1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 39
Текст из файла (страница 39)
центр поверхности является ее центром симметрии. Наличие центра у поверхности второго порядка связано с разрешимостью уравнений центра (7.7). Если уравнения центра имеют единственное решение, то поверхность 5 второго порядка будем называть централ он ой о). Отметим, что центральными поверхностями являются лишь те, для которых инвариант 1з отличен от нуля, ибо этот инвариант равен определителю системы (7.7) уравйеиий центра. 4. Стандартное упрощение любого уравнения поверхности второго порядка путем поворота осей. Докажем, что в некоторой декартовой прямоугольной системе координат уравнение данной ') тонни образом, центральная нооерхность нмеег еаннстненнма центр.
повпрхности второго порядка !гл. т 188 поверхности Я второго порядка не содержит слагаемых 2а'„х'у'„ 2а,' у'г' и 2а'„х'г', т. е. в уравнении поверхности 5 коэффициенты а',, а', и а'„равны нулю. Обозначим через Р группу старших членов уравнения (7.1) Р = аих'+ а„у'+ ашгт+ 2амху+ 2ашуг+ 2амхг (7.8) и рассмотрим значения Р в точках сферы и радиуса 1 с центром в начале координат. Иными словами, рассмотрим значения Р(х,у,г) для всех тех значений х, у и г, которые связаны соотношением ') х'+ у'+ ад= 1.
(7.9) Пусть Р— та точка сферы и, э которой значение Р(х,у, г) является максимальным'*). Направим новую ось Ог' из начала координат в точку Р, а оси Ох' и Оу' перпендикулярно оси Ог'. Очевидно, в системе координат Ох'у'г' точка Р имеет координаты 0,0,1). ~ ° ° ак как в новой системе координат Ох'у'г' выражение для Р имеет вид"') Р = анх + а,'„у" + а,' г" + 2а'„х'у'+ 2а,' у'г'+ 2а,',х'г', (7.10) а сфера и определяется уравнением х + у' + г' 1, (7.1 1) то значения Р в точках и могут быть получены с помощью (7.10) для всех тех значений (х', у', г'), которые связаны соотношением (7.11).
В частности, максимальное значение Р будет в точке (О, О, 1). Убедимся, что в выражении (7.!0) группы старших членов в системе Ох'у'г' коэффициенты а'„и а'„равны нулю. Докажем, например, что а'„0 (доказательство равенства а'„=0 проводится аналогично). Для этой цели рассмотрим значения Р в точках окружности Е, являющейся линией пересечения сферы (7.11) с плоскостью у' = О, т.
е. с плоскостью Ох'г'. Пусть 0— угол, который образует радиус-вектор точки М на окружности Ь с осью Ог'. Координаты х', у', г' точки М, очевидно, равны х' з(п О, у' О, г'= сов 0. (7.!2) ') Соотиошевие (7.9) предстззляет собой урзвиеияе сферы рздиусз ! с центром в изчзле коордвизт.
*ь) Сфера и является ззмквутым огрзвичеияым множеством и служит областью зздзяяя яепрерыввоэ фуивцяя Р трек перемевяыв к, р и и Отсюдз шшдуе~ существовзяяе яз сфере и техов точвя Р, в вотороа Р имеет мзксимаяьлое значение (см. выпуск ! курсе, главу И, теорему 14.7). *") Нвпоиявм, что пря повороте козффяциеиты группы стяршия членов выражаются ляшь через величавы лць фягурирувшше в соотяошеяяях (7.5), я через иозффицяеяты группы стзршвк члеиов в эыряжеиии (7.8) (см.
п. 1 этого перзгрзфз) . зя КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕН ВТОРОГО ПОРЯДКА 139 Подставляя эти значения х', у' и х' в (7.10), получим следующее выражение для Р в точках А: Р а,', з1п'О+ а,', соз'О+ 2а'„з(п 0 сов 0 = г / / Г = — + — соз 20+ а'„з)п 20. (7.! 3) си+ам ьм-аи Таким образом, значения Р в точках 7, могут быть представлены в виде функции (7.13) угла О. Эта функция имеет при 0 = 0 максимальное значение (из формул (7.12) следует, что значению 0 0 отвечает точка с координатамн (О, О, 1), в которой значение Р максимально). Отсюда вытекает, что производная функции (7.13) равна нулю в точке 0 О. Дифференцируя (7.13) по 0 н полагая в полученном выражении 0 О, получим равенство 2а,', = О, из которого вытекает равенство нулю коэффициента а'„. Для доказательства равенства а'„0 нужно рассмотреть значения Р на окружности У, являющейся линией пересечения сферы (7.11) с плоскостью х'=О, и повторить проведенные выше рассуждения.
Итак, в системе координат Ох'у'г' группа Р старших членов уравнения поверхности 3 второго порядка имеет вид Р = а'их~+ 2а'„х'у'+ а' у~+ ~~ з", (7,14) причем на выбор осей Ох' и Оу' не накладывалось никаких требований, кроме требований перпендикулярности осн Ох'. Иными словами, прн повороте системы Ох'у'х' вокруг оси Оь~ иа любой угол группа Р старших членов будет иметь вид (7.14).
При этом координаты х' и у' преобразуются по формулам поворота системы координат на плоскости, а координата х' не меняется. Поэтому можно выбрать такую систему координат, в которой коэффициент а'„ при произведении х'у' будет равен нулю. Итак, мы убедились в том, что существует такая система прямоугольных декартовых координат Ох'у'з', в которой уравнение поверхности 5 имеет вид анх' + а,' у'ь+ а'ьхм+ 2а', х'+ 2а' у'+ 2а',х'+ а' = О. (7.1б) Приведение уравнения (7.1) поверхности 5 к виду (7.15) мы будем называть стандартным упрощением уравнения поверхности. 5 2.
