1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Из укаэанных выше утверждений вытекает следующая теорема. Теорема 1б. Произвольная точка О каждой прямой а разбивает все остальные точки втой прямой на два непустых класса так, что любые две точки прямой а, принадлежащие одному и тому же классу, лежат по одну сторону от О, а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от О.
Таким образом, задание иа любой прямой двух различных точек О и Е определяет иа этой прямой луч или полупрямую ОЕ, обладающую тем свойством, что любая ее точка и точка Е лежат по одну сторону от О. ') Впрочем, доказательство всех пряводнмых ивже утвержденна можно ваагн в кнше Н. В, В ф и м о в а «Высшая геометрнк» (цнт. на с. 206). '*) Под термином «прямая пересекает отрезок» мы подразумеваем. что указанная прямая содержит некоторую внутреннюю точку этого отрезка. аксиомы влемннтдгиои гяомктрии Выбрав на прямой а две различные точки О и Е, мы можем теперь определить порядок следования точек иа прямой по следующему правилу: 1) если А и  — любые точки луча ОЕ, то будем говорить, что А предшествует В, если А лежит между О и В; 2) будем говорить, что точка О предшествует любой точке луча ОЕ; 3) будем говорить, что любая точка, не принадлежащая лучу ОЕ, предшествует как точке О, так и любой точке, принадлежащей лучу ОЕ; 4) если А и  — любые точки, не принадлежащие лучу ОЕ, то мы будем говорить, что А предшествует В, если В лежит между А и О.
Легко проверить, что для выбранного порядка следования точек прямой а справедливо свойство транзитивнос ти: если А предшествует В, а В предшествует С, то А предшествует С. Аксиомы, приведенные выше, позволяют упорядочить и точки, принадлежащие произвольной плоскости сс. Предлагаем читателю доказать следующее утверждение ').
Теорема 1Б. Каждая прямая а, принадлежащая плоскости а, разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на два не- пустых класса так, что любые две точка А и В из разных классов определяют отрезок АВ, содержащий точку прямой а, а любые две точки А и А' из одного класса определяют отрезок АА', внутри которого не лежит ни одна точка прямой а.
В соответствии с утверждением этой теоремы мы будем говорить, что точки А и А' (одного класса) лежат в плоскости а по одну сторону от прямой а, а точки А и В (разных классов) лежат в плоскости и по разные стороны от прямой а. 3. Аксиомы коигрувнтиости. 1П,1. Если А и  — две точки на прямой а, А' — точка на той же прямой или на другой прямой а', то по данную от точки А' сторону прямой а' найдется, и притом только одна, точ«а В' такая„что отрезок А'В' конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА е ). 1П,2.
Если отрезки А'В' и А"В" конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой. П1,3. Пусть АВ и ВС вЂ” даа отрезка прямой и, не имеющие общих внутренних точек, А'В' и В'С' — два отрезка той же прямой или другой прямой а', также не имеющие общих внутрен- ») В случае затрудненнй см.
кингу Н. В. Е ф я м о в а еВысглая геометрня» (пнт. на с. 206). *') Из этой экономы вытекает возможность перемепгенкя отрезка АВ вдоль прямой, на которой он лежат (с сохранекнем его длины н направлення). Будем говорить, что накроелеякыв отрезок С0 колечек е резульгоге перемещения лолроеленяого отрезка АВ, еслн отрезок С0 конгруэаген отрезку АВ н если лабо отрезок А0 лежнт внугря отрезка ВС, либо огрезок ВС лежат внугрн отрезка А0.
ио пгиложеиие птоелемы основании геометгни них точек. Тогда, если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А'В', а отрезок ВС конгруэнтен отрезку В'С', то отрезок АС конгруэнтен отрезку А'С'. Сформулированные трн аксиомы относятся к конгруэитностн отрезков. Для формулировки двух следующих аксиом нам понадобится понятие угла и его внутренних точек. Пара полупрямых И и И, выходящих иэ одной и той же точки О н не лежащих иа одной прямой, называется углом и обозначается символом г.'(Ь,Ь) или л'.
(Ь, И). Если полупрямые И и Ь задаются двумя своими точками ОА и ОВ, то мы будем обозначать угол символом л'.АОВ или л'. ВОА. В силу теоремы 4 любые два луча И и Ь, составляющие угол г'. (И,И), определяют, и притом единственную, плоскость м. Внутренними точками г.'(Ь,Ь) будем иазъшать те точки плоскости а, которые, во-первых, лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч Ь, что н любая точка луча Ь, и, во-вторых, лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч Ь, что и любая точка луча И. Ш, 4. Пусть даны л'. (И, Ь) на плоскости а, прямая а' на этой же или на какой-либо другой плоскости а' и задана определенная сторона плоскости а' относительно прямой а'. Пусть И'— луч прямой а', исходящий из некоторой точки О'.
Тогда на плоскости а' существует один и только один луч Ь' такой, что с.' (И,Ь) конгруэнтен л'. (И',Ь'), и при этом все внутренние точки г',(И),И') лежат по заданную сторону от прямой а'. Каждый угол конгруэнтен самому себе. Н),5. Пусть А, В и С вЂ” три точки, не лежащие на одной прямой, А', В' и С' — другие три точки, также не лежащие на одной йрямой. Тогда, если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А'В', отрезок АС когруэнтен отрезку А'С' и л' ВАС конгруэнтен ЛВ'А'С', то л.АВС конгруэнтен г'.А'В'С' и ~АСВ конгруэнтен л.А'С'В'.
