1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (Ильин Позняк 1999 Аналитическая геометрияu), страница 8

Так как порядок следования уравнений и неизвестных находится в нашем распоряжении, то, не ограничивая общности, мы можем считать, что отличен от нуля определитель (Д1.27). Но тогда, как установлено в предыдущем пункте, система первых двух уравнений (Д1.32) имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулами (Д1.31) (прн любом г).

Остается доказать, что х, у и г, определяемые формулами (Д1.31) (при любом г), обращают в тождество и третье уравнение (Д1,32). Подставляя в левую часть третьего уравнения (Д1.32) х, у и г, определяемые формулами (Д!.31), будем иметь а,х+ Ь,у+ с,г = (а,АА+ Ь,,В, + С,С,) г = Л !. Мы воспользовались тем, что в силу свойства 9 выражение в круглых скобках равно определителю б системы (Д!.32). Но определитель Л по условию равен нулю, и поэтому при любом ! мы полУчим агх+ЬАУ+сьг = О. Итак, доказано, что однородная система (Д1.32) с определителем Ь, равным нулю, имеет бесчисленное множество решений.

Если отличен от нуля минор (Д1.27), то этн решения определяются формулами (Д!.31) при произвольно взятом 1. Полученный результат можно сформулировать еще и так: однородная система (Д1.32) имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, когда определитель ее равен нулю. 9. Неоднородная система трех линейных уравнений с тремя нензвестнымн с определителем, равным нулю.

Теперь мы располагаем аппаратом для рассмотрения неоднородной системы (Д!.19) с определителем б, равным нулю. Могут представиться да а с луч а я: а) хотя бы один нз определителей б„б„или тА, отличен от нуля; б) все три определителя б„ст„и Ь, равны нулю. В случае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (Д1.23), т, е. система (Д1.23) не имеет решений, а поэтому не имеет решении" и исходная система (Д!.!9) (следствием которой является система (Д1,23)). Г!ереходим к рассмотрению случая б), т.

е. случая, когда все четыре определителя Ь, б„ Ьт и 7Т„ равны нулю. Начнем с примера, показывающего, что в этом случае система может не иметь ни одного решения. Рассмотрим систему х+у+г=1, 2х + 2у + 2г = 3, Зх+ Зу + Зг дополнении к глава | 39 Ясно, что эта система не имеет решений. В самом деле, если бы решение хо, уо, ао существовало, то из первых двух уравнений мы получили бы хо+ уо+ го = 1, 2хо+ 2уо+ 2го = 3, а отсюда, умножая первое равенство на 2, получили бы, что 2 = 3. Далее, очевидно, что все четыре определителя Ь, Ь,, Ь„и Ь, равны нулю. В самом деле, определитель Ь=2 2 2 имеет три одинаковых столбца, определители Ь„Ьз и Ь, получаются путем замены одного из этих столбцов свободными членами и, стало быть, имеют по два одинаковых столбца.

В силу свойства 3 все эти определители равны нулю. Докажем теперь, что если система (Д1.19) с определителем Ь, равным нулю, имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесчисленное множество различных решений. Предположим, что указанная система имеет решение хо, уо, хо. Тогда справедливы тождества а,хо+ Ь!Уо+ с,ао йо азха + Ьзуо + сохо = "э (Д1.34) азхо+ Ьзуо+ сзго — — Ь,. Вычитая почленно из уравнений (Д!.19) тождества (Д1.34), получим систему уравнений а, (х — х,) + Ь, (у — у,) + с, (а — го) = О, аз (х — хо) + Ьз (у — уо) + сз (г — ао) = О, (Д1.35) аз(х — хо)+Ьз(у — уо)+сз(а ао)=О эквивалентную системе (Д1.19). Но система (Д1.35) является однородной системой трех линейных уравнений относительно трех неизвестных (х — хо), (у — уо) и (г — го) с определителем Ь, равным нулю.

Согласно п. 8 последняя система (а стало быть, и система (Д1.19)) имеет бесчисленное множество решений. Например, в случае, когда отличен от нуля минор (Д1.27), мы с помощью формул (Д1.31) получим следующее бесконечное множество решений системы (Д1.19): х = хо+ Аз~, у = уо+ Вз(, и = хо+ Сз1 (1 принимает любые значения). Рассматриваемое утверждение доказано, и мы можем сделать следующее заключение: если Ь = Ь, = Ь„= Ь, = О, го неоднородная система (Д1.19) либо совсем не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество. 4О системы координат пвостаншна злдлчн шл.

~ В качестве примеров предлагаем читателю рассмотреть следующие трн системы: и убедиться в том, что первая система имеет единственное решение х = 1, у = 1, г = 1 (для нее Л = Л„= Л„= Ь,= ЗЗ), вторая система не имеет решений (для нее 6=0, Лд =!), а третья система имеет бесчисленное множество решений (для нее Л = Ь, = Ь~ — — Л, = О), определяемых при произвольном!формулами: х=1,у=1,г= х+2у+г=4, Зх — Бу+Зг=1, 2х+7у — г=8, х+у+г=2, Зх+ 2у+ 2г = 1, 4х + Зу -1- Зг = 4, х+у+г=1, 2х+у+г=2, Зх+ 2у+ 2г = 3, глдвл ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В этой главе изучаются векторные величины (или просто векторы), т.

