1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В обоях указанных случаях найдем, что уравненне любой центральной лннии 1. в системе координат О'х"у" имеет внд (6.81) Дальнейшая класснфнкацня лнннй основывается на анализе уравнення (6.81). Прн этом нспользуется связь коэффициентов а",, н а", с инварнантамн 1~ н 1ь Рассмотрнм отдельно лнннн эллнптнческого тнпа н лнннн гнперболнческого тнпа. 1'. Линии эллиптического тина (1р) 0).
Обратнмся к исходному уравненню (6.60) лнннн Е эллнптнческого типа. Так как 1,=а„аи — а', ) О, то аца > О, т. е. коэффнцненты ац н ам оба отлнчны от нуля н нмеют одннаковый знак, совпадающий со знаком 1ь поскольку 1~ ам+ам Без ущерба для общностн можно счнтать оба этн коэффнцнента положительными (этого всегда можно добнться нормнровкой нсходного уравнения (6.60), т. е. умножением его на — 1 (прн такой нормнровке знак ннварнанта 1~ станет положительным, знак ннварнанта 1э не меняется). Справедлнво следующее утверждение. Теорема б.б.
Пусть уравнение (6.60) линии 1. эллинтического тина (1т) 0) нормировано так, что 1~ ) О. Тогда нри 1ь (О это уравнение представляет собой эллипс. При 1ь — — 0 уравнению (6.60) удовлетворяют координаты лишь одной точки. При 1ь ) 0 уравнению (6.60) не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Прн 1ь =0 уравненне (6.60) называется уравнением выроекденного эллипса. При 1ь ) 0 (6.60) называется уравнением мнимого вллинса. Доказательство. Так как для уравнення (681) 1, =ап+а,".„а 1,=а,",а,"„тонз условия А ) 0 н 1т ) 0 вытекает положнтельйость а",, н а",.
Поэтому уравненне (6.81) 1 2 Зак. 1б8 1гл, в ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 178 линии /, может быть записано следующим образом: (6.82) при /,(О (6.83) =О, прн /А=О = — 1. (6.84) при /з) 0 Очевидно, уравнение (6.82), отвечающее случаю /з (О, пред- ставляет собой каноническое уравнение эллипса с полуосями : и А / — „', Уравнению (6.83), отвечающему случаю /яан 7 /яаы /з О, удовлетворяют координаты лишь одной точки х" = О, у" = О. Уравнению (6.84) не удовлетворяют координаты ника- кой точки плоскости, ибо левая часть этого уравнения не от- рицательна, а правая отрицательна. Для завершения доказа- тельства теоремы достаточно заметить, что каждое нз уравне- ний (6.82), (6.83), (6.84) эквивалентно исходному уравнению (6.60) соответственно для случаев /з (О, /я = О.
/э ) О, и по- этому сделанные выше геометрические выводы для уравнений 6.82), (6.83) н (6.84) справедливы и для уравнения (6.60). еорема доказана. Замечание 6. Остановимся подробнее на случае, когда уравнение (6.60) эллиптического типа определяет эллипс. При этом мы будем считать, что это уравнение нормировано так, что /1 ) О.
Координаты (хе, уз) центра этого эллипса представ- ляют собой решение системы (6.74). Так как новая ось О'х" является одной нз главных осей эллипса (это вытекает нз того, что в системе О'х"у" уравнение эллипса имеет канонический внд, и поэтому осн координат О'х" и О'у" совпадают с глав- нымн осямн эллипса (см. п. 1 $2 этой главы)), то угол наклона <р этой осн со старой осью Ох может быть найден по формуле (6.79). Наконец, нз уравнения (6.82) вытекает, что полуоси эл/:/, лнпса равны ~ — -+ и,~ — т)- . причем коэффициенты ТУ' /яай '1/ /Язм ан и а" выражаются через коэффициенты ан исходного урав- нения (6.60) (см. первую н третью формулы (6,67); прн этом нужно положить ан — — а1, и ам ам).
