1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (Ильин Позняк 1999 Аналитическая геометрияu), страница 46

е. и': и': в' = и: и: — (ихо + оуо). Итак, отношения и': о': и' однозначно определены, т. е. существует единственная прямая (и': и': в'), проходящая через (хо, уо) и не пересекающая прямой (и: ц: в). Тем самым доказательство непротиворечивости планнметрнн Евклида завершено. Замечание. Аналогично доказывается непротиворечивость стерео метр ни Евклид а. Для этого мы называем точкой любую упорядоченную тройку вещественных чисел (х,у, г), прямой — совокупность всех троек (х,у, г), элементы х, у, г которых связаны системой двух линейных уравнений, плоскостью — совокупность всех троек (х, у, г), элементы х, у, г которых удовлетворяют одному линейному уравнению.

211 НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО 221 й 3. Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского Для простоты ограничимся доказательством иеп ротнворечивости нланиметрин Л обачевского, т. е. построим конкретную реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих аксиомам 1, 1 — 3, 11 — 1Ч и аксиоме, отрица1ощей справедливость Ч.

Для построения указанной реализации мы будем опираться на уже установленную нами непротиворечивость планиметрии Евклида, т. е. сведем вопрос о непротиворечивости планиметрии Лобачевского к вопросу о непротиворечивости планиметрии Евклида. Излагаемая в этом параграфе модель принадлежит А. Пуанкаре '). Рассмотрим на евклидовой плоскости горизонтальную прямую х и опирающуюся на нее верхнюю полуплоскость. Все точки этой верхней полуплоскости мы назовем неевклидовыми точками, а все лежащие в Верхней полуплоскости полу- окружности с центром на прямой х и все вертикальные полу- прямые, исходящие из точек прямой х, назовем неевклидовыми прямыми (кстати, указанные полупрямые удобно рассматривать как полуокружности бесконечно большого радиуса).

Мы определим между неевклидовыми точками и неевклидовыми прямымн соотношения «принадлежит», «лежит между» и «конгруэнтен» и убедимся в справедливости в с е х а к с и о м абсолютной геометрии (т. е. аксиом 1,1 — 3, П вЂ” 1Ч). После этого мы покажем, что в построенной модели снраведлива аксиома параллельности Лобачевского (т. е. отрицание аксиомы У Евклида). Мы будем говорить, что неевклидова точка А принадлежит неевклидовой прямой а, если точка верхней полуплоскости А лежит на полуокружности а. Справедливость аксиом 1, 1 — 3 устанавливается тривиально. Так, аксиомы 1, 1 и 1,2 эквивалентны утверждению, что через две точки верхней полуплоскостн можно провести только одну окружность, имеющую центр на прямой х.

Аксиома 1,3 эквивалентна утверждению, что на любой полуокружиости имеются по крайней мере две точки и имеется хотя бы одна точка вне этой полуокружности. Перейдем к установлению соотношения «лежит между». Пусть А, В, С вЂ” три точки неевклидовой прямой, изображаемой полуокружностью а. Будем говорить, что точка В (в неевклидовом смысле) лежит между А и С, если В на полуокружности а лежит между А и С (в евклидовом смысле), При таком определении соотношения «лежит между» легко устанавливается справедливость аксиом П,1 — 3. Впрочем, по- ') Акрк Пуаккере — фраккузеккя математик (!654 — 1912). язз пгиложвнив.

п»оьламы основании гаомвтгин рядку следования точек на неевклидовой прямой, изображаемой полуокружностью а, можно придать и более наглядный вид. Выпуская из центра О полуокружности а всевозможные лучи, мы с помощью этих лучей можем взаимно однозначно спроектировать все точки полуокружностн а на все точки некоторой прямой у, параллельной х и лежащей выше полуокружности а. Тогда порядок следования точек неевклидовой прямой а соответствует порядку следования образов этих точек на прямой у. Попутно докажем, что все точки любой неевклидовой прямой а находятся ео взаимно однозначном соответствии с множеством всех вещественных чисел. Нам еще следует проверить аксиому П,4 Паша, но доказательство этой аксиомы является наглядно вполне очевидным, и мы его опустим. Теперь мы перейдем к определению соотношения «конгруэитен».