е. такие величины, которые, кроме своего численного значения, характеризуются еще направленностью. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила. В главе изучаются простейшие операции над векторами (сложение векторов, умножение векторов на число), вводится понятие линейной зависимости векторов н рассматриваются основные приложения этого понятия, изучаются различные типы произведений векторов, актуальные для физических приложений (скалярное и векторное произведение двух векторов, смешанное и двойное векторное произведение трех векторов).

$ 1. Понятие вектора и линейные операции над векторами 1. Понятие вектора. Абстрагируясь от конкретных свойств, встречающихся в природе физических векторных величин, мы ирнходим к понятию геометрического вектора, нли просто вектора. Геометрическим вектором (или просто вектором) будем называть яолраелениый отрезок. Мы будем обозначать вектор либо как на. правленный отрезок символом АВ, где точки рас.

зд А и В обозначают соответственно начало и конец данного направленного отрезка (вектора), либо одной жирной латинской буквой, например а илк Ь. На чертеже будем изображать вектор стрелкой, причем латинскую букву, обозначающую этот вектор, будем писать у его конца (рис. 2.1). Начало вектора называют точкой его приложения.

Если точка А является началом вектора а, то мы будем говорить, что вектор а приложен в точке А. Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля (или абсолютной ве- ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА )ГЛ В личины). Так, )АВ~ и )а~ обозначают длины векторов АВ и а соответственно. Вектор называется н у л е в ы м, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направле- ния и имеет длину, равную нулю. Это позволяет при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом нуль. Введем важное понятие коллинеарности векторов.

Векторы назьгваются кол линеарными, если они лежат либо на од- ной прямой, либо на параллельных прямых, Теперь можно сформулировать понятие равенства двух векторов: два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и Одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равньиии. На рис. 2.2 изображены слева неравные, а справа равные векторы а и Ь. ь Из определения равенства векторов Рис. 2.2 непосредственно вытекает следующее утверждение: каковы бы ни были век- тор а и точка Р, существует, и притом единственный, вектор РО с началом в точке Р, равный вектору а е). Иными словами, точка приложения данного вектора а мо- жет быть выбрана произвольно (мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом).

В соответствии с зтим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения) е*). 2. Линейные операции над векторами. Линейньгми опера- циями принято называть операцию сложения векторов и опе- рацию умножения векторов на вещественные числа. Сначала определим операцию сложения двух векторов. Определение 1. Суммой а+Ь двух векторов а и Ь назы- вается вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора Ь при условии, что вектор Ь приложен к концу вектора а.

*) В самом деле, существует лишь одиа прямая, проходящая через точ- ку Р и параллельная той прямой, иа которой лежит вектор а. На указаииой прямой существует едииствеииая точка Сг такая, что отрезок РС) имеет длииу, равную длиие вектора а, и иаправлеи в ту же егорову, что и вектор а. ") В механике и физике, кроме свободлык векторов, пиогда рассматри- вают скользящие и связанные векторы.

Скользящими иазывают такие век- торы, которые считаются зквивалеитиыми, если оии ие только равиы, ио и лежат иа одной прямой. Примером скользящего вектора может служить сила. приложеииая к абсолютио твердому теду (известие, что две силы, равные и расположеииые иа одной прямой, оказывают иа абсолютио твердое тело оди- иаковое мехаиическое воздействие). Связанными иазываютси такие векторы.

которые считаются эквивалеитиыми, если оии ие только разин, ио и имеют общее качало. Примером связанного вектора может служить сила, приложеи- иая к некоторой точке иетвердого ~иапример, упругого) тела, линииныв опвидции ндд виктотями зн Правило сложения двух векторов, содержащееся в этом определении, обычно называют правилом треугольника. Это название объясняется тем, что в соответствии с указанным правилом слагаемые векторы а и Ь (в случае, если онн ие коллинеариы) н их сумма а+ Ь образуют треугольник (рис.

2.3). Правило сложения векторов обладает теми а же самыми четырьмя свойствами, что и правило сложения вещественных (или рациональных) чисел «): 1' а+ Ь=Ь+ а (переместительное свойство); 2' (а+ Ь)+ с = а + (Ь+ с) (сочетательное свойство); 3' существует нулевой вектор О такой, что а + О = а для любого вектора а (особая роль нулевого вектора); 4' длл каждого вектора а существует противоположный ему вектор а' такой, что а+ а' = О.

Убедимся в справедливости этих свойств. Свойство 3' непосредственно вытекает из определения 1. Для доказательства свойства 4' определим вектор а', противоположный вектору а, как вектор, коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину и про- „в э' тнвоположное направление *'). Очевидно. «в э что взятая согласно определению 1 сумма «Ъ вектора а с таким вектором а' дает нуле- в вой вектор.