Договоримся теперь о сравнении неконгруэитных отрезков и углов. Будем говорить, что отрезок АВ больше отрезка А'В', если на прямой, определяемой точками А и В, найдется лежащая между этими точками точка С такая, что отрезок АС коигруэнтен отрезку А'В'. Будем говорить, что отрезок АВ меньше отрезка А'В', если отрезок А'В' больше отрезка АВ.
Символически тот факт, что отрезок АВ меньше отрезка А'В' (конгруэнтен отрезку А'В'), будем записывать так: АВ С А'В' (АВ А'В'). Будем говорить, что л.АОВ больше х.А'О'В', если в плоскости, определяемой л.АОВ, найдется луч ОС, все точки но- зп аксиомы элимантьэнон гвомвтэии торого являются внутренними точками х АОВ, такой, что л АОС конгруэнтен г.А'О'В'. Будем говорить, что х.АОВ меньше г.А'О'В', если г'.А'О'В' больше г.АОВ. С помощью аксиом принадлежности, порядка н конгруэнтности можно доказать целый ряд класснческнх теорем элементарной геометрии. Сюда относятся: 1) трн широко известные теоремы о конгруэнтностн (равенстве) двух треугольников; 2) теорема о конгруэнтностн вертикальных углов; 3) теорема о конгруэнтности всех прямых углов; 4) теорема о единственности перпендикуляра, опущенного нз точки на прямую; 5) теорема о единственности перпендикуляра, восстановленного нз данной точки прямой; 6) теорема о внешнем угле треугольника; 7) теорема о сравнении перпендикуляра н наклонной.
Предлагаем читателю самому последовательно доказать только что перечисленные теоремы. 4. Аксиомы непрерывности. С помощью аксиом прннадлежности, порядка н конгруэнтностн мы пронзвелн сравнение отрезков, позволяющее заключить, каким нз трех знаков (, = нли ~ связаны данные два отрезка. Указанных аксиом, однако, недостаточно: 1) для обоснования возможности измерения отрезков, позволяющего поставить в соответствие каждому отрезку определенное вещественное чнсло; 2) для обоснования того, что указанное соответствие является взаимно однозначным. Для проведения такого обоснования следует присоединить к аксиомам 1, 11, 111 две аксиомы непрерывности. 1Ч,1 (аксиома Архимеда). Пусть АВ и СЭ вЂ” произвольныв отрезки.
Тогда на прямой„определяемой точками А и В, существует конечное число точек Аь А», ..., А„располоясенных так, что точка А~ лежит между А и Ам точка Аэ лежит между А~ и Ам ..., точка А, ~ лежит между А э и А„, причем отрезки ААь А~А», ..., А, ~А„конгруэнтны отрезку С0 и точка В лежит между А и А,. !У,2 (аксиома линейной полнота!). Совокупность всех точек произвольной прямой а нельзя пополнить новыми объектами (точками) так, чтобы: 1) на пополненной прямой были определены соотношения «лежит между» и «конгруэнтен», определен порядок следования точек и справедливы аксиомы конгруэнтности 111, ! — 3 и аксиома Архимеда 1Ч, 1; 2) по отношению к прежним точкам прямой определенные на пополненной прямой соотношения «лежит между» и «конгруэнтен» сохраняли старый смысл.
Мы сейчас докажем, что прнсоеднненне к аксиомам 1,1 — 3, 11 н П!, 1 — 3 аксиомы Архнмеда 1Ч, 1 позволяет поставить в соответствие каждой точке пронзвольной прямой а определенное вещественное число х, называемое координатой этой точки, а прнсоеднненне еще н аксиомы линейной полноты 1Ч,2 позво- 2!2 ПРИЛОЖЕНИЕ, ПРОБЛЕМЫ ОСНОБАНИИ ГЕОМЕТРИИ ляет утверждать, что координаты всех точек прямой а исчерпывают множество всех вещественных чисел. б. Обоснование метода координат. Прервем на время изложение аксиом геометрии, чтобы на основании уже изложенных аксиом дать обоснование метода координат на прямой.
Сначала докажем следующее утверждение. Первая основная теорема. Аксиомы 1,1 — 3, 11, П1,1 — 3 и аксиома 1Ч,1 Архимеда позволяет ввести на любой прямой а координаты так, что выполнены следующие требования: 1'. Каждой точке М прямой а соответствует определенное вещественное число х, называемое ее координатой. 2'. Разным точкам соответствуют разные координаты, причем точка Мь лежит между М~ и Мь тогда и только тогда, когда либо х~ (хз( хз, либо х~ > ха > хь (здесь хн хь и хз — координаты точек Мн Мз и Мз соответственно).
3'. Отрезки М1МА и М(МБ конгрузнтны тогда и только тогда, когда хз — к~ = хь — х( (здесь х„хм х1 и хт — координаты точек Мь Мз, М| и Мз соответственно). 4'. Если вещественные числа х1 и хз представляют собой координаты некоторых точек, то и вещественное число х~ -ь. хз представляет собой координату некоторой точки. Доказательство.
Выберем на прямой а произвольную точку О в качестве начала координат и произвольную отличную от О точку Е в качестве точки с координатой единица. Пусть М вЂ” произвольная точка прямой а. Ради определенности предположим, что М лежит с той же стороны от О, что и Е (аксиомы 1,1 — 3, П и П1,1 — 3 обеспечивают возможность установления порядка следования точек на прямой а). Каковы бы ни были целое положительное число и и целое неотрицательное число гп, мы можем, откладывая отрезок ОМ в одном и том же направлении последовательно и раз, построить отрезок п.ОМ и аналогично построить отрезок т ОЕ (возможность откладывать коигрузнтный отрезок в любом направлении и брать сумму конгрузнтных отрезков, не имеющих общих внутренних точек, вытекает из аксиом 1, 1 — 3, П и 1П, 1 — 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
