1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (Ильин Позняк 1999 Аналитическая геометрияu), страница 14

Следующее свойство устанавливает важную для дальнейшего формулу. Теорема 2.И. Если с — какой-нибудь вектор, тс — любая содержащая его плоскость, е — единичный вектор, лежащий в плоскости и и ортогональный к с, и — единичный вектор, ортогональный к плоскости п и направленный так, что тройка ест является правой, то для любого лежащего в плоскости н вектора а справедлива формула (ас) = и р, а ° ) с ) и.

(2.40) Доказательство. Достаточно доказать, что векторы, стоящие в левой н правой частях (2.40): 1) имеют одинаковую длину, 2) коллннеарны, 3) имеют одинаковое направление. В силу теоремы 2.14 ~ (ас) ~ = Ю, где 5 — площадь построенного на приведенных к общему началу векторах а н с параллелограмма. Длина вектора, стоящего в правой части (2.40), равна )с~)пр,а~, т. е.

тоже равна 3, нбо если за основание указанного параллелограмма принять вектор гт с, то высота его й будет равна )пр, а), е (рнс. 2.17). и' Коллинеарность векторов, стоящих е в левой н правой частях (2.40), вытеь кает нз того, что оба эти вектора ортоРис. 2.17 гональны к плоскости п (вектор (ас) в силу определения векторного произведения, а вектор пр,а ~с~у в силу того, что вектор и по условню ортогонален к плоскости н). Остается проверить, что векторы, стоящие в левой н правой частях (2.40), одинаково направлены.

Для этого достаточно заметить, что векторы (ас) н д одинаково направлены (протнвоположно направлены), когда тройка асп является правой (левой), т. е. когда векторы а н е лежат по одну сторону от с (по разные стороны от с *)) н проекция пр, а является положительной (отрнцательной), но это н означает, что векторы (ас) н пр, а )с~у всегда одинаково направлены. Теорема доказана.

Я. Смешанное произведение трех векторов. Пусть даны трн произвольных вектора а, Ь н с. Если вектор а векторно умножается на вектор Ь, а затем получившийся при этом вектор ° ) При атом мы исключаем тривиальный случай, когда вектор а коллииеарен вектору с. В атом тривиальном случае (ас) О н пр~а О, так что равенство (2.40) очевидно.

$ 31 ввкторнов и смвшдннов пвоизввдвния векторов ву [аЬ] скалярно умножается на вектор с, то в результате лолу- чается число [аЬ]с, называемое смешанным нроизввдвн ием векторов а, Ь и с. Геометрический смысл смешанного произведения вскрывает следующая теорема.

Теорема 2.16. Смешанное произведение [аЬ]с равно объему параллелепипеда, настроенного на приведенных к оби(вму началу векторах а, Ь и с, взятому со знаком плюс, если тройка аЬс правая, и со знаком минус, если тройка аЬс левая. Если жв векторы а, Ь и с комаланариы, то [аЬ]с равно нулю. Доказательство. Прежде всего, исключим трнвнальный случай, когда векторы а н Ь коллннеарны. В этом случае векторы а, Ь н с компланарны «) ° н нам требуется доказать, что смешанное пронзведенне [аЬ]с равно нулю. Но последнее очевидно, нбо векторное произведение [аЬ] двух коллннеарных векторов а н Ь равно нулю. Остается рассмотреть случай, когда векторы а и Ь нв коллинеариы.

Обозначим через 5 йлощадь параллелограмма, построенного на прнведенных к общему началу векторах а и Ь, а через е — орт векторного произведения [аЪ]. Тогда, как доказано в предыдущем пункте, справедлива формула (2.39). С помощью этой формулы н формулы (2.31) для скалярного пронзведення получим [аЬ]с=(Яе)с Ю(ес)=5[е[пр,с 8 ° пр,с.

(2.41) Сначала предположим, что векторы а, Ь и с не комнланарны. Тогда пр,с с точностью до знака равна высоте й параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах а. Ь н с, прн условии, что основанием служит параллелограмм, построенный на векторах а н Ь (рнс. 2 13).

