1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Директрисой Р! (! = 1, 2) эллипса, отвечающей фокусу Р, (/ = 1, 2), называется прямая, расположенная в полуплоскости н, (г = 1, 2) перпендикулярно большой оси эллипса йа расстоянии а/е от его центра. 3 а меч а ние 1. Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка Р!Рв а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.10. Тогда, очевидно, уравнения директрис Р; (!=1, 2) эллипса можно записать следующим образом; уравнение директрисы Р,: х= — а/е, (6.26) уравнение директрисы Р,: х =а/е, Замечание 2. Директрисы эллипса расположены вне эллипса. Действительно, эллипс расположен в прямоугольнике )х~» а, )у)» Ь (см. п.
1 $2 этой главы и рнс. 6.4), стороны которого перпендикулярны большой и малой осям эллипса. Из определения директрис вытекает, что они параллельны двум перпендикулярным большой оси эллипса сторонам этого прямоугольника. Поскольку упомянутые стороны отстоят от центра эллипса на расстоянии а, а директрисы — на расстоянии а/е) а (0<в»!), то директрисы расположены вне прямоугольника, а следовательно, и вне эллипса.
Замечание 3. Мы только что выяснили, что директрисы расположены вне эллипса. Отсюда вытекает, что точки эллипса и его центр расположены по одну сторону от каждой из его директрис. Замечание 4. Обозначим через р расстояние от фокуса эллипса до соответствующей этому фокусу директрисы. Поскольку расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а расстояние от центра эллипса до фокуса равно с, то р Р равно — — с*). Так как с= ае, то для р получаем следующее е выражение: г! х ! — е* р =а! — — е) =а 'че ) в (6.27) ') Напомиим, что цеигр еллипса и его фокусы расположены иа большой оси, которая перпеидикуляриа дярекгрисам Поягому с учетом расположения центра, фокуса и отаечаюшей ему директрисы (Рис б.!О) р раеио и/е — с.
Докажем теорему, выясняющую важное свойство отличного от окружности эллипса и его директрис. Теорема б.1. Отношение расстояния г! от точки М эллипса до фокуса Р! к расстоянию с), от этой точки до отвечающей линии втОРОГО пОРяДкА ИГЛ Е этому фокусу директрисы О, равно эксиенгрисигегу е этого эллипса. Доказательство. Пусть Р~ и Рт — фокусы эллипса*), Выберем декартову прямоугольную систему координат так, как зто указано в замечании 1 этого пункта (рис. 6.10).
В п. 1 $1 этой главы мы выяснили, что при таком выборе системы координат расстояния Г1 н Ге от точки М(х, у) эллипса до фокусов Р1 и Рт определяются формулами (6.6). Так как отношение с/а Равно эксцентРиситетУ е этого эллипса, то длЯ Г~ и Ге мы полУ- чим выражения (6.28) Г, = а+ ЕХ, Ге = а — ЕХ. Найдем теперь расстояния 4 от точки М эллипса до директрис О,. Используя уравнения директрис Р~ (см.
формулы (6.26)), легко убедиться в том, что нормированные уравнения директрис имеют вид (см. п. 7 $1 главы 5): л нормированное уравнение директрисы О~. '— х — — = О, (6.29) нормированное уравнение директрисы Ол. х — — = О. Так как точка М(х, у) эллипса и начало координат находятся по одну сторону от каждой из директрис (см. замечание 3 этого пункта), то расстояние 4 и Ыт от точки М(х, у) до директрис О, и Рт равны соответствующим отклонениям М(х, у) от Р~ и От, взятым со знаком минус, и мы получим (в силу (6.29) и теоремы 5.1): Используя формулы (6.28) и (6.80), найдем, что Г /4 = е, 1= 1, 2. Теорема доказана.