Классификация поверхностей второго порядка 1. Классификации центральных поверхностей. Пусть 5— центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стан- ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. т 190 дартное упрощение уравнения этой поверхности. Используя выводы пп. 1, 3 н 4 8 1 этой главы, легко убедиться, что в результате указанных операций уравнение поверхности примет виде) а„хг + а„уг + аю»г + а« = О. (7. 16) Так как инвариант /з для центральной поверхности отличен от нуля и его значение, вычисленное для уравнения (7.16), равно ап агг ам, то коэффициенты а«, агг н агз удовлетворяют условию аи чь О, аь, чь О, аю ~ О.
(7.17) Возможны следующие случаи. 1'. Коэффициенты ап, аж, азз одного знака, а коэффициент а«отличен от нуля. В этом случае поверхность 8 называется вллипсоидом. Если коэффициенты ап, ань ам, а« одного знака, то левая часть (7,16) ни при каких значениях х, у, » не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности О не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность Я называется мнимым эллипсоидом. Если знак коэффициентов ап, аьь азз противоположен знаку коэффициента а«, то поверхность 8 называется вегцественносм вллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» будем называть лишь вегцесгвенньсй вллипсоид.
Обычно уравнение эллипсоида записывают в'канонической форме. Очевидно, числа — а«/ап, — а«/ать — а«/азз положительны е*). Обозначим эти числа соответственно а', Ьг, сг. После несложных преобразований уравнение эллипсоида (7.16) можно записать в следующей форме: (7.18) Уравнение (7.18) называется каноническим уравнением эллипсоида Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (7.18), то оси Ох, Оу и 0» называются его главными осями.
2'. Иэ четырех коэффициентов ап, агг, азз, а«два одного знака, а два других — противополозсного. В этом случае поверхность 8 называется однополосгным гиперболоидом. Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, ап » О, агг ) О, азг ( О, а«( О. Тогда числа — а«/ап, — а«/аю, а«/азз положительны. Обозначим эти числа соответственно аг, ') Прн зтоы окончательную скстеыу координат ыы обо»качни Охук ее) Согласно (7.17) н онределенню зллннсондз козффккненты ои, лы, лы, аы не разны кулю к знак езз кротнзоноложек газку аы, азз, озн 3 и КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕН ВТОРОГО ПОРЯДКА 191 Ь', сз. После несложных преобразований уравнение (7.16) одно- полостного гиперболоида можно записать в следующей форме: кз уз кз — + — — — = 1.
(7.19) Уравнение (7.19) называется каноническим уравнением одно- полостного гиперболоида. Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (7.19), то оси Ох, Оу и Ог называются его главными осями. Замечание 1. Если знаки коэффициентов ап, азз, азз, а« распределены иначе, чем в рассмотренном случае, то каноническое уравнение (7.19) легко может. быть получено путем переименования осей координат.
3'. Знак одного из первых трех коэффициентов ап, ааь азз. а«противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность 8 называется двуполосгным гиперболоидом. Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть ради определенности ап (О, азз(0, азз > О, а«(0. Тогда а«/ап > О, а«/азз > О, — а«/а,з > О. Обозначим этн числа соответственно через аз, Ьз, сз. После несложных преобразований уравнение (7.16) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме: кз уз кз ат+ ьз сз (7.20) Уравнение (7.20) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением, то оси Ох, Оу и Ог называются его главными осями. Замечание 2. Если знаки коэффициентов ап. агв азз, азз распределены иначе, чем в рассмотренном случае, то каноническое уравнение (7.20) легко может быть получено путем переименования осей координат. 4'. Коэффициент а«равен нулю. В этом случае поверхность 5 называется конусом второго порядка. Если коэффициенты а|ь аяь азз одного знака, то левая часть (7.16) обращается в нуль (азз 0) лишь для х=у г О, т. е. уравнению поверхности 3 удовлетворяют координаты только одной точки.
В этом случае поверхность 8 называется мнимым конУсом втоРого поРЯдка. Если коэффициенты агь агь ам имеют Разные знаки, то повеРхность 8 ЯвлЯетсЯ веЩественным конусом второго порядка. Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть ради определенности ап >О, азз > О, азз (О. Обозначим 1/ап, 1/ааь — 1/азз со- ПОВГРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ответственно через а', Ьз, сз. Тогда уравнение (7.16) можно записать в виде лз уз зз лэ+ Зз (7.2!) Уравнение (7.21) называется каноническим уравнением вещественного конуса второго порядка.
Замечание 3. Если знаки коэффициентов ап, азз, азз распределены иначе, чем в рассмотренном случае, то каноническое уравнение (7.21) легко может быть получено путем переименования осей координат. Замечание 4. В следующем параграфе мы .докажем, что вещественный конус второго порядка образован прямыми линиями, проходящими через фиксированную точку. 2. Классификация иецеитральных поверхностей второго порядка. Пусть 5 — непентральная поверхность второго порядка, т. е.
поверхность, для которой инвариант )з равен нулю (см. п. 3 2 ! этой главы). Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид (7.!5). Так как инвариант (э =О и его значение, вычисленное для уравнения (7.15), равно а'„° а,', ° а'„то один или два нз коэффициентов а'„, а', а,', равны нулю в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
