1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Используя зто, легко убедиться в справедливости следующей нужной нам формулы: проаМ!Ма = ~ М1М2(с05 1ра в которой ~М1М2~ обозначает длину отрезка М!в42. 2. Расстояние между двумя точками. В этом пункте мы установим формулу для вычисления расстояния между двумя тон«ами по известным координатам этих точек. Эта задача уже решена для случая точек иа прямой в п. 3 2 1 этой главы (см формулу (1А)). Ради определенностя подробно остановимся на случае, когда точки расположены в пространстве.
Рассмотрим в пространстве декартову систему координат Охуг и точки М!(х1,уь х!) и Мз(хт, уз, хэ) (рис. 1.9). Очевидно, 2 Зак 168 18 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЯШИЕ ЗАДАЧИ [гл. 1 расстояние р(МНМТ) между тачками М1 и Ми равное длине направленного отрезка М1МИ равно также длине диагонали параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям и проходят через точки У М1 и Мз (на рис. 1.9 этот паралле- лепипед изображен штриховой ли- 1' — -ф ~ нией).
Длина параллельного осн ф+ —:( Ох ребра этого параллелепипеда ь — +А. ', равна, очевидно, абсолютной вели- 1 У а чине проекции отрезка М,МЗ на ось — -~ —,~;-> —,~ У Ох, т. е., согласно формуле (1.5), н равна ~ хт — х1 ~. По аналогичным соображениям длины ребер, паралРнс. 1.9 лельных осям Оу и Ог, равны соответственно ~ ут — у1 ~ и ~ хз — х1 ~ ° Используя теорему Пифагора, получим следующую формулу для р(МН Мз): р(М„МЗ) = л/(хз — х, + (уз — у1) + (гт — Е1) . (1.7) Замечание.
Формула расстояния между двумя тачками в случае их расположения в плоскости Оху имеет следующий вид: р(МИ М~) (1.8) 3. Деление отрезка в данном отношении. Рассмотрим в пространстве две различные точки М1 и Мт и прямую, определяемую этими точками. Выберем на этой прямой некоторое направление (рис. 1.10). Иа полученной осн точки М| и Мз определяют направленный отрезок М1М,. Пусть М вЂ” любая отличная от М, точка указанной выше лм оси.
Число ЛА М,М М Х = — ' (1.9) ММ~ Рес. 1.10 называется отношением, в ко- тором точка М делит направленный отрезок М1ейз. Таким образом, любая, отличная от Мз точка М делит отрезок М1МЗ в некотором отношении Х, где Х определяется равенством (1.9). Замечание 1. При изменении направления на прямой, проходящей через точки М1 и Мм меняют знак величины всех М,М направленных отрезков, Поэтому отношение — в правой МЛф 9 11 пгостяишив задачи *нллитичвскон гвомвттии 19 части формулы (1.9) не зависит от выбора направления на прямой М~Мь Рассмотрим задачу о вычислении координат точки М„делла!ей отрезок И~Ма в отношении Л, считая известными координаты точек М~ и Мь и число Л, где Л не равно — 1.
Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат Охуг, и пусть в этой системе коордкиат точки Мь Мь н М имеют соответственно координаты (хь уь г~), (хь уь гь) и (х, у, г). Спроектируем точки Мь Мь и М на координатные оси (на рис. 1.10 указаны лишь проекции Мпч Мь. и М, точек Мь Мз и М на ось Ох). Очевидно, точка М делит направленный отрезок М1,Мы в отношении Л, Поэтому — =Л.
М~ как МкМзх Согласно теореме !.2, МыМ, =х — х1, а М,Мь;=хе — х. Отсюда н из соотношения (1.10) найдем, что х равняется 1+Л к, +Лхь Совершенно аналогично вычисляются координаты у и г точки М. Таким образом, к, +Лхь 1+к у= у,+Лзь ха+Лев 1+Л ' 1+1 г=— Формулы (1.11) называются формулами деления отрезка в данном отношении Л.
Замечание 2. Очевидно, если Л = 1, то точка М делит отрезок М~М, пополам. Получающиеся прй этом из соотношений (1.11) формулы называются формулами деления отрезка пополам. Замечание 3. Для положительных значений Л точка М лежит между точками М1 н Мз (в этом случае, как зто видно из (1.9), отрезки М~М и ММз одинаково направлены), а для отрицательных значений — вие отрезка М~Мь Замечание 4.
Соотношения (!.11) имеют смысл для любых значений Лчь — 1. Этим, в частности, н объяснялось указанное ранее ограничение для значений Л. Пример. Решим задачу о вычислении координат центра тяжести системы материальных точек. Используем следующие два допущения, отвечающих известным физическим предпосылкам: 1) Центр тяжести системы из двух точек М~ н Мз с массамн соответственно н1~ и н1з находится на отрезке М~Мз и делит этот отрезок в отношении Л н1фи1.
2) Центр тяжести системы точек Мь Мм " . М 1, Мь С МаееаМН СООтВЕтетВЕИИО Л1ь Льм ..., Н1~ 1, НЬ, СОВПаДаЕт С центром тяжести системы из двух точек, одна из которых яв- 2О СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕИШИЕ ЗАДАЧИ (гл. 1 езу~ + . ° ° + нзлул т,+ ... +зпл т,х, +... + езх» х= зп, + ° .. +зле (1.12) яззт + ° ° ° + елхч г= зп, + ...
+»з„ В справедливости этих формул можно убедиться по индукции, если использовать второе допущение. В самом деле, пусть этн формулы справедливы для системы точек Мь ..., М, 1 с массами зп1, ..., ич ь Тогда, например, для абсциссы х рассматриваемой системы точек Мз, ..., М„, согласно второму допущению н формуле для абсциссы х системы из двух точек, получим выражение т~хз + ° ° + еч-зхз-з (т,+...+тл з) ° + ' +зп„х„ т,+ ...
+т„ (тз + "° + зпл-з) + лзл из которого сразу же вытекает первая формула (1.12). Выражения для у и г получаются аналогично. Замечание. Если система точек М1 с массами тз расположена в плоскости Оху, то координаты х и у центра тяжести этой системы могут быть найдены по первым двум формулам (1.12) . 4. Барвцевчрвческне координаты. Формулы (1.12) используются для езедення так называемых барицвятраческих координат. Рассмотрим барнцентрические координаты иа плоскосзп.
В целях упрощения рассуждений будем считать, что на плоскости введены н декартовы координаты Оху. Рассмотрим какие-либо трн различные точки Мз(хь уз), Мз(кз, уз), Мз(хз, уз), ие лежашие ва одной прямой, в любую данную точку М(х, у). Выясним, существуют ли такие гри числа тз, ез, ез, удовлетворяющие условию (1.12) е,+ее+аз, 1, что даниил точка М(х, у) будет центром тязсвсти системы точек Мз, Мз, Мз с массами ти тз, зпз соответственно.
Ниже мы убедимся, что прн сформулированных требованиях числа еь тз, ез определяются однозначно для каждой гочки М. Оив называются барицвлтрическиии координатами гочки М относительно базисных точек М» Мз и М» ляется точкой М, с массой лз„ а другая находится в центре тяжести системы точек Мь Мз, ..., Мз з (с массами гл1, пзз, ... ..., лз з) и имеет массу зпз+зпз+ ... +из,-ь Из первого допущения и формул (1.11) вытекает, что координаты х„у и г центра тяжести системы из двух точек Мз(хь уьгз] и Мз(хз, рз, гз) с массами лз1 и тз равны соответственно е'"'+е'х*.