л Такнм образом, с точностью до знака правая часть (2.41) равна объему ~ построенного на векторах а, Ь н с параллелепипеда. Остается уточ- Рис. 2,18 нить знак. Очевидно, что пр,с =+Ь, еслн векторы е н с лежат по одну сторону от плоскости, определяемой векторами а н Ь, н пр,с= — й; если векторы е н с лежат по разные стороны от указанной плоскости. Но это означает, что пр,с=+Ь, если тройки аЬс н аЬе одной ориентации, н пр, с = — Ь, если указанные тройки противоположной орнентацнн. Так как по опреде- ') Ибо среди трех иекомолаиариык векторов ие может быть двух коялииеариых векторов (см, следствие 3 иа теоремы 2.5).

вектотнья ллгевек 1гл, ь пению векторного произведения тройка аЬе является правой (см. конец предыдущего пункта), то + й, еслн аЬс - правая тройка, пр,с= — л, если аЬс — левая тройка. Для завершения доказательства теоремы достаточно вставить зто значение пр, с в правую часть (2.4!). В случае, когда векторы а, Ь и с комлланарны, вектор с лежит в плоскости, определяемой векторами а н Ь, откуда следует, что пр, с = О, н по формуле (2.41) [аЬ]с = О.

Теорема полностью доказана. Следствие г. Справедливо равенство [аЬ]с = а[Ьс], В самом деле, нз переместнтельного свойства скалярного произведения вытекает, что а[Ьс] = [Ьс]а, н достаточно доказать, что [аЬ]с = [Ьс]а. С точностью до знака, последнее равенство очевидно, нбо как правая, так н левая его части с точностью до знака равны объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь н с. Но н знаки ириной и левой частей последнего равенства совладают, нбо обе тройки аЬс н Ьса относятся к группе троек (2.36) н имеют одинаковую ориентацню (см. п.

1). Доказанное равенство [аЬ]с = а[Ьс] позволяет записывать смешанное произведение трех векторов а, Ь и с просто в виде аЬс не указывая лри этом, какие именно два вектора (первые два или лоследние два) леремножаются векторно. Следствие 2. Необходимым и достаточным условием комлланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. В самом деле, компланарность векторов в силу теоремы 2.16 влечет равенство нулю нх смешанного произведения. Обратное вытекает нз того, что для некомпланарных векторов смешанное произведение (в силу той же теоремы) равно отлнчному от нуля объему параллелепипеда. Следствие 8. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совладают, равно нулю. В самом деле, такие трн вектора заведомо компланарны.

6. Алгебраические свойства векторного произведения. Векторное произведение векторов обладает следующими четырьмя свойствами: 1' [аЬ] — [Ьа] (свойство антилерестановочности сомножнтелей); 2' [(аа)Ь] = и[аЬ] (сочетательное относительно числового множителя свойство); 3' [(а+ Ь)с] = [ас]+ [Ьс] (распределительное относительно суммы векторов свойство); 4' [аа] = О для любого вектора а. З в) впктогноп и смпшвиноп ппоизппдпиия впктогов вв Убедимся в справедливости этих свойств.

Для доказательства свойства 1' положим с = [аЬ], д = = [Ьа]. Если векторы а и Ь коллинеарны, то в силу теоремы 2.13 с= О =О, и свойство 1' доказано. Если же а и Ь не коллинеарны, то векторы с и д, во-нервых, имеют одинаковую длину (в силу формулы (2.38) для длины векторного произведения) и, во-вторых, коллинеарны (в силу того, что оба вектора с и д ортогональны к плоскости, определяемой векторами а и Ь). Но тогда либо с = д, либо с = — д. Если бы имела место первая возможность, то по определению векторного произведения обе тройки аЬс и Ьас оказались бы правыми, но это невозможно, ибо в силу п.

! эти тройки противоположной ориентации'). Итак, с = — д, и свойство 1' полностью доказано, Для доказательства свойства 2' положим с= [(аа)Ь], д = а [аЬ] и прежде всего исключим тривиальные случаи, когда вектор а коллинеарен Ь или когда а О. В этих случаях (в силу теоремы 2.13 и определения произведения вектора иа число) мы получим, что с = 6 = О, и свойство 2 доказано. Пусть теперь векторы а и Ь не «пллинеарны и а Ф О.