Ряс. ал! 2'. Директрисы гиперболы. Обо- значим через с половину расстояния между фокусами Р~ и Ре гиперболы, через а ее действительную полуось и через О ее центр (рис. 6.11). Пусть е — эксцентриситет этой гиперболы и и — плоскость, в которой расположена гипербола. Мнимая ось гиперболы разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Обозначим через щ (1 = 1, 2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус Р~ (1 = 1, 2). *) так нан еллннс отличен от онружностн, то его фокусы не соннндаот. йз) дирякп исы эллипса, гиня волы и пдрдволы 1бв Определение.
Директрисой Рг (1= 1, 2) гиперболы, отвечающей фокусу Рг (1=1, 2), называется прямая, расположенная в полуплоскости ти ((= 1, 2) перпендикулярно действительной оси гиперболы на расстоянии а/е от ее центра. 3 а меча ние 6. Выберем' начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка Р~Рз, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.11. Тогда, очевидно, уравнения директрис Р1 (1=1, 2) гиперболы можно записать следующим образом: уравнение директрисы Р;. х = — а/е, (6.31) уравнение директрисы Р;. х=а/е.
Замечание 6. Директрисы гиперболы целиком расположены в области О, не содержащей точек гиперболы (см. 2' п. 2 $2 втой главы и рис. 6.6). В самом деле, в 2' п. 2 $2 втой главы ыы убедились, что полоса Оп определяемая в выбранной в замечании 6 системе координат Оху неравенством 1х~ ( а, содержится в области О. Но эта полоса содержит директрисы гиперболы, так как, согласно (6.31), для точек директрис )х!= — ( а, нбо для гиперболы е ) 1. Расположение директрис гиперболы указано на рис. 6.11.
Замечание 7. Только что сделанное замечание позволяет обосновать расположение директрис гиперболы, указанное на рис. 6.11. Именно, очевидно, что точки левой (правой) ветви гиперболы и ее центр О расположены по разные стороны от директрисы Рь (Рз), а точки правой (левой) ветви гиперболы и ее центр О расположены по одну сторону от директрисы Р (Рз). 3 а м е ч а н и е 8. Обозначим через р расстояние от фокуса гиперболы до соответствующей этому фокусу директрисы.
Поскольку расстояние от центра гиперболы до директрисы равно а/е, а расстояние от центра гиперболы до фокуса равно с, то р=с- — *). Так как с = ае, то для р получаем формулу е р=а(е — — ) =а— ! е' — 1 (6.32) Докажем теорему, выясняющую важное свойство гиперболы и ее директрис. Теорема б.й. Отношение расстояния гг от точки М гиперболы до фокуса Рг к расстоянию 4 от этой точки до отвечающей «) Напомнны, что центр гиперболы н ее фокусы расположены на действительной осн, которая перпенднкулярна днректрнсам.
Поэтому с учетом расположення центра, фокуса н отвечающей ему днректрнсы (см. рнс. 6.11) о р равно с — —. е [гл ь линии втогого погядкх этому фокусу директрисы 0~ равно эксцентриситету е втой гиперболы. До к аз а тельство. Для доказательства этой теоремы нужно рассмотреть следующие четыре случая: 1) точка М находится на левой ветви гиперболы, исследуется фокус Р~ и директриса 06 2) точка М находится на правой ветви гиперболы, исследуется фокус Р~ и директриса 0~., 3) точка М на левой ветви, фокус Рн директриса 0т, 4) точка М на правой ветви, фокус Рт, директриса 0э Так как рассуждения для каждого из случаев однотипны, то мы ограничимся лишь первым случаем.
Расположим систему координат так, как это указано в замечании 5 этого пункта. Так как абсцисса х любой точки М(х,у) левой ветви гиперболы отрицательна, то расстояние г~ от этой точки до фокуса Рь согласно формулам (6.11), равно с — а — -х. Так как с/а = е, то для г~ получим выражение в г, = — а — ех. (6.33) Директриса 0~ определяется первым из уравнений (6,31). Согласно п.
