ -ь О при т -ь + со, а а а, с ибо по доказанному каждое слагаемое правой части стремится к нулю. Далее заметим, что любая непрерывная функция на [а, Ы может быть как угодно хорошо аппроксимирована кусочно-линейной функцией. Действительно, если / (х) непрерывна на [а, Ы, то опа равномерно непрерывна на [а, Ь), т. е. для любого з ) О найдется такое ь) ) О, что при любых х' и х" на 1а, Ь! из ( х" — х' ( < ь) следует[~ (х") — У (х')1< е. Возьмем числа сь = а < с, < « ...

с„д < с„= Ь так, что все сд — сд, < т[, и пусть ~р (х) обозначает функцию, график которой есть вписанная в график функции / (х) ломаная, вершины которой имеют абсциссы сд; тогда для любого х на [а, Ы будет[ Ф (х)— — щ[ < з, так как если числах попадает на частичный сегмент 1сд „сд1, то ~р (х) лежит между <р (сд,) и ~р (сд) (ибо ~р линейна и, следовательно, монотонна на [сд „сд1), поэтому число ~р (х) — у (х) лежит между <р (сд,) — ~ (х) = = у (сд,) — ( (х) и <р (сд) -( (х) = ~ (сд) -~ (х), модули которых < е, н поэтому тоже будет иметь модуль < е.

Теперь легко показать, что лемма Римана справедлива для любой непрерывной функции 1(х) на [а, Ы. В самом деле, по доказанному для любого е ) О найдется такая кусочно-линейная функция ~р (х), что [ф (х) — ~(х) [ ( в ( — на [а, Ь[. Так как для кусочно-линейной функ- 2 (ь — а) цни лемма Римана справедлива,,то при достаточно большом т будем имвтдс ~ ~ ф (х) згл тххх ~ ( 2 ° а Ряды Фупьи и интегРАЛ ФуРье 1гл.

1 Предположим теперь, что / (х) дифференцируема в точке хе. Тогда из ($.8'") находим 1.«..1-!«*,1- —,' ~ ««чз-"«- — ««а« !. (Х«. У).«., 2 э1п-к- х а так как «!*.~ ! — !«! м! ««! -'; ! — !!'! 1 Х 1 2 г«п — х 2 2 е1п — х 2 при х-~ О, то после надлежащего доопределения в точке функция «р (х) = становится непре- 2 е!и 1 2 рывной в этой точке и, очевидно, находится в условиях применимости леммы Римана на ! — я, я). Поэтому 8к (хе) — у (хе) — «р (х) згп «ч'+ — х ах-+О при «ч'-ьсо и следовательно, 7(х,) 11т 8к (хе).

Характеристики

Список файлов книги