1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 41
Текст из файла (страница 41)
7.4 Этот эллипс называется горловым. С увеличением Ь размеры эллипса (7.39) неограниченно увелнчнваются. Таким образом, однополостиый гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую нз одной полости и подобную трубке, неограниченно расширяющейся в положительном н отрицательном направленнн по осн Оя (рнс. 7.4). Отметим, что сечення однополостного гнперболоида плоскости Оуе н Окя представляют собой гиперболы, определяемые соответственно уравненнямн рэ нэ к* а' -г — — =1 н -г — =1.
Ь сэ о Этн гиперболы изображены на рнс. 7.4. 2'. Двуполостный гиперболоид. Из канонического уравнения (7.20) кэ рэ 2 — + -à — — — — — 1 (7.20) еэ Ь с *) Расаоложенная под плоскостью Окр часть одноноаоепюго гннербо. лонда снима«рачка рассматрнэаемоа частн относнтелыо этой ялосностн. 1гл. г поев хностн второго порядки двуполостного гиперболоида вытекает, что «оординагные плоскости являются его плоскостями симметрии, а начало координат в его центром симметрии.
Линни 7,ь пересечения двуполостного гиперболоида плоскостямн а= Ь представляют собой эллипсы, уравнения проекций которых на плоскость Оху имеют внд из и1 — + — =1 ь 2 Ю ° (7.40) где а' а ~/ — — 1, Ь =Ь вЂ” г — 1. (7.41) lл л* С* Из формул (7.41) вытекает, что секущая плоскость г= Ь начинает пересекать двуполостяый гиперболоид лишь прн 1Ь)=и ) си). Иными словами, в слое между йлоскостямн и= — с и а=с не содержится точек рассматриваемой поверхности; в силу симметрии относительно плоскости Оху она состоит из двух полостей, расположенных вне указанного выше слоя. На рнс.
7.5 изображена «карта» верхней полости двуполостного гиперболоида. Из формул (7.41) следует, что прн увеличения Ь эллипсы (7.40) неограниченно увеличиваются, так что полости двуполостного гиперболоида Рис. 7.6 Рис. 7.5 представляют собой бесконечяые чаши. На рнс. 7.6 изображен двуполостный гиперболоид.
Отметим, что сечения двуполостно- го гиперболоида плоскостямн Оуг н Охг представляют собой гиперболы (см. рнс. 7.6). «) При )Л~ К с иедиереииее имрижеиие и формулах (7.41) отрицательно. 4 з1 исслвдовлнив воэмы поваэхностви втоэого поьядка 1ее 8. Параболонды, 1'. Эллиптический лараболоид. Обращаясь к каноническому уравнению (7.28) эллиптического параболоида хг г =ег+ ЬГ~ мы видим, что для него Охг и Оуг являются илоскостями симметрии.
Ось Ог, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического лараболоида. Из уравнения (7.28) вытекает, что эллиптический параболоид расположен в полупространстве г) О. Линии Еь пересечения эллиптического параболоида плоскостями г = Ь, Ь з. О, представляют собой эллипсы, проекции Ьь которых на плоскости Оху определяются уравнением — + — =1 хх ух (7.42) .з ьт * / где а' = а 1/Ь, Ь' = Ь 1/Ь, (7.43) Из формулы (7.43) следует, что прн увеличении Ь эллипсы (7.42) неограниченно увеличиваются, так что эллиптический параболоид представляет собой бесконечную чашу. На рис.
7.7 изображен эллиптический Рис. 7.7 параболоид. Обратимся к сечениям эллиптического параболоида плоскостями у = Ь и х = Ь, параллельными соответственно координатным плоскостям Охг и Оуг. Плоскость х = Ь, например, пересекает эллиптический параболонд по параболе аг „х г — — =-з- х=Ь. аг ь (7.44) Очевидно, парабола (7.44) получается таким параллельным переносом параболы г= уз/Ьч, х=О, (7.45) представляющей собой сечение эллиптического параболоида плоскостью х= О, при котором ее вершина, имеющая координаты (О, О, О), переходят в точку с координатами (х= Ь, у = О, г = Ь'/а~).
Иными словами„эллиптический иараболоид образуется путем параллельного перемещения параболы (7.45), когда ве вершина движется вдоль параболы г = ха/аз, у= О, иредставляющей собой сечение эллиптического иараболоида илоскостью у = О. повктхности ВТОРОГО потянка ~гл. т Совершенно аналогично можно убедиться в том, что эллиптический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение параболонда плоскостью у = 0 вдоль сечения плоскостью х = О.
2'. Гилерболический лараболоид. Из канонического уравнения (7.29) «~ у« г= — —— сл ь» (7.29) гиперболического параболоида вытекает, что плоскости Охг и Оуг являются ллоскостями симметрии. Ось Ог называется осью гиперболического аараболоида. Ряс. 7.9 Рис. 7,8 'Линии г = Ь пересечения гиперболического параболоида с плоскостями г= Ь представляют собой прн Ь » 0 гиперболы хг ⫠— — — =1 (7.46) с'« ь*« с полуосями а'=а~/Ь, Ь'=Ь |%, (7.47) а пря Ь ( 0 †сопряженн гиперболы для гипербол (7.46) хз яз — — — = — 1 (7.48) с'~ ь'~ с полуосями ь у=~ — х, а (7.50) Из формул (7.47) и (7.49) вытекает, что прямые (7.50) являются асимптотами гипербол (7,46) и (7.48).
а = а ~ — Ь, й' = Ь ~/ — Ь. (7.49) Используя формулы (7.46) — (7.49), легко построить «карту» гиперболического параболоида (рис. 7.8). Отметим еще, что плоскость г = 0 пересекает гиперболический параболоид по двум прямым в н исслядоваиив воэмы поввгхностви втотого погядка гэ1 Карта гиперболического параболоида дает представление о его пространственной форме (рис. 7.9). Как и в случае эллиптического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охг (Оуг), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболоида плоскостью Оуг (Охг). 4.
Конус и цилиндры второго порядка. 1'. Конус второго порядка. В предыдущем параграфе мы назвали вещественным конусом второго порядка поверхность 5, определяемую уравнением (7.21): хо го оо — + — — -=о. оо Ьо е Убедимся, что вещественный конус 8 образован прямыми линиями, проходящими через начало О координат. Естественно называть точку О вершиной конуса. Для доказательства сформулированного утверждения, очевидно, достаточно установить, что прямая 7., соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку Мо(хо, уо, го) конуса (7.2Ц н начало координат О (рис. 7ЛО), цели- уоо хм ком располагается на конусе, т.
е. координаты (х,у,г) любой точки М прямой Ь удовлетворяют уравнению (7.21). Так как точка Мо(хо уо. го) лежит на у конусе (7.21), то —, + Ь, — — „— й. (7.б1) Координаты (х,у, г) любой точки М прямой 7. равны соответственно Гхо, 1уо. ого. Рво. тйо где г — некоторое число. Подставляя эти значения для х, у и г в левую часть (7.2!), вынося Го за скобки и учитывая (7.51), мы убедимся в том, что М лежит на конусе. Таким образом, утверждение доказано. Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко убедиться, что сечения конуса плоскостями г= Ь представляют ° а ° Ь собой эллипсы с полуосями а — Ь, Ь = — Ь. с ' о 2'.
Иилиндры второго порядка. В процессе классификации поверхностей второго порядка нам встретились эллиптический, гиперболический н параболический цилиндры. Уравнения этих повннхностн второго порядка 1гл. т поверхностей соответственно имеют вид хе уе хе уз ат + Ь' ' ат ЬЬ Рнс. 7.11 дает представление о форме этих цилиндров. т зллаанаавва" наган(а Гимрйлаггангй НкнлФ Ркс. 7.11 Луа гламггнй аагнгф Заметим, что цилиндры (7.52) состоят нз прямых линий, параллельных оси Ог. 5. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Кроме конуса и цилиндров, поверхностями второго порядка, состоящими из прямолинейных образующих, являются однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.
Более точно, справедливо следующее утверждение. Через казсдую точку однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида проходят две различные прямые линии, целиком располагающиеся на указанных поверхностях. Таким образом, однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид покрыты двумя различньгми семействами прямолинейных образующих. На рис. 7,12 и 7.13 показано расположение прямолинейных образующих соответственно на однополостиом гиперболоиде и гиперболическом цараболоиде. Рассмотрим сначала однополостный гиперболоид, заданный своим каноническим уравнением хз уе ай ах+ Ьт се (7.19) — — =Д(1 — ь ) Ь ( — + — )=1+ УЬ, (7.ба) ° ) Ураененне параболвческого цилиндра у'* йрх легко получаетса на ураакенкн (7.33) путем перенменоааквн осей коорданат в простых арнфмегкческнх операцвй.
Очевидно, любая прямая Га, определяемая как линия пересе- чения плоскостей з Н исслвдованив еогмы повагхносткн втогого погадка зоэ прн любом отличном от нуля эначеннн А целиком располагается на гнперболонде (7.19), нбо уравнение (7.19) представляет собой алгебраическое следсгвне уравнений (7.53) (уравнение (7.19) получается нэ уравнений (7.53) путем нх перемножения). Прямая Г : 1 — — =О, — + — = 0 соответствует уравнениям у н н а е Рнс. 7.12 Рнс. 7.13 (7.53) прн й = аа. Точно так же легко убедиться, что любая прямая Гм определяемая как линия пересечения плоскостей н н г1+у) (н+ н) у куда включается прямая Г': 1+ — =О, — + —,=О, соответствующая Х= аа, при любом значении Х располагается на гиперболоиде (7.19).
Нетрудно заметить, что прямые Гь н Гь различны. Таким образом, на однополостном гнперболонде имеются два различных семейства прямых Гь н Гы Для завершения доказательства утверждения достаточно убедиться, что через любую точку гнперболоида проходит некоторая прямая семейства Гь н некоторая прямая семейства Гы Мы ограничимся доказательством этого лншь для семейства Гм нбо для семейства Гь доказательство аналогично. Пусть точка Мс(хс,ус, хс) находится на гиперболоиде (7.20), так что Ф .и и "с ус *о аг+ зт ес (7,54) поввахности втогого погядка ЗО4 [гл, т Если точка Мо лежит на прямой Г нлн Го, то утверждение очевидно.
В нротнвном случае выберем такое значение Х, чтобы чнсла хо, уо, го удовлетворяли первому нз уравнений (7.53), н обозначнм его через Хо. Такнм образом, хо хо й (1 Уо) (7.55) Убедимся, что при выбранном значения Х = Хо числа хо, уо, хо удовлетворяют н второму нз уравнений (7.53), что означает. что точка Мо(хо,уо,хо), прннадлежащая гиперболоиду, принадлежит также н прямой (7.53).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