7 $ ! главы 5 нормированное уравнение втой директрисы имеет вид — х — — =О. (6.34) в Так как точка М левой ветви гиперболы н начало координат находятся по разные стороны от директрисы 0~ (см. замечание 7 этого пункта), то расстояние б от точки М до директрисы 0~ равно отклонению М от 0ь и мы получим (в силу (6.34) и теоремы 5.1) — а — ех Й,= (6.35) Используя формулы (6.33) и (6.35), найдем, что г~/4 е. Для первого случая теорема доказана. Остальные случаи рассматриваются аналогично. 3.
Определение эллипса н гиперболы, основанное на их свойстве по отношению к днрентрисам. Теоремы 6.1 н 6.2, доказанные в предыдущем пункте, выясняют свойство отличного от окружности эллипса и гиперболы, связанное с директрисами этих кривых. Убедимся в том, что это свойство эллипса и гиперболы может быть принято в качестве их определения.
Рассмотрим в плоскости п точку Р и прямую 0 (рис. 6.12). Будем предполагать, что точка Р не лежит на прямой О. Докажем следующее утверждение. Теорема б У. Геометрическое место (М) точек М плоскости и, для которых отношение е расстояния г до точки Р к расстоянию б до прямой 0 есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при е ( 1) или гиперболу (при е ) 1). 6 11 диРвктРисы эллипсА, гипярволы и ПАРАВолы 161 При этом точка Р называется фокусом, а прямая О— д и р е к т р и с о й рассматриваемого геометрического места.
До к а з а те л ь с т в о. Убедимся, что в некоторой, специаль- но выбранной системе координат геометрическое место точек, удовлетворяющее требованиям сформулированной теоремы, определяется при е ( 1 уравнением-1-+ —, = 1 (т. е. является лв ув зллилсом), а при е) 1 — уравнением —,— от=1 (т. е.
яв- ляется гилерболой) в). Пусть )7 — точка пересечения прямой !У и прямой А, проходящей через Р перпендикулярно Р (рис. 6.12). На прямой А выберем положительное направление от Р к Я при е ( 1 и р Я от Я к Р при е) 1 (на рис. 6.12 показан случай е( 1). Так как дальнейшие рассуждения для случая е)1 и е( 1 идентичны, мы проведем их г р подробно для е ( 1, т. е. для случая, д определяющего эллипс. Обозначим через р расстояние между точками Р и )7. Вспоминая расположение дирекд трисы эллипса относительно его центра (см. п.
2 этого параграфа), есте- Рнс. 6.12 ственио выбрать начало О координат на прямой А слева от точки )7 на расстоянии а/е. При задан- ных е и р величина а/е может быть определена при помощи формулы (6.27) (см. также замечание 4 п. 2 этого параграфа). Инымн словами, естественно положить (6.36) Я в 1 — вв Будем теперь считать прямую А с выбранным началом О и направлением от Р к )с осью абсцисс.
Ось ординат направим так, как указано на рис. 6.!2. В выбранной системе координат фокус Р имеет координаты (с, 0), где с-Р—,,* ") ° ве (6.37) а директриса О определяется уравнением л '=т= — Л . в Т вЂ” в1' (6.38) ') Этн уранненнн, кек было еинснено и $ 1 втой главы, ннлнниен уран. кеннкин эклннсл н гннерболи. ев) Формула (6.67) нмтеквет нз Формулы в йΠ— МР и формул Мр Р н МО ° — = ~-.
а в Т вЂ” Р' пз мв линии второго порядка )гл и Перейдем теперь к выводу уравнения рассматриваемого гео- метрического места точек. Пусть М вЂ” точка плоскости с коор- дннатамн (х,у) (рис. 6.12). Обозначим через г расстояние от точки М до фокуса Р н через а расстояние от точки М до ди- ректрисы В. Соотношение 7й= (6.39) является необходимым и достаточным условием расположения точки М на геометрическом месте (М), Используя формулу расстояния между двумