1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (Ильин Позняк 1999 Аналитическая геометрияu), страница 13

2 $1), то указанное множество элементов называется линейным нросгрансгаом. Произвольное линейное пространство называетсн евк вдовым пространством, если: 1) азвестно правило, посредством которого любым двум элементам а н Ь этого пространства ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом аЬ; 2) указанное правило таково, что для скалязоного произведения справедливы только что сформулированные свойства 1' — 4, Таким образом, пространство всех геометрических векторов с определеннымн нами линейнымн операциями н скалярным произведением представляет собой один нз примеров линейного евклидова пространства.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [ГЛ 3 Для доказательства свойства 3' снова воспользуемся формулой (2.32) и линейным свойством проекции вектора на ось пр,(а+Ь) пр,а+ пр.Ь (см, п. 8 $1). Получим (а+ Ь) с = [ с ! ° пр, (а + Ь) ) с ! ° (пр, а + пр, Ь) =1с!пр,а+! с~ ° пр,Ь =ас+ Ьс. Нам остается доказать свойство 4'. Для этого заметим, что непосредственно из формулы (2.29) вытекает, что аа =1а1', т.

е. скалярный квадрат вектора равен квадрату длины зтого вектора. Отсюда, в частности, вытекает, что скалярный квадрат аа положителен, когда вектор а ненулевой, и равен нулю, когда вектор а нулевой. Доказанные свойства имеют фундаментальное значение. Они позволяют ири скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия иочлвнно, не заботясь пра атом о иорядке векторных множителей и сочетая числовые множители.

Указанная возмонсность будет существенно использована в следующем пункте. 4. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах. Теорема 2.12. Если два вектора а и Ь определены своими декартовыми ирямоугольными координатами а = (Хо Уо г,) Ь = (Хы Уы гь) то скалярное произведение втих векторов равно сумме иопарных произведений их соответствующих координат, т. в, аь-х,х, + у,у, + г,г,. (2.33) Доказательство. Составим из тройки базисных векторов 1, ) н к все возможные пары и для каждой из пар подсчитаем скалярное произведение. Учитывая, что базисные векторы являются попарно ортогональными и имеют единичную длину, получим Ц=1, 11=О, Ь(=О, Ц=О, И=1, к)=О, 1К=О, )К=О, Ьк=!. Далее, учитывая, что а = Х~1+ У1) + г,й, Ь = ХТ1+ Уь) + гьх, и опираясь иа установленную в предыдущем пункте возмож- ность почленного скалярного перемножения векторных много- членов, получим аЬ =Х,Х,11+ Х,У,Ц+ Х,г,1Ь+ У,Х 11+ У,У,))+ У,г,)Ь+ + г,х,ы+ г,у,ь1+ г,гььй. Из последнего равенства и соотношений (2.34) вытекает фор- мула (2.33), Теорема доказана.

Зз! ввктоьное и смнвлнног пэоизввдеиия ввктоьов бз Следствие 1. Необходимым и достаточным условием ортогональности гекторов а= (Хп УьЕД и Ь= (Хм Уг,Ед) является равенство Х,Х, + У,У, + Х,Х, = 0. Это следствие непосредственно вытекает из теоремы 2.10 и формулы (2.34). Следствие 2. Угол у между векторами а= (Хь УьЕ~) и Ь= (Хм УМЕД определяется по формуле соз ~р— х,х,+у,у,+х,х, л/хе+ ть~+ л~~ ° л~/х~ь+ тг~+ ее~ аь В самом деле, сов ф= —;~ —.

и нам остается воспользоваться формулой (2.33) для скалярного произведения и формулой (2.27) для длины вектора. ф 3. Векторное н смешанное произведения векторов 1. Правые н левые тройки векторов и системы координат. Определение 1. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым и какой— третьим, При записи тройки векторов мы всегда будем располагать эти векторы в порядке их следования. Так, запись Ьас означает, что первым элементом тройки является вектор Ь, вторым — вектор а и третьим — вектор с. Определение 2.

Тройка некомпланарньсх векторов аЬс называется правой (левой), если выполнено одно из следующих трех условий: !' если, будучи приведены к общему началу, эти векторы располагаются таК как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки; 2' если после приведения к общему началу вектор с располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами а и Ь, откуда кратчайший поворот от а к Ь кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке); 3' если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами а, Ь, с, мы видим поворот от а к Ь и от него к с совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке), ввкторнля ллгевпд (гл. з Легко проверить, что условия 1', 2' и 3' зквнвалентны между собой. Предоставляем читателю с йомощью каждого из условий 1', 2' н 3' убедиться в том, что тройка аЬс, изображенная на рис.

2.15, является правой, а тройка аЬс, изображенная на рис. 2.16, является левой. 3 а меч анне. Понятие правой и левой тройки теряет смысл для компланарных векторов. Если две тройки векторов либо обе являются правыми, либо обе являются левыми, то говорят, что зти тройки одной ориентации. В противном случае говорят, что рассматриваемые две тройки противоположной ориентации. Всего из трех векторов а, Ь и с можно составить следующие шесть троек: аЬс, Ьса, саЬ, (2.36) Ьас, асЬ, сЬа. (2.37) гг в Рис. 233 Рис.

2.16 2) вектор с ортогонален к каждому из векторое а и Ь; 3) вектор с направлен так, что тройка векторов аЬс является правой **). ') В соответствии с договоренностью, принятой в п. 2 $ 2, е качестве угла между векторами берем гог угол ф, который не превосходит и. Прн этом всегда э(пф ~ О н величина (233) неотрнпательна.

Из формулы (233) следует также, что е случае коллинеарныл векторов а и Ь олределяемый вектор с = (аЬ) является нулевым. '*) Требования 1) и 2) определяют вектор с с точностью до двух взаиыно противоположных направлений. Требование 3) отбирает одно из этих двух направлений. В случае, ногда а н Ь коллннеарны, тройка аЬс является компланарной, но в этом случае уже из требования 1) вытекает, что с О. С помощью условия 3' определения 2 легко проверить, что все три тройки (2.36) той же ориентации, что и тройка аЬс, а все три тройки (2,37) имеют ориентацию, противоположную аЬс.

Определение 3. Аффинная или декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку. Ради определенности договоримся в дальнейшем рассматривать только правые системы координат. 2. Определение векторного произведения двух векторов. Определение. Векторным произведен и ем вектора а на вектор Ь называется вектор с, обозначаемый символом с = = [аЬ) и удовлетворяющий следующим трем требованиям: !) длина вектора с равна произведению длин векторов а и Ь на синус угла ф между ними е), т.

е. ! с ! = ! [аЬ) ! = ! а ! ! Ь ! 3(и ~р; (2.38) $ г) ВектОРнОе и смешьнное пРОИЗВедения ВектоРОВ ее Понятие векторного произведения также родилось в механике. Если вектор Ь изображает приложенную в некоторой точке М силу, а вектор а идет из некоторой точки О в точку М, то вектор с = [аЬ) представляет собой момент силы Ь относительно точки О.

3. Геометрические свойства векторного произведения. Теорема 2.13. Необходимым и достаточным условием коллинеарносги двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. Доказательство, 1) Необходимость вытекает из самого определения векторного произведения: для коллинеариых векторов а и Ь векторное произведение по определению равно нулю (см. формулу (2.38) и сноску *) на с, 64). 2) Достаточность. Пусть векторное произведение [аЬ) равно нулю. Докажем, что векторы а и Ь коллинеарны. Прежде всего исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов а или Ь является нулевым (нулевой вектор имеет неопределенное направление, и его можно считать коллинеарным любому вектору).

Если же оба вектора а и Ь ненулевые, то ) а):» О и )Ь) > О, и поэтому из равенства [аЬ) = О и из формулы (2.38) вытекает, что з)п ф = О, т. е. векторы а и Ь коллинеарны. Теорема доказана. Теорема 2.14. Длина (или модуль) векторного произведения [аЬ) равняется площади 8 параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и Ь. Д о к а з а т е л ь с т в о, Так как площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними, то теорема непосредственно вытекает из формулы (2.38).

Чтобы получить следствие из теоремы 2.14, введем понятие орта. Определение. Ортом произвольного ненулевого вектора с назовем единичный вектор, коллинеарный с и имеющий одинаковое с с направление. Следствие из теоремы 2.14. Если е — орт векторноео произведения [аЬ), а Я вЂ” площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и Ь, то для векторного произведения «аЬ) справедлива следующая формула: [аЬ) Яе ').

(2.39) ь) Ясли аьктьрм а к Ь кьлликьарим (и, ь частности, если хотя бм один иь векторов а в Ь пулевой), формула (2.39) остается справьдлявой. ибь ь атом случае рьвкм иул5ь как ььктьркоь ирьиьвьдеавь «аь), так и иль[падь 8 построенного па векторах а и Ь параллелограмма. 5 Зак 565 ВектоРнАя АлГеБРА 1Гл. и Замечание. Из определений орта н векторного пронзведення вытекает, что тройка аЬе является правой (нбо тройка аЬ (аЬ1 является правой).