1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (Ильин Позняк 1999 Аналитическая геометрияu), страница 3

Заслуга введения метода координат, с помощью которого задачи геометрии могут быть встолкоааны на языке математвческого аналнза, н, обратно, факты аналнаа могут приобрести геометрическое толкоэаннц принадлежит французскому ученому Р. Декарту. «') В Прнложеини в конце втой книги рассматривается аксиоматнческое наеденне основных геометрических понятий (точек, прямых, плоскостей). Кроме того, в этом же Приложения устанавливается связи между геометрическим понятвем прямой лилии н понятием числовой оси (см. зыпусх 1 «Основы математического анализа«.

эп двкквтовы координаты ня пгямои ного отрезка. Величиной АВ направленного отрезка АВ называется число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком плюс, если направление АВ совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если направление АВ противоположно направлению оси. Величины всех нулевых направленных отрезков считаются равными нулю. 2. Линейные операцни иад направленнымн отрезками. Основное тождество.

Предварительно определим равенство направленных отрезков. Направленные отрезки мы будем перемешать вдоль оси, на которой они лежат, сохраняя прн этом их длину и направление*). Два ненулевых направленных отрезка называются равными, если при совмещении начал этих отрезков совпадают и их концы. Любые два нулевых направленных отрезка считаются равными. Очевидно, необходимым и достаточным условием равенства двух направленных отрезков на данной оси является равенство величин этих отрезков. Линейными операциями над направленными отрезками будем называть операции сложения таких отрезков и умножения направленного отрезка на вещественное число.

с э Перейдем к определению этих опе- л в раций. Для определения суммы направРвс. П2 ленных отрезков АВ и СР совместим начало С отрезка СР с концом В отрезка АВ (рис. 1.2). Полученный при этом направленный отрезок АО называется суммой направленных отрезков АВ и СР н обозначается символом АВ+ С0. Справедлива следующая основная теорема. Теорема 1.1.

Величина суммы направленньсх отрезков равна сумме величин слагаемых отрезков. Доказательство. Пусть хотя бы один из отрезков АВ и СО является нулевым. Если, например, отрезок С0 нулевой, то сумма АВ+ С0 совпадает с отрезком АВ, и утверждение теоремы справедливо. Пусть теперь оба отрезка АВ и СР ненулевые. Совместим начало С отрезка СР с концом В отрезка АВ.

Тогда АВ+СР= АР. Нам нужно доказать справедливость равенства АВ+ СР = АР. Рассмотрим случай, когда оба з) Вопрос о возможности перемепзении отрезков свивав с аксиомамв конгрузвтности (см. Првножеине в конце книги н, в частности, сноску на с, 209]. !4 системы коотдинлт. пеостиишив злдлчи ~гл. ~ отрезка АВ и СР направлены в одну сторону (рис.

1.2). В этом случае длина отрезка А0 равна сумме длин отрезков АВ и СР н, кроме того, направление отрезка АР совпадает с направлением каждого нэ отрезков АВ н СР. Поэтому интересующее Р нас равенство АВ+СО= АР справедливо. Рассмотрим, наконец, еще один возможный случай, когда отрезРыс. из ки АВ и СР направлены в противоположные стороны (рис.

1.3). В этом случае величины отрезков АВ и С0 имеют разные знаки, и по. этому длина отрезка АР равна 1АВ+ СР~1. Так как направление отрезка АР совпадает с направлением наибольшего по длине из отрезков АВ и СР, то знак величины отрезка А0 совпадает со знаком числа АВ + СР, т. е, справедливо равенство АВ+ СР АР. Теорема доказана.

Следствие, При любом расиоложении точек А, В, С на числовой оси величины направленных отрезков АВ, ВС и АС удовлетворяют соотношению АВ+ВС= АС, (1.1) которое называется основным тождеством. Операция умножения направленного отрезка на веществен. нос число а определяется следующим образом. Произведением направленного отрезка АВ на число а называется направленный отрезок, обозначаемый а АВ, длина которого равна ироизведению числа 1а) на длину отрезка АВ и направление которого совиадает с направлением отрезка АВ ири а ) 0 и противоположно направлению АВ при а<0. Очевидно, величина направленного отрезка а АВ равна а АВ.

3. Декартовы координаты иа прямой. Декартовы координаты на прямой вводятся следующим образом. Выберем иа прямой определенное направление ') и некоторую точку 0 (начало координат) р и (рнс. 1А). Кроме того, укажем единицу масштаба. Рассмотрим теперь произвольную точку М на прямой. Л ек а р т о в о й к о о р д и н а то й х т о ч к и М будем называть величину направленного отрезка с1М.

