1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (П.И. Романовский - Ряды Фурье. Теория Поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа), страница 12

Три попарно ортогональных единичных 3гл. и 84 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ е' = ЙР, т'= — йт +к8, — нт. (2.8) Формулы (2.8) называются формулами Серре — Френе, величины й и н называются соответственно кризисной и кручением пространственной кривой (в рассматриваемой точке). Обратные величины 1~Й и 1~н называются соответственно радиусом кривизны и радиусом кручения кривой (в рассматриваемой точке). С помощью (2.8) находим: Г в =т; тв = т' = ЙР; в' = й'т + йт' = й'т + й ( — йт + н(3) = = — йвт + й'т+ йн8; (т'т"т ) = (т'т" ) г"' = Й~3 ( — йвт + й'т + йн(3) = й'н; вектора т, т, р образуют сопровождающий трехгранник кривой (в рассматриваемой точке).

Плоскости, проходящие через рассматриваемую точку кривой и перпендикулярные к т, т, р, называются соответственно нормальной, спрямяяющей и соприкасающейся плоскостями кривой (в рассматриваемой точке). Заметим, что еслие„ е„ е, — три попарно ортогональных единичных вектора и вектор сг разложен по ним: а = с,е, + с,е, + с,е,(св — скаляры), то, умножая это равенство скалярно на еи получим аев = с; (в = 1, 2, 3). Разложим теперь проиаводные векторов, образующих сопровождающий трехгранник, по векторам, его образующим; ч' = сюв + с,вт + с,ф т' = св,т + смч + с вр; 'е = сввт + свет + свв(3.

Дифференцирование равенств в' = 1; чв = 1; рв = 1 показывает, что си — — О (в = 1, 2, 3); дифференцирование равенств чт = О; ч13 = О; ()т = О показывает, что сп + + сл — — О (1, у = 1, 2, 3); наконец, из определения т видно, что с„ = О; с„ ) О; следовательно, если обозначить с„= й, с,в = н, то написанные выше разложения примут вид ! г г) скалягнов полк. ггадикнт скглягного поля 85 следовательно, для кривизны и кручения пространственной кривой получаем формулы (2.9) Пусть теперь пространственная кривая задана векторным параметрическим уравнением т=т(з) при любом выборе параметра з (фигурирующая в етом уравнении вектор-функция предполагается трижды непрерывно дифферевцируемой). Пользуясь для обозначения производных по з точками и сохраняя для обозначения дифференцирования поз штрихи, будем иметь (учитывая правила замены переменных при дифференцировании, формулы Серро — Френе и свойства определителей)г г' = т г = гт' Ф' = Р' т = з"г' + г"г = йзгт + зт; [з'т) = Йзг[); [з т)г = ~РФ; ттт = г "Р+ Ът'зз+ г"з; (ттт) = (т'т"т ) зг = йгкзг; отсюда вытекают формулы для кривизны и кручения пространственной кривой при любом выборе параметра (в точках, где т — ненулевой вектор): йг [тт)г тгтг — (т т)г (т т г) (т р г ) (г')' (тг)' (рэ']г ггтг — (э' р)г (2.9') 5 4.

Скалярное поле. Градиент скалярного поля Если каждой точке М некоторой области пространства отнесен скаляр ф (М), то образуется скалярное поле. Если задать систему прямоугольных координат (например, правую), то каждая точка М будет иметь некоторые координаты х, у, з и функция точки ф (М) станет функцией трех переменных ф (х у г).

86 (гл, и ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ где М; лежит на луче, выходящем из М по направлению и. После введения координат ~р (М) становится функцией трех переменных ~р (х, у, г). Предположим, что зта функция дифференцируема в рассматриваемой точке, тогда (р (х + йх, у+ Оу, г+ Ьг) — ф(х, у, г) = Ьх+ ~ ОУ+ д Ьг+ 6 У Ьх~+ г»у + йг', (2 10') где 6 -«- 0 при стремлении Лх, Лу, пг к нулю. Если смещение точки происходит на расстояние р по направлению и, образующему с координатными осями углы а, 6, у, то Ох = = р соз а, Ьу = р сов р, Ог = р сов у, и правая часть (2 10') принимает вид ( — сов а + — сов 8 + — соз р+6) р.

др др дф дх ду дх Деление на р и переход к пределу при р-~0 приводит к формуле — = — сова + — сов 8+ — сов т. (2.10 ) др де д<р д(р дх дх дд дх Определение. Градиенп«ог«скалярной функции у в точке М называется вектор ягаб~р = $ — + у — +Й вЂ”. др др др дх ду дх (2.11) Возьмем какое-нибудь направление и (и — единичный вектор); пусть а, р, у — его углы с координатными осями; тогда и асов а + у совр + рд сову. Наоснованиифор- Определение. Пусть и — каков-нибудь «направление» (тг обозначает единячвыйвектор).

Произ«одной по направлению и в точке М от скалярной функции у называется предел (если он существует) отношения приращения у при смещении точки М по направлению и к величине смещения точки М, когда последнее стремится к нулю. Производная по направлению и обозначается др(дн.

Таким образом, по определению де 1. <р (М1) — <р (м) (2.10) м, м З И скапягнои иопв. ггадиннт скалягиого ноля 87 мулы (2Л), выражающейскалярное произведение векторов через координаты, имеем; йгай фть = — соз а + — соз р + — соз т. дф дф дф дх ду де Следовательно, учитывая (2.10"), получим; — 'р = йгай фтэ = (йгай ф)„, дф (2.12) т. е.