В надлежащем его определении и состоит остроумие модели Пуанкаре. Не вдаваясь в детали, остановимся на осяовиых идеях определения этого соотношения. Введем в рассмотрение специальное преобразование евклидовой плоскости, известное под названием инверсии. Пусть фиксирована произвольная окружность радиуса г с центром в точ. ке А. Инверсией относительно указанной окружности называется такое преобразование точек плоскости, при котором любая, отличная от А точка плоскости М переходит в точку М', лежащую на одном с точкой М луче, выходящем из А, и такую, что выполнено условие АМ' АМ = г'. Назовем неевклидов отрезок АВ конгрузнтным неевклидову отрезку А'В', если существует такая последовательность инверсий, что их произведение отображает евклидову круговую дугу АВ в круговую дугу А'В'.

Неевклидовым углом будем называть совокупность двух неевклидовых полупрямых, исходящих из одной точки. Назовем неевклидов угол г.' (й',й') конгрузнтным неевклидову углу .~ (й,й), если существует такая последовательность инверсий, что нх произведение отображает стороны первого угла на стороны второго. После принятых определений проверка аксиом конгруэнтности П1,1 — 5 превращается в техническую работу, которую мы можем опустить. Проверка аксиомы Архимеда 1Ч,1 также ие вызывает никаких трудностей и использует лишь свойства инверсий. Последняя аксиома абсолютной геометрии в аксиома полноты 1У,2 справедлива вследствие того, что (как это установлено выше) между всеми точками любой «неевклидовой прямой» и всеми вещественными числами можно установить взаимно однозначное соответствие (см.

вторую основную теорему из и. 5 $1). ЗАмэчания о пговламэх Аксиомэтики 22э Итак, для нашей модели справедливы все аксиомы абсолютной геометрии (1, 1-3, П вЂ” 1Ч). Как же обстоит дело с аксиомой параллельности Чр Возьмем любую «неевклидову прямую», изображаемую полуокружностью а, и любую точку А, ей не принадлежащую. Легко проверить, что через точку А проходит бесконечно мноэо различных полуокружностей, имеющих центры на прямой х и не имеющих общих точек с полуокружностью а. Это означает, что в рассматриваемой нами модели справеднива аксиома параллельности Лобачевского. Тем самым мы завершили доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского и одновременно показали, что аксиома параллельности Ч Евклида не является следствием аксиом 1,1 — 3, 11 — 1Ч абсолютной геометрии.

5 4. Заключительные замечания о проблемах аксиоматики При изучении любой системы аксиом естественно возникают следующие три проблемы: 1) проблема непротиворечивости системы аксиом; 2) проблема минимальности системы аксиом (выясняющая вопрос о том, не является ли каждая из рассматриваемых аксиом следствием остальных); 3) проблема полноты системы аксиом (принято систему аксиом называть полной, если между элементами двух любых ее реализаций можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее установленные между элементами соотношения).

В $2 и 3 мы установили непротиворечивость системы аксиом как геометрии Евклида, так и геометрии Лобачевского. Проблема минимальности системы аксиом геометрии является очень трудоемкой и требует обстоятельного исследования. Примером такого исследования является установленный нами факт, что аксиома параллельности 'Ч не является следствием остальных аксиом. Полнота системы аксиом геометрии устанавливается посредством введения для любой реализации координатной системы и последующего установления взаимно однозначного соответствия (с сохранением всех соотношений) между точками, прямыми и плоскостями данной реализации (в координатной записи) и декартовой реализации, изученной в 3 2.

15И«7 5-02-015234-Х ?85020 152562 > Учебное издание ИЛЬИН Владимгр Ллммлмуромм, НОЗНЯКЗЛР рд Г 9 АИАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Серия «Курс выыпей математики и математической физики» Редактор йт М Горя шя Коррекпэры И Я Крн«эмаль, Н Д Храпко ЛР № 020297 от 23.06.97. Подписано в печать с готовых диапозитивов 20.06.98. Формат 60х90'/и. Бумага типографская Печать офсетная. Усл.

печ, л. 14. Уч.-изд л. 14,76. Тираж 5000экь Заказ 168. С-025. Издательская фирма «Физико-математическая литература «РАН» !17071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15. При участии ООО «Хара«сох Лнпензия ЛВ № 32 от 27.08.97. 220013, Минск, ул. Л. Коласа, 35 — 305. Отпечатано с готовых диапозитивов заказчика в типографии издательства «Белорусский Дом печати». 220013, Минск, пр.Ф.

Скорины, 79. .