е'у'+е'у' е'х'+ т'х' Поэтому следует и ез+тз ез+ее т, + тз ожидать, что координаты х, у и г центра тяжести системы из л точек Мз(хоуьгз), з = 1, 2, ..., и, с массамн лзз могут быть вычислены по формулам $4] ПОЛЯРНЫЕ, ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ, СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 21 Сформулироааииая задача о существоваиии чисел ть гиз, шз при условии (!ЛЗ) сводится, очевидио, к исследоваиию вопроса об однозначной разрешимости следующей системы трех лииейиых уравнений ') отиосвтельио гиь шз, шз: т|+ тз+ тз 1, т~«1+ азха+ гизхз х, у+ и+ у.-у Известно, что для однозначной разрешимости квадратиой системы лвиейиых уравиеивй (система, у которой число ураавеиий раево числу иеязвествых) необходимо в достаточио, чтобы определитель этой системы был отлвчеи от вуля (см. Дополвевие к этой главе).
Для рассматрвваемой системы этот определитель ымеет вид 1 ! ! «4 хз хз (хз «1) (Уз — У4) — (хз — «д (Уз — У4) У1 Уз Уз! Этот определитель отлычев от пуля, ииаче мы получылв бы пропорцию — в, обозиачив каждое ыэ указаиимх отиошеввй через «з — «1 уз — у1 «,— «, у,— у, — д (Х чь — 1, вбо точки Мз в Мз различиы), прышлы бы с точиостью до обозначений к первым двум равенствам (1.11).
Это означало бы, что точка М4 делит отрезок Мзмз в отиошевив д, т. е. озыачало бы, что точки Мь Мз п Мз лежат вз одной прямой. Таким образом. система (1.14) одиозкачво разрешима отиосвтельво ть шз, тз. Следоеательыо. положевые любой точки М иа плоскости одыозвачио определяется отиосительво базисных точек Мг, Мз, Мз этой плоскости посредством барицеитрвческых коордвват тг, шз п шз.
Барвцеитрыческие коордвваты в пространстве вводятся совершеиво аиалогычио. Для этого вспользуются четыре базвслые точкы, ие располагающиеся в одной плоскости, $4. Полярные, цилиндрические н сферические координаты 1. Полярные координаты. Полярные координаты на плоскости вводятся следующим образом. Выберем иа плоскости некоторую точку О (полюс) н некоторый выходящий из иее луч О« (рис. 1.11). Кроме того, укажем едини- Р цу масштаба. Полярными координатами точки М называются два чис- Аул — — ---- 44( ла р и !р, первое из которых (полярный радиус р) равно расстоянию точки М от полюса О, а второе (полярный угол гз ф) — угол, на который нужно повернуть 4] 44у«Ш против часовой стрелки луч Ок до сов- Рыс. 1.11 мещения с лучом ОМ**).
Точку М с полярными координатами р и 4р обозначают сим- волом М(р гр) ° *) Последипе два уравыеиия этой системы представляют собой следствия первых двух соотвошеиий (1.12) и соотыошеиия (1.13). з«) При этом предполагается. что точка М отличиа от полюса. Для полюса О полярный радиус р равен нулю, а поляриый угол неопределенный, т. е, ему можво приписать любое звачеиве. 22 системы кооидинхт.
пиостзишие задачи ггл. ~ Для того чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и парами полярных координат (р,ф) было взаимно однозначным„обычно считают, что р и ф изменяются в следующих границах: О < р < + со, О с~ф < 2я. (1.15) Замечание. В некоторых задачах, связанных с непрерывным перемещением точки по плоскости, требуется непрерывное изменение полярных координат этой точки.
В таких задачах удобнее отказаться от ограничений для р н ф, указанных в соотношениях (1.15). Если, например, рассматривается враи1ение точки по окружности против часовой стрелки (р = сопз1), то естественно считать, что полярный угол этой точки может принимать, врн большом числе оборотов, значения, ббльшие 2п. Если же рассматривается движение точки по прямой, проходящей через полюс (ф = сопз(), то естественно считать, что прн переходе через полюс ее полярный радиус меняет знак. Закон изменения величин р н ф выясняется в каждом конкретном случае. Установим связь между полярными координатами точки и ее декартовыми координатами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