производная по какому-нибудь направлению тэ равна проекции градиента на это направление. Отсюда получаем следующую инвариантную характеристику градиента> направление градиента характеризуется тем, что производная по этому направлению будет наибольшей (среди производных от ф в данной точке по всевозможным направлениям); длина градиента есть наибольшая из производных 'по направлениям в данной точке. Имеем ~угайф~ = $/ (+) +(+) +(+) = шах —. (2ЛЗ) Поверхности уровня скалярного поля. Геометрическое место точек, в которых ф (М) имеет постоянное значение, называется поверхностью уровня.

После задания системы координат уравнение поверхности уровня принимает виф ф(х, у, э)=С. Уравнения нормали к этой поверхности в точке х, у, з будут; Х вЂ” х У вЂ” у 2 — х Щ дф дде дх ду де Отсюда видно, что направление нормали совпадает с направлением градиента в рассматриваемой точке. Формальные свойства градиента. Пусть ф и ф — два скалярных поля, имеющих градиенты; 1 — дифференцируемая скалярная функция одной или нескольких скалярных переменных (с надлежащей областью определения). Тогда йтай (ф + ф) = йтай ф + йгай.ф, (2Л4) йтай (фф) ф йтай ф + )р йгай ф (2Л5) КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 89 йх; = х;„— х, и составим сумму таких проиаведений ХР($и «1и ьс) Ьхь Ксли наибольшая из длин частей дуги АВ стремится к нулю, то зта сумма стремится к определенному пределу, который нааывается ириволиней- Ф -.' .%э нмм интегралом от Р (х, у, «) ~Р вдоль дуги АВ по переменному х и обозначается знаком л4 АВ л( Р(х, у, г)Нх.

А Совершенно аналогично опРис. 3. ределяются криволинейные интегралы по переменным у и г. Таким '' образом, Р(х, у, «)дх = 1(ш~~'~Р Яи «)о ~~) Ьхб в с ~(х, у, г)ду =11ш~~)(Ц, Чи ~)Ьу;; в с (2Л8) (2Л9) (2.20) В(х, у, г)А« = 11ш,Я~В($и ~)и ~~)Ь«о в с где Р, (),  — непрерывные функции на дуге АВ. Далее вводим понятие комбинированного 4,'' криволинейного интеграла ~ Р Ах + (~ Ау + В «1 г = ~ Р Ах -(- АВ + ~ Дс(у+ ~ Вс(г.(2.21) Рис.

4. АВ АВ Из определения криволинейного интеграла непосредственно следует, что при перемене направления дуги интеграл лишь меняет свой знак (2.22) ВА АВ | Далее, если дугу разбить на части, то интеграл вдоль всей [гл. и 90 дуги равен сумме интегралов вдоль ее частей, например (рис. 4), 1 =~+ 1. (2.23) АВС АВ ВС Отсюда следует, что интеграл вдоль замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки, а В зависит лишь от направления обхода кривой.

В самом деле (рис. 5), 1 =1+1 АивиА АзиВ ВпА ~ =1+1 ° ВпАи В ВиА Ат В Рис. 5. откуда (так. как правые части этих равенств одинаковы) АжВ а В ~~В Иэ определения криволинейного интеграла сразу следует, что постоянные множители выносятся за знак интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов. Из (2А8) видно, что ~ Рдх = О,если дуга АВ расположена в пло- АВ скости х = сопэФ. Аналогично из (2А9) и (2.20) следует, что () бу = О, когда АВ расположена в плоскости у = сонэ~, АВ и ~ В дз =О, когда АВ расположена в плоскости з = АВ = сопэ1.

Преобразование криволинейного интеграла в простой интеграл. Пусть даны параметрические уравнения дуги АВ~ а=х(1), ( у=у(~) ) г (~(т з = г (г), ~ (мы предполагаем, что все три функции непрерывно дифференцируемы). КРИВОлннейныи ннтпРРАлы По теореме Лагранжа (рис. 6) Лх (г') = х ((гы) — х (8ю) = х' (т') (Юг+д — йД = х' (т;)Лгм где тг ленгит ыенгду 8; и г~„. й ф ф Фц рвс. В. Пусть М (хе рн з~) — точка кривой, соответствующая. значению параметра (е У; ($о з)п ь;) — точка кривой, соответствующая значению параметра тб тогда ,~~ Р Яо т),, ~;) Лх, = ~ Р (х (т ), у (тг), г (т;)] х' (т;) А(о откуда в пределе при стремлении к нулю наибольшей из разностей Л(; г Р (х, д, з) дх = ~ Р (х (г), у(г), г (С)], х' (8) Н( = В ь =) Р [х®, р((), з(г)] ]х(().

Заметим, что зги выкладки не только дают выражение криволинейного интеграла через простой, но п доказывают существование криволинейного интеграла (в случае непрермвно диффереицируемыи х (~), р (г), з (Г)], если считать существование простого интеграла от непрерывной функции известным. Аналогичные формулы имеют место для ) ~.') др, ) В Нз. АВ АВ Мы видим, что для преобразования криволинейного интеграла в простой интеграл следует взять параметрические уравнения пути интегрирования, затем всюду под знаком криволинейного интеграла заменить х, р, з их выражениями через параметр и после этого рассматривать интеграл как простой по параыетру, взятый в пределах изменения параметра.

Коли, например, имеем дугу у = у (х),1 =,,1*, <.<.„ з = з(х),] ~гл, и ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ то (беря х за параметр) получим: хв ) Р (х, у, г) ссх = ') Р (х, у(х), г (х)) с(х. Ав Хв Условие независимости криволинейною интеграла от формы пути.