Тот факт, что точка М имеет координату х, символически обозначают так: М (х). ') Неыоиыым, что прямая с укезаыыми ыа ыей выправлением, ыаемыеетсы Фп коогдинлты нк плоскости и в птосттлнствв 15 Замечание. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один из способов, с помощью которого любой точке М прямой ставится в соответствие вполне определенное вещественное число х. Вопрос о том, исчерпывается ли при этом способе все множество вещественных чисел, т. е.

будет ли указанное соответствие взаимно однозначным, положительно решается в Приложении в конце книги. (См. по этому поводу также Приложение к выпуску 1.) Пусть М1(х1) и Мг(х,) — две точки на оси. В следующем утверждении устанавливается выражение величины М1мг направленного отрезка М1М» через координаты х1 и хз его начала и конца. Теорема 1.2, Величина М~мт направленного отрезка М1Мз равна хг — хь т. е. М~мз хз — хо (1.2) Доказательство.

Рассмотрим на оси три точки О, Мп Мз. Согласно теореме 1.1 справедливо равенство ом, + м,м,=ом,. (1.3) Так как ОМ1 = хп Омг хм то из (1.3) вытекает нужное нам соотношение (1.2). Теорема доказана. Следствие. Расстояние р(мь Мз) между точками М~(х~) и Мз(хг) может быть найдено по формуле (1.4) р(М,, М,)=1х,— х,!. 5 2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве 1. Декартовы координаты на плоскости. Две перпендикулярные оси иа плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей (рис. 1.6) образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одну у из указанных осей называют осью Ох или осью абсцисс, другую — осью Оу или осью ординат.

Эти оси называют также координатны- у 1 ми осями. Обозначим через М„и М„соответ. ственно проекции произвольной точки М пло- в и» скости иа оси Ох и Оу. Декартовыми прямоугольными координатами х и у точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков ОМ» и Ом„. Декартовы координаты х и у точки М называются соответственно ее абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка М имеет координаты х и у, символически обозначают так: М(х, у). 1б СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕНШИЕ ЗАДАЧИ 1гл.

! Координатные оси разбивают плоскость на четыре квад. ранта, нумерация которых указана на рис. 1.6. На этом же рисунке указана расстановка знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином квадранте. 2. Декартовы координаты в пространстве. Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости.

Рнс. 1.7 Рес. 1.б Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом О и одинаковой масштабной единицей (рис. 1.7) образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве, Одну из указанных осей называют осью Ох или осью абсцисс, другую — осью Оу или осью ординат, третью — осью Ог илн осью аппликаг. Пусть М„МР и М, — проекции произвольной точки М пространства на оси Ох, Оу и Ог соответственно. Декартовыми прямоугольными координатами х, у и г точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков ОМ„ОМ„и ОМ,.

Декартовы координаты х, у и г точки М называются соответственно ее абсциссой, ординатой и аппликатой. Тот факт, что точка М имеет координаты х, у и г, символически обозначают так: М (х, у, г) . Попарно взятые координатные оси располагаются в так называемых координатных плоскостях хОу, уОЕ и гОх (рис. 1.7). Эти плоскости разбивают пространство на восемь октантов. Читатель без труда выяснит расстановку знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином октаите.

В 3. Простейшие задачи аналитической геометрии 1. Понятие направленного отрезка в пространстве. Проекция направленного отрезка на ось. Отрезок в пространстве называется направленным, если указано, какая из его граничных точек ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОИЕТРИИ 11 является началом и какая — концом. Как и в п. 1 $1 этой главы символом АВ будем обозначать направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В. Рассмотрим в пространстве направленный отрезок М!Мз и ось Ох (рис 1.8). При этом будем считать, что на оси Ох введены декартовы координаты аа!(т точек.

Проекцией про* М!МА на- / правленного отрезка М!МА на l! ось Ох называется величина 2"211 Яа' о направленного отрезка М1,МТ, началом М! которого служит проекция начала отрезка М!Мь а концом Мг,— проек- Рвс. 1.В цяя конца отрезка М!Мз. Пусть точки М1, и Мз, имеют на оси Ох координаты х! и хз соответственно. Из определения прок М!21йг и теоремы 1.2 вытекает справедливость соотношения про,М,М, х,— х,, (1.5) Установим еще одну формулу для вычисления прок М!Мь Для этого перенесем направленный отрезок М!Мз параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с какой-либо точкой оси Ох (на рис. 1.8 этой точкой является точка М1 ).

Обозначим через 1р наименьший угол между направлением оси Ох и направлением отрезка М„М', полученного указанным выше параллельным переносом отрезка М!Мз Отметим, что угол 1р заключен между 0 и и. При этом очевидно, что угол ар острый, если направление отрезка М! 2112 совпадает с направлением Ох, и тупой, если направление М1„И2 противоположно направлению Ох.