1611676818-7f955521fa1afee45c1653b601842cfb (П.И. Романовский - Ряды Фурье. Теория Поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа), страница 13

Будем говорить, что криволинейный интеграл (~Рс(х+ Дс(у+ Лсгг (2.24) не зависит от формы пути в некоторой области (в которой с Р, с,С, Л предполагаются непрерывными), если этот интеграл, вдоль всяких двух кусочно-гладких дуг (лежащих в рассматриваемой области) с общим началом и общим концом, имеет одинаковую величину. В этом случае при обозначении интеграла достаточно лишь укааывать начальную и конечную точку пути (не называя самого пути) и употм.

хв Хв, вв реблять запись ) или ) (где выписаны координаты м, хв,т» М точек М, и М,). Если подынтегральное выражение в (2.24) есть полный дкфференциал некоторой функции и (х, у, г), то для какой-нибудь гладкой дуги М,М, с параметрическими уравнениями получим (учитывая свойство инвариантности дифферен- циального обозначения): св г(и (х, у, г) = ~ди (х-(г), у'(г), г (1)) = Мвмв в с, = и [х(г), у(г), г (г)) ~ = и (хг, уг, гг) — и (хв, р„г,).- То же будет для кусочно-гладкой дуги М,М„и следовательно, криволинейный интеграл не зависит от формы пути. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ йв Обратно, предположим, что криволинейный интеграл (2.24) не зависит от формы пути и положим и (х, у, г) = ) Р ~Ь + ~ йу + ~? пг. хи Еи 16 Тогда х+Ьх, а, х и(х+ Ьх, у, г) — и(х, у, г) = ~ Рйх+()Иу+ВНг. Беря в последнем интеграле за путь интегрирования прямолинейный отрезок и преобразуя криволинейный интеграл в простой, получим: хая и (х + Ьх, у, г) — и (х, у, г) = ) Р (г, у, г) гег' = =Р(х+ЕАх, у, )Ах (О<В<1).

Так как ( + *' У' ') и(*'"'') = Р(х+ОЛх, у, г) Р(х, у, г) при Лх -ь О, то, следовательно, существует — и — = Р. ди ди ди ди ди Аналогично найдем, что существуют — — причем — =. ду'дх ' ду ди —., = Л. Отсюда видно, что (и (х, у, г) = Рйх + ЕЬ + Л ), т. е. подынтегральное выражение в (2.24) есть полный дифференциал. Итак, для неаависимости криволинейного интеграла от формы пути (в некоторой области) необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было полным дифференциалом некоторой функции (в упомянутой области). Заметим, что неаааисимость криволинейного интеграла (2.24) от формы пути а некоторой области равносильна равенству нулю етого интеграла вдоль всякого аамкнутого пути, лежащего а рассматриааемой области.

В самом деле, пусть имеем независимость от (гл, и ОснОВы тногин пОля Формы пути н АтВлА — какой-нибудь замкнутый путь; тогда (рнс.. 7) =1+1=1 — 1=0. л 'нол лтв вол лтв лов Обратно, пусть имеем равенство нулю интегралов вдоль замкнутых путей, к пусть АтВ н Ап — два пути с общим Ркс. 7 Рнс. 8. началом н общим концом; тогда (рнс. 8) ~ — $=$+~= ~ -о: АтВ Аов АтВ Вол Атвол АтВ АоВ Условия, при которых выражение Атгь ю + Деба + Егбх есть полный дифференциал. Если это выражение (предполагается, что Р, г',), В имеют непрерывные частные производные первого порядка) есть полный дифференциал некоторой функции и (х, у, г) (в рассматриваемой области), то — =Р— =(г, — =гг; д до дв дх ' ду ' дг дти дВ дтп д(7 дх дх дх Ф дто дР дх дх дх откуда, учитывая независимость частных производных от последовательности дифференцирования, получаем7 дР дч (2.25) следова тельно, о"и дР дх ду ду дгп д0 ду дх дх ду дх дх дти дд дх ду ду ду дх дй дй дх.

ду дВ дР кгиволннейныи инткггалы 95 и(х, у, г) = ~ Рбх+ оькъм + 0Ф+Лог. Применяя правило преобразования криволинейного ходим: и (х, у, г) = Рис. 9. интеграла в простой, на- =~ Р(г, Уо, г,)о(г+ ~ О(х, г, г,)г(Г+ ~ В(х, у, г)бг, откуда с помощью правила дифференцирования интеграла с переменным верхним. пределом и правила дифференцирования под знаком интеграла с учетом (2.25) получаемг и,„(х, у, г) = у„го)+) ч (х, Е, го)ог+ ~В„(х, у, г)й у„го) + ) Р„(х„г, го) й + ~) Р. (х, у, г) ог = Р(х, = Р(х, оф (х, у, го) + Р (х, г, го) $', ", + Р (х, У, г) ф = Р (х, Уоо го) + (Р(х; У, го) Р (х, Ум го)) + + (Р (х, у, г) — Р (х, у, г,)) = Р (х, у, г)й Обратно, предположим, что равенства (2.25) выполнены (в рассматриваемой области).

Пусть Мо (х„уо, г,) — фиксированная точка (рис. 9), М (х, у, г) — переменная точка, МоКЬМ вЂ” трехзвенная ломаная, стороны которой последовательно параллельны осям Ох, Оу, Ог. Положим у ~гл. п ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ и„(х, у, г) = ~3 (х, у, ге) + ~ В„(х, у, г) й = = () (х, у, г,) + ) К (х, у, г) й = 9 (х, у, г,)+ () (х, у, г) )~~=,*,—— о = 9 (х, у, ге) + ф (х, у, г) — ~',) (х, у, ге)) = () (х, у, г); и, (х, у, г) = В (х, у, г) и, следовательно, ди (х, у, г) = Рдх + Яг)у + Вдг.

Итак, для того чтобы выражение Рг)х + ()ду + Вдг было полным дифференииалом (в рассматриваемой области), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства дР дЯ дЯ д)т дЛ дР ду дх ' дх ду ' дх дх (в рассматриваемой области). В доказательстве теоремы о том, что если выполнены условия (2.25), то выражение Рдх + Чду + Вдх есть полный дифференциал некоторой функции, молчаливо предполагалось, что в рассматриваемое области найдется такая точка Мю что для любой точки М рассматриваемой области трехавенная ломаная МевЬМ лежит в втой же области. С помощью дополнительных рассуждений можно паковать, что теорема останется верной для всяиой области, в которой любые два пути с общим началом и общим концом могут быть непрерывно деформированы один в другой, ие выходя из области.

й 6. Векторное поле Если каждой точке М некоторой области пространства отнесен вектор и (М), то образуется векторное иоле. Если задать 'систему координат (напрнмер, правую), то каждая точка М будет иметь некоторые координаты х, у, г и вектор-функция точки М становится вектор-функцией трех переменных гь(х, у, г). Криволинейный интеграл от вентор-функции. Пусть сь (М) — непрерывная вектор-функция на кусочно-гладкой дуге АВ (рис. 10). Разобьем дугу АВ на части с помощью точек деления Ми на каждой части воаьмем какую- нибудь точку Хи значение рассматриваемой вектор-функции в этой точке скалярно умножим на вектор М,Мсы 97 «с) Внктогнон пОлн и составим сумму этих скалярных произведений ,"„ы (Дг«) М«МРП « Если наибольшая нз длин частей дуги АВ стремится к нулю, то эта сумма стремится к определенному пределу, который назы- В вается криволинейным интегралом от а(М) вдоль дуги АВ и обозна- ~4~Л чается знаком ) а(М) Ыг (здесь дг АВ Р[ «я! есть «ориентированный элемент дугие).

Криволинейный интеграл от вектор-функции легко выражается через обыкновенный криволинейный интеграл. Зададим систему координат. Рис. 10. Пусть тч — радиус-вектор и х„уо з; — координаты точки М;; $О т[ь ь1 — координаты точки Л'б тогда ,Я~а(гт';) М'Маг = ~~~,а(еп т[о ь«) Ьт« = $ « =,~~ [а„(~ь т[ь ь,) пх, + ае ($о ч;, ь«) ьу, + а, (й„т[О ~~) гтз«[, откуда в пределе получаем« ~ «з(М)бз' = АВ ) а, (х, у, з) Их+ а„(х, у, я) ду + а, (х, у, з) Ия. (2.26) АВ Это рассуящеяие ие только дает выражение криволияейиого интеграла от вектор-фуикдии через обыкяовеииый криволииейиый интеграл, ко дает докаветельстэо сущестеоваиия его, если существование обыкновенного криволинейного интеграла считается известным. Если Ь вЂ” какой-нибудь путь в заданном векторном поле, то, рассматривая векторы а (М) как силы (тогда векторное поле становится силовым полем), найдем, что скалярное произведение а (М~) М,Мсы будет (с точноотью до бесконечно малых высшего порядка) работой силового 4 П.

Н. Ромакоескиа ОснОВы твогии пОля игл. и поля при перемещении точки от положения Ме в положение Мым Складывая эти злементарные работы и переходя к пределу, найдем, что ~а(М) сЬ будет работой силового поля при перемещении точки по пути Ь. По этой причине криволинейный интеграл ~ а (М) аг называется работой век>нориоео поля вдоль пути Ь *), Работа векторного поля вдоль замкнутого пути называется еще циркуляцией век торного колл вдоль этого аамкнутого пути. Определение. Векторное поленазываетсяпотеициаяьиым, если работа этого поля не зависит от формы пути или, что равносильно, если циркуляция векторного поля вдоль каждого аамкнутого пути равна нулю.

Из формулы (2.26) следует, что для потенциальности векторного поля необходимо и достаточно, чтобы криволинейный интеграл ~а„с)х+ аес)у+ а,сй не зависел от формы пути. Из д 5 следует, что для этого необходимо и достаточно, чтобы выражение а„с)х + аеау + а,аз было полным дифференциалом некоторой функции и (х, р, з) (силоеая функция), иначе говоря, чтобы выполнялись равенства до* де, д"е д'-' = О. (2.27) ду де ' де де ' дл дв В атом случае работа поля вдоль пути М,Ме равна аи(х, р, з) = и(М,) — и(М,) = о(Мь) — и(Ме), мима где и = — и называется потенциалом векторного поля. Таким обрааом, работа потенциального векторного поля равна приращению силовой функции или уменьшению потенциала.

е) Ие определенна видно, что абсолютная величина работы не яревосходнт произведения длины пути на максимальное еначенне ) а) в точках пути. вкктогнои полн С л е д с т в и е. Для потенциальности векторного пола необходимо и достаточно, чтобы оно было полем градиентов некоторого скалярного пола.