$ б! ЗАдАчн нА пРямтю н плоскость В пРОстРАнстВБ !те Итак. зная инварианты н формулы преобразования коорди. нат, можно вычислить полуоси зллнпса н выяснить его расположение относительно исходной системы координат Оху. 2'. Линии гиперболического типа (1б < 0), Справедливо следующее утверждение. Теорема 6.7, Уравнение (6.60) линии 1. гиперболического типа при 1б чь 0 представляет собой гиперболу, а при 1б = 0— пару пересекающихся прямых, Д о к а з а т ел ь ст в о. Так как для уравнения (6 81) 1, = =а",,а"„то из условна 1 <0 вытекает. что а,", н а, имеют разные знаки.
Для определенности будем считать ап ) О, аа < 0 (случай а,", < О, а„> 0 рассматривается аналогично). Тогда уравнение (6.8!) может быть записано следующим образом: при 1б<0 при 1б — — 0 при 1б> О Очевидно, уравнение (6.86), отвечающее случаю 1б < О, представляет собой каноническое уравнение гиперболы, для которой ось Оу является действительной осью, а ось Ох — мнимой Р~ - - ° б б ° --..-'б ~б -Рб соответственно равны,~ — ~- н б~ „.
Уравнение 1 бз 11 1 а, 11 б'б( — абб) (6.87), отвечающее случаю 1б) О. также представляет собой каноническое уравнение гиперболы, для которой ось Ох является действительной осью, а ось Оу — мнимой осью, причем мнимая и действительная полуоси втой гиперболы соответствеибб 1 — 1б но равны ~ — „н ~ — а- ° '~/ т,(- ") '1l т;и Уравнение (6.86), отвечающее случаю 1б ==О, можно записать в виде 190 ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ, 3 Этому последнему уравнению удовлетворяют лишь координаты точек, расположенных на прямых х эю ха к 7 — + ! ! ' 1 =0 — — -о. !/а! !/ — а ! а/а„ Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что каждое нз уравнений (6.85) — (6.87) эквивалентно исходному уравнению (6.60) соответственно для случаев 1з ( О, 1з =О, 1з ) О, н поэтомУ сДеланные выше геометРнческие Выводы для уравнений (6.85) — (6.87) справедливы и для уравнения (6.60).
Теорема доказана. Замечание 6. Остановимся подробнее на случае, когда уравнение (6,60) гиперболического типа определяет гиперболу, т. е. когда 1зчьО. Координаты (хо, уо) центра втой гиперболы представляют собой решение системы (6.74). Угол наклона !Р осн Ох' (являющейся либо действительной, либо мнимой осью гиперболы) со старой осью Ох может быть найден по формуле (6.79). Наконец, в процессе доказательства теоремы были указаны величины действительной н мнимой полуосей гиперболы. Их значения вычисляются через 1„1, ап и а,". Коэффициенты а",, н о; выражаются через коэффициенты ап исходного уравнения (6.60) (см. первую и третью формулы (6.67); прн этом нужно положить оп=а,', и аа =а'„). Уравнения аснмптот гиперболы без труда могут быть найдены по ее каноническим уравнениям (6.85) нли (6.87).
Итак, зная инварианты н формулы преобразования координат, можно вычислить действительную н мнимую полуоси гиперболы и выяснить ее расположение относительно исходной системы координат Оху. 6. Упрощение уравнения линии параболического типа (1!=0). Классификация линий параболического типа.
Заметим, во-первых, что для уравнения (6.60) параболического типа инвариант 1! отличен от нуля. В самом деле, если 1! — — он+ аж= О, то 2 3 а,! а, 1!=от +от +2а а =0 т. е. а а = — — — —. Так как !!ж ' ' ' !! 2 2 1,=апа„— а', =О, то, используя только что полученное выраа!! аам 3 жение для она, яайдем что — — — — =она откуда следует, что ам =а„= оы=О. Но, по предположению, по крайней мере один из коэффициентов ан, аы, а!а отличен от нуля.