Докажем, что и в этом случае векторы с н д равны. Обозначим буквой <р угол между векторами а и Ь, а буквой ф угол между векторами аа и Ь. По определению длины векторного произведения и произведения вектора иа число можно утверждать, что [с[=[а[[а)[Ь[з!пф, [д[=[аЦа[[Ь]з!п1р. (2.42) Учтем теперь, что могут предста виться д в а с л у ч а я: 1) ф = ~р (когда а «О и векторы а и аа направлены в одну сторону; рис. 2.19); 2) ф п — ф (когда а(0 и векторы а и аа направлены в противоположные стороны; рис.

2.20). В обоих случаях э!пф = в з)п<р и в силу формул (2.42) [с[=[с)], т. е. векто- Р ры с и 6 имеют одинаковую г длину. а нн ив в а Далее, очевидно, чтовек- 1и>ф (в<6 торы с и а коллинеарны, Рнс. 2.19 Рнс. 2.20 ибо ортогональность к плоскости, определяемой векторами аа и Ь, означает ортогональность и к плоскости, определяемой векторами а и Ь. Для доказательства равенства векторов с и д остается проверить, что эти векторы имеют одинаковое направление. Пусть а ) 0 (а ( О); тогда векторы а и аа одинаково направлены (противоположно направлены), и, стало быть, векторы [аЬ] ") Одна нв венк троек вкоднт в группу (2.36), в другвв-в группу !2.37).

Ввкторнля АлГеБРА 1гл. 3 то н [(аа)Ь] также одинаково направлены (протнвоположно направлены), а это означает, что векторы д = и [аЬ] и с = = [(аа)Ь] всегда одинаково направлены. Свойство 2' дока. вано. Переходим к доказательству свойства 3'. Рассмотрим отдельно два случая: 1) случай, когда векторы а, Ь н с комиланарны; 2) случай, когда этн векторы не комнланарны. В первом случае векторы а, Ь н с, будучи приведены к общему началу, располагаются в одной плоскости, которую мы обозначим буквой зь Пусть е — единичный вектор, принадлежащий плоскости и н ортогональный к вектору с, а я — единичный вектор, ортогональный к плоскости н и такой, что тройка еся является правой. Согласно теореме 2.15 [ас] = пр, а ° [ с [и, [Ьс] = пр, Ь ° [ с ] я, [(а+ Ь) с] = =пр,(а+ Ь) ° [с! и.

Свойство 3' непосредственно вытекает из последних трех формул н из линейного свойства проекцин пр, а + пр, Ь = = пр,(а+ Ь) (п. 8$1). Пусть теперь векторы а, Ь и с не комнланарны. Так как трн вектора [(а+Ь)с], [ас] н [Ьс] ортогональны к вектору с, то этн три вектора компланарны, а стало быть (в силу теоремы 2.5), линейно зависимы, Но это означает, что найдутся такне чнсла Х, и н ч, хотя бы одно из которых не нуль, что справедлнво равенство Х [(а + Ь) с] = р [ас]+ ч [Ьс]. (2.

43) Остается доказать, что Х = р н Х = ч *). Докажем, например, что Х = 1ь. Для этого, пользуясь уже доказанным (в п. 3 $2) распределительным свойством 3' скалярного произведения, умножнм равенство (2.43) скалярно на вектор Ь н учтем, что смешанное произведение [Ьс]Ь равно нулю (в силу следствня 3 из теоремы 2.16). В результате получим Х [(а + Ь) с] Ь = р [ас] Ь. Поскольку векторы а, Ь н с не компланарны, смешанное пронзведенне [ас]Ь не равно нулю, н для доказательства равенства Х и достаточно доказать равенство смешанных произведений [(а+Ь)с]Ь н [ас]Ь.

Равенство абсолютных величин ука. ванных смешанных произведений вытекает нз того, что (в силу теоремы 2.16) этн абсолютные велнчкны равны объемам двух *) Твк как по условпю котя Вм одно из уяампаияя чисел отлично от нуля, го, доказав, что Х м т, мм можем поделить рввеиство (2.43) кк число л М ч, в результате чего получим свойство 3'. Ф з1 вяктоонов и смешаннов произведения впкторов у1 параллелепипедов с равновеликими основаниями ') (на рис. 2.21 этн равновеликие основания заштрихованы штрихами разных наклонов) и с оби(ей высотой й, опущенной из конца вектора с (рис. 2.21). Равенство знаков указанных смешанных произведений вытекает из определения правой (левой) тройки с помощью условия 3' (см.