1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (Ильин Позняк 1999 Аналитическая геометрияu), страница 10

+а„а„=О. Векторы аь ат, ..., а„не являющиеся линейно зависимыми, будем называть линейно независимыми. *) В этом случае векторы е н Ь совпадают н равенство Ь Хв реелнв] св и ") Здесь под ОА н ОВ следует поннмвть велнчнны направленнык от. резкое. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 4В [ГЛ З Дадим другое определение линейно независимых векторов, основанное на логическом отрицании содержания определения 1. Определение 2. Векторы ан аз, ..., а, называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинаиии (2.3) возможно лишь в случае, когда все числа ин ам..., сс, равны нулю.

Имеют место следующие два утверждения. Теорема 2.2. Если хотя бы один из векторов а[, аз, ..., а, является нулевым, то зти векторы являются линейно зависимыми. Доказательство. Пусть, ради определенности, вектор а[ является нулевым'), а остальные векторы аь ..., а„произвольны. Тогда обращается в нуль линейная комбинация (2.3) указанных векторов с числами и[ = 1, из = аз ... — — аз = О, одно из которых отлично от нуля.

Теорема доказана. Теорема 2.8. Если среди и векторов какие-либо и — 1 векторов линейно зависимы, то и все и векторое линейно зависимы. Доказательство. Пусть для определенности вектоьпы аьаз...„а„[ линейно зависимы, а вектор а, произволен ' ). По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа сз[, аз, ..., а, [, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что имеет место равенство а,а, +отав+... +а„,а„,=О.

(2. 4) Равенство (2.4) сохранится, если мы добавим в левую часть этого равенства равное нулю слагаемое О а„т. е. справедливо равенство а[а[+ аз[за+ ... + а„,а„, + О а„=О. (2,5) Так как среди чисел ан ат, ..., сс, [, О хотя бы одно отлично от нуля, то равенство (2.6) доказывает линейную зависимость векторов аь аз, ..., а,. Теорема доказана. Замечание. Конечно, утверждение теоремы 2.3 о линейной зависимости и векторов останется в силе, если среди этих векторов линейно зависимыми являются не п — 1, а любое меньшее а число векторов. 4.

Линейные комбинации двух векторов. Теорема 2.4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность. ') Мы всегда можем поменять порядок следованив векторов так,чтобы пулевым ояазался первый нз векторов. еь) Поменяв порядок следования векторов, мы всегда можем добиться того, чтобы линейно зависнмымн оказались первые л — 1 векторов. Яэ ЛИИЕЯНЫЕ ОПЕРАЦИИ ИАД ВЕКТОРАМИ Доказательство. 1) Необходн м ость, Пусть два вектора а и Ь линейно зависимы. Докажем коллинеарность этих векторов. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа а и 6, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что справедливо равенство па+ рЬ = О.

(2.6) Пусть для определенности отлично от нуля число 6. Тогда из равенства (2.6) (посредством деления этого равенства на и переброски одного члена в правую часть) получим следующее равенство: а Ь = — — а. Вводя обозначение Х = — аф, получим, что Ь = Ха. Таким образом, вектор Ь равен произведению вектора а иа вещественное число Х. По определению произведения вектора на число векторы а и Ь коллинеарны.

Необходимость доказана. 2) Достаточность. Пусть векторы а и Ь коллинеарны. Докажем, что эти векторы линейно зависимы. Если хотя бы один из векторов а и Ь нулевой, то эти векторы линейно зависимы в силу теоремы 2.2. Таким образом, нужно рассмотреть лишь случай, когда векторы а и Ь ненулевые. Но если вектор а ненулевой, то из коллинеарности векторов а и Ь в силу теоремы 2.1 вытекает существование такого вещественного числа Х, что Ь= Ха, или, что то же самое, (2.7) Так как из двух чисел А„— 1 одно заведомо отлично от нуля, то равенство (2.7) доказывает линейную зависимость векторов а и Ь. Достаточность доказана.

Следствие 1. Если векторы а и Ь не коллинеарны, то они линейно независимы. Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора (иначе бы эти векторы оказались линейно зависимыми). 5. Линейные комбинации трех векторов. Определение. Векторы называются к о м л л а н а р н ы м и, если они лежат либо в одной плоскости, либо в яараллелвных ллоскостях. Теорема 2.б. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их комнланарноств.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть три вектора а, Ь и с линейно зависимы. Докажем компланарность этих векторов, 4 Заа. 168 йо ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 1гл. и По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа а, р и у, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что справедливо равенство аа + рЬ + ус = О. (2.8) Пусть для определенности отлично от нуля число у. Тогда из равенства (2.8) (посредством деления этого равенства на у и переброски двух членов в правую часть) получим следующее равенство: а с= — — а — — Ь.

7 7 Вводя обозначения Х = — а/у, )А = — р/у, перепишем последнее равенство в виде с=да+ рЬ. (2.9) Если все тря вектора а, Ь и с приложены к общему началу О, то из равенства (2.9) следует'), что вектор с равен диагонали параллелограмма, построенного на двух Э э векторах.

"на векторе а, «растянутом» в гтй Х раз, и на векторе Ь, «растянутом»*') в 3 р раз (ряс. 2.10), Но это означает, что векторы а, Ь и с лежат в одной плоскости, т. е. компланари и д 4 ны. Необходимость доказана. 2) Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть векторы Рис. 2.10 а, Ь и с компланарны. Докажем, что этн векторы линейно зависимы. Прежде всего, исключим случай, когда какал-либо пара из укаэанных трех векторов коллинеариа. Тогда в силу теоремы 24 указанная пара векторов линейно зависима, а стало быть (в силу теоремы 2.3), и все три вектора а, Ь и с линейно зависимы.

Остается рассмотреть случай, когда в тройке векторов а, Ь, с нп одна пара векторов не коллинеарна (и, в частности, отсутствуют нулевые векторы "') ). Перенесем три компланарных вектора а, Ь и с на одну плоскость и приведем нх к общему началу О (рис. 2.10). Прове- ') В силу правила параллелограмма сложения векторов и определения произведения вектора на число (см. п. 2). Прн етом мы исключаем тривиальный случай, когда векторы а н Ь коллниеариы. В атом случае комплаиариость векторов а, Ь н с вытекает из того, что зти три вектора, будучи приведены к общему началу О, лежат на двух проходящих через точку О пря.

мых: иа одной лежит вектор с, на другой — оба вектора а и Ь. ") Термин «растянутый» следует понимать в указанном в п. 2 условном смысле. "') В силу следствия 2 из теоремы 2Д в паре неколлянеарных векторов не могут содержаться нулевые векторы. Е1 ЛИИЕИИЫЕ ОПЕРАНИИ НАД ВЕКТОРАМИ дем через кояец С вектора с прямые, параллельные векторам а и Ь. Обозначим буквой А точку пересечения прямой, параллельной вектору Ь, с прямой, на которой лежит вектор а, а бук.

вой В точку пересечения прямой, параллельной вектору а, с прямой, па которой лежит вектор Ь. (Существование указанных точей пересечения вытекает из того, что векторы а и Ь не коллинеарны.) В силу правила параллелограмма сложения векторов вектор с равен сумме векторов ОА и ОВ, т, е. с=ОА+ОВ.

(2.10) Так как вектор ОА коллинеарен ненулевому вектору а (с ко. торым он лежит на одной прямой), то в силу теоремы 2.1 найдется вещественное число Л такое, что ОА=Ла. (2А1) Из аналогичных соображений вытекает существование вещественного числа р такого, что ОВ = ИЬ. (2А2) Вставляя (2.11) н (2.12) в (2.10), будем иметь с Ла+ рЬ. (2.13) Равенство (2.13) можно переписать в виде Ла+ рЬ+( — 1)с=0. Так как из трех чисел Л, р, — 1 одно заведомо отлично от нуля, то последнее равенство доказывает линейную зависимость векторов а, Ь и с. Достаточность доказана. Попутно доказаны следующие утверждения: Следствие 1.

Каковы бы ни были неколлинеарные векторы а и Ь для любого вектора с, лезгащего в одной плоскости с векторами а и Ь, найдутся такие вещественные числа Л и р«что справедливо равенство с =Ла+ рЬ. (2.!3) Следствие 2. Если векторы а, Ь и с не компланарны, то они линейно независимы. Следствие 8. Среди трех некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных векторов и не может быть ни одного нулевого вектора «). 6.

Линейная зависимость четырех векторов. Теорема 2.б. Любые четыре вектора линейно зависимы. Доказательство. Прежде всего исключим случай, когда какая-нибудь тройка из укаэанных четырех векторов ком- ") Иначе вти в«вторы оказались бы ввнеаио вавнснмымв. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [ГЛ. 3 нланарнп. Тогда в силу теоремы 2.5 указанная тройка векторов линейно зависима, а стало быть (в силу теоремы 2.3), и все четыре вектора линейно зависимы.

Остается рассмотреть случай, когда среди четырех векторов а, Ь, с и д никакая тройка векторов не комнланарна (и, стало быть, иет ни одной пары коллинеарных векторов и ни одного нулевого вектора *) ). Приведем все четыре вектора а, Ь, с и д к общему началу О и проведем через конец 0 вектора б плоскости, параллельные плоскостям, определяемым парами векторов Ьс, ас и аЬ **) (рис. 2.11). Точки пересечения указанных плоскостей с прямыми, на которых лежат векторы а, Ь и с, обозначим соответственно буквами А, В и С.