Итак, 1чь О. Произведем стандартное упрощение уравнеяня (6.60): 1) если аы О, то оставим систему координат Оху неизменной в в! ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВВ 1З) и изменим лишь обозначение х иа х', у иа у', ап иа а,', 2) если амчьО, то перейдем к повернутой системе координат Ох'у', вычисляя угол поворота по формуле (6.79) и используя при этом формулы (6.67). В обоих указанных случаях уравнение (6.60) примет внд (6.80). Так как для уравиеиия (6.80) = ап + а'„, lт апа,', то нз условия !~ Ф О, lт — — 0 вытекает, что один из коэффициентов ап и а', равен нулю, а другой ие равен нулю.
Для определенности будем считать ап = О, а' Ф 0 (случай а11 -„ь О, а',= 0 рассматривается аналогично). При этом предположении 7, =а'„, так как 7, = ап + а,'. Итак, уравнение липин (6.60) параболического типа после стандартного упрощеиия может быть записано в следующей форме '): )1у' + 2а1вх'+ 2атву'+ ам= О. (6.88) Дальнейшее упрощение уравиепия (6,88) может быть достигнуто путем специального параллельного переноса системы координат Ох'у'. Предварительно перепишем (6.88) в следующей форме: т я тв ), ( '+ У) + 2 мх'+ „— — = О. (6.89) Вид уравиеиия (6.89) подсказывает, как выбрать специальный параллельный перенос системы координат Ох'у'.
Нам нужно, )т и' ~ чтобы первое слагаемое 7,(у'+ — ) в левой части (6.89) имело внд (пуи; а остальные слагаемые сохРаиили свой вид. птв Поэтому следует положить р" равным у'+ ~, а х равным х'. г, Итак, перейдем теперь к новой системе координат, полученной путем следующего параллельного переноса: т р"- р'+ —,". (6.90) хи=х', Введем обозиачеиия и и те а, а',, а,=а (6.91) 1 В силу соотиошеиий (6.89), (6.90) в (6.91) уравнение линии 7. параболического типа в новой системе координат Оихиу" е е с и) Еслн опчео, атя О, то 1~ ап в вместо урввненяя (б.бб) мы полут чнм УРевненне l,х +Зпьтл +а и +пвв О, котоРое пУтем нвмекеннн обое е е с т е е т внеченна л не р, р на х, а нв и н пвт нв а1впереяолнт в урввненне(б.вз).
1ая линии второго порядка [гл. е примет вид 1„-з+2", в+ Ь=О. (6.92) о о в О 1, О в м ам о о = — 1а 1 ~з' (6.93) 1з Так как 1~ чьО, то ири 1з чьО и а„чь О, если же 1з — — О, то и а"„О. Используя этот вывод, мы можем записать уравнение (6.92) следующим образом: в зоиl (6.94) 1,у" + а", = О. (6.96) прн 1 чь О (т. е. при а,",чь 0) при 1 = 0 (т. е. при а" ,=0) Очевидно, уравнение (6.94), отвечающее случаю 1зчьО, представляет собой параболу.
Чтобы убедиться в этом, совершим следующий параллельный перенос системы координат: м х= "+ '", у-у-, (6.96) зв~з и введем обозначение р = Ж4Ц. (6.97) Тогда вместо (6.94) мы получим уравнение Уз 2рХ или Уз = = — 2рХ, которое является каноническим уравнением параболы. Уравнение (6.95), отвечающее случаю 1з — — О, может быть записано так: у"' — а,",/1г (6.98) Бели — а,„(1, > О, то уравнение (6.98) представляет собой пару В~~ * М ж зв ~/- д, а' -~/ — ~Г,; ') Термпп «мвпмме параллелькме прамме«булез разъпспен в процессе доказательства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
