1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (Ильин Позняк 1999 Аналитическая геометрияu), страница 7

Например, минор элемента а, равен| * з~, минором эле- Ь, еэ' мента аз служит определитель ~ ' ', и т. д. Ьз сз~ Предлагаем читателю самому убедиться в том, что алгебраические дополнения и миноры связаны между собой по следующему правилу: алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, есть число четное, и со знаком минус — в иротивном случае.

Таким образом, соответствующие алгебраическое дополнение и минор могут отличаться только знаком. ') В рассматриваемом случае л 3. 32 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕПШИЕ ЗАДАЧИ !гл. ~ Следующая таблица дает наглядное представление о том, каким знаком связаны соответствующие алгебраическое дополнение и минор Установленное правило позволяет в формулах (Д1.14) и (Д1.15) разложения определителя по элементам строк и столбцов всюду вместо алгебраических дополнений писать соответствующие миноры (с нужным знаком) Так, например, последняя из формул (Д114), дающая разложение определителя по элементам третьей строки, принимает вид !аз Ь, сз! Ь-~аз '* аз~= з!ь,' „~-Ьз~;,' „1+с ~а,' «,'~. (Д"5) аз Ьз сз В заключение установим следующее фундаментальное свойство определителя.

Свойство у. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на согтветствующие алгебраические дополнения элементов этого (другого) столбца равна величине этого определителя (равна нулю). Конечно, аналогичное свойство справедливо и применительно к строкам определителя. Случай, когда алгебраические дополнения и элементы отвечают одному и тому асе столбцу, уже рассмотрен выше. Остается доказать, что сумма произведений элементов какого-либо столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца равна нулю.

Докажем, например, что сумма произведений элементов первого или второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов третьего столбца равна нулю. Будем исходить из третьей формулы (Д1.15), дающей разложение определителя по элементам третьего столбца: ! а, Ь, с,1 аз Ьз сз = сзСз+ сзСз+ сзСз. аз Ьз сз (Д1. 17) Так как алгебраические дополнения Сь Сз и Сз элементов третьего столбца не зависят от самих элементов сь сз и сг этого столбца, то в равенстве (Д1.17) числа сь сз и сз можно заменить произвольными числами Ьь Ьз и Ьы сохраняя при этом в левой части (Д1.!7) первые два столбца определителя, а в правой части величины Сь Сз и Сз алгебраических дополнений, ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ | зз а, Ь, с, аз Ьз сз аэ Ьэ сэ а, Ь, с, аэ Ьз сз аз Ьз сз Ь| Ь| с, Ьз Ьз сз Ьз Ьэ сз а, Ь, Ь, а Ь Ь аз Ьз Ьэ Ьз= Таким образом, при любых Ь|, Ьг н Ьз справедливо равен- ство ! а, Ь, Ь, аз Ьз Ьз = Ь,С, + Ь,Сг + ЬзСз (Д1.18) а Ь Ь Беря теперь в равенстве (Д1.18) в качестве Ьз, Ьг и Ьэ сначала элементы аь аг н аз первого столбца, а затем элементы Ь|, Ьз и Ьз второго столбца и учитывая, что определитель с двумя совпадающими столбцами в силу свойства 3 равен нулю, мы придем к следующим равенствам: а,С, + агСз+ азСз О, Ь!С, + ЬгСз+ ЬзСз = О.

Тем самым доказано, что сумма произведений элементов пер- вого нли второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов третьего столбца равна нулю. Аналогично доказываются равенства а, В, + а|В, + азВ, = О, с, В, + сзВг + сэВэ = О, Ь!А| + ЬгАг+ ЬзАз О, с|А| + сзАг+ сзАз О и соответствующие равенства, относящиеся не к столбцам, а к строкам: а,Аэ+ Ь Вз+ с|Сз=О, агАз+ ЬАВз+ сэСз=О. а,Аз+Ь,В,+с,С|=О, азАг+Ь|В,+сзСг О, агА, + Ь,В, + с С, = О, азА, + ЬзВ| + сзС| = О.

6. Сястема трех лянейных уравнений с тремя иензвестнымя с определителем, отличным от нуля. В качестве приложения изложенной выше теории рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными а,х+ Ь,у+ с|я= Ь„ агх+ Ь,у+ сзе= Ьз, (Д! Л9) а,х+ Ьзу+ сэа= Ь, (коэффициенты а|, аз, аь Ь|, Ьг, Ьэ, сь сг, сз и свободные члены Ь|, Ьь Ьз считаются заданными). Тройка чисел хз, уэ, яа назы- вается решением системы (Д1.19), если подстановка ятях чисел иа место х, у, х в систему (Д1.19) обращает все три уравнения (Д1.19) в тождества. Фундаментальную роль в дальнейшем будут играть следую- щие четыре определителя: 34 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕИШИЕ ЗАДАЧИ (гл.

! Определитель Ь принято называть определителем системы (Д1.19) (он составлен из коэффициентов при неизвестных). Определители Ь., Ь„и Ь, получаются из определителя системы Ь посредством замены свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов. Для исключения из системы (Д1.19) неизвестных у и х умножим уравнения (Д1.19) соответственно на алгебраические дополнения Аь Аз и Аз элементов первого столбца определителя Ь системы и после этого сложим эти уравнения. В результате получим (а, А, + аз Аз + аз Аз) х + (Ь,А, + Ь,А, + ЬзАз) у + + (с,А, + с,А, + сзАз) х = Ь1А~ + йзАз+ ЬзАз (Д! 20) Учитывая, что сумма произведений элементов данного столбца определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого (другого) столбца равна определителю (нулю) (см. свойство 9), получим а,А,+азА,+азАз=Ь, Ь,А,+Ь,А,+Ь,Аз=О, с,А,+с,А,+с,Аз=О.

(Д1.21) Кроме того, посредством разложения определителя Ь, по элементам первого столбца получается формула Ьа = Ь!А1 + ЬзАз + йзАз (Д! .22) С помощью формул (Д1.21) н (Д1.22) равенство (Д1.20) перепишется в следующем (не содержащем неизвестных у и г) виде: Ь ° х=Ь„. Совершенно аналогично выводятся из системы (Д1.!9) равенства Ь у = Ь„п Ь г = Ь. *). Таким образом, мы установили, что система уравнений х=Ь„, Ь у=ЬР, Ь ° Е=Ь, (Д1. 23) является следствием исходной системы (Д1.19). В дальнейшем мы отдельно рассмотрим два случая: 1) когда определитель Ь системы отличен От нуля, 2) когда этот определитель равен нулю. Здесь мы рассмотрим лишь первый случай (рассмотрение второго случая отложим до п.

9). Итак, пусть Ь ~ О. Тогда из системы (Д1.23) мы сразу получаем формулы для неизвестных, называемые формулами Крамера: х = Ь(Ь, у = Ья/Ь, г = Ь,/Ь. (Д1.24) *) Для получения этна равенств следует сначала умножить уравнения (Д1.19) соответственно на алгебранческне дополнения элементов второго я третьего столбцов, а затем сложить полученные равенства, дополнвнив к глава г 35 Полученные нами формулы Крамера дагот решение системы (Д1.23) и потому доказывают единственность решения исходной системы (Д1.19), нбо система (Д1.23) является следствием системы (Д1.19), и всякое решение системы (Д1.19) обязано быть решением и системы (Д1.23). Итак, мы доказали, что если у исходной системы (Д1.19) существует при Ь ~ О решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера (Д1.24).

Чтобы доказать, что решение в самом деле существует, мы должны подставить в исходную систему (Д1.19) на место х, у и е их значения, определяемые формулами Крамера (Д1.24). и убедиться в том, что все три уравнения (Д1.19) обращаются при этом в тождества. Убедимся, например, что первое уравнение (Д1.19) обращается в тождество при подстановке значений х, у и а, определяемых формулами Крамера (Д1.24). Учитывая, что А.=Ь!Аг+ЬзАг+ЬзАз, Ьз Ь,Вг+ЬзВг+ЬзВз, Ьз= = Ь|С~ + ЬгСг + ЬзСз, будем иметь, подставив в левую часть первого из уравнений (Д1.19) значения х, у н а, определяемые формулами Крамера: аз аз аз агх+ Ь)у+ ср=а~ — + Ь| — + с~ — = а л а 1 = а (а1 (Ь! А~ + ЬгАг + ЬзАз) + Ь, (Ь! В, + ЬгВг + 1гзВз) + + с, (Ь,С, + ЬгСз + ЬзСз)).

Группируя внутри фигурной скобки члены относительно Ь» Ьг и Ьз, будем иметь ах+ Ь у+ сьа = 1 = — (Ь, (а, А, + Ь,В, + с,С,) + Ьг [а, Аз + Ь,Вг+ с,Сг[ + + Ьз [аг Аз + ЬгВз + сгСз[) В силу свойства 9 в последнем равенстве обе квадратные скобки равны нулю, а круглая скобка равна определителю Ь. Таким образом, мы получим а~х+Ь|у+с~а = Ь» и обращение в тождество первого уравнения системы (Д1.19) установлено. Аналогично устанавливается обращение в тождество второго и третьего уравнений системы (Д1.19).

Мы приходим к следующему выводу: если определитель Л системы (Д1.19) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение этой системы, определяемое формулами Крамера (Д1.24). 7. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. В этом и в следующем пунктах мы разовьем аппарат, необходимый для рассмотрения неоднородной системы (Д1.19) с определителем, равным нулю.

Сначала рассмотрим зб СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЯИШИВ ЗАДАЧИ и'л. ! однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестнымн а,х+ Ь,у+ с,х = О, (Д1.25) азх+ Ьзу+ с,г = О. Если все три определителя второго порядка, которые можно составить из матрицы (Д1.26) равны нулю, то в силу утверждения из п, 1 коэффициенты первого из уравнений (Д1.25) пропорциональны соответствующим коэффициентам второго из этих уравнений. Стало быть, в этом случае второе уравнение (Д1.25) является следствием первого, н его можно отбросить.

Но одно уравнение с тремя неизвестными а1х + Ь|у + сзг = О, естественно, имеет бесчисленное множество решений (двум неизвестным можно предписывать произвольные значения, а третье неизвестное определять из уравнения). Рассмотрим теперь систему (Д1.25) для случая, когда хотя бы один из определителей второго порядка, составленных из матрицы (Д1.26), отличен от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что определитель а|1~О е) (Д1.27) Тогда мы можем переписать систему (Д1.25) в виде а,х+ Ь,у = — с,г, азх + Ь,у — с,г и утверждать, что для каждого г существует единственное решение этой системы, определяемое формулами Крамера (см.

п. 2, формулы (Д1.8) ) аз сз! сз Ьз ~ (Д1.28) а, Ь, а, Ь, а, Ь! аз Ьз а Ь с, . с) Это предположение не снижает общности, ибо порядок следования неизнестимя к, у н я нзяодится а нашем распоряжении. Для дальнейшего удобно ввести в рассмотрение алгебраические дополнения Аз, Вз и Сз элементов третьей строки опреде- лителя СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕИШИЕ ЗАДАЧИ !гл. ю а~к+ Ь1у+ с1г = О, как уже отмечалось в предыдущем пункте, имеет бесчисленное множество решений. Остается рассмотреть случай, когда хотя бы один минор матрины (Д1.33) отличен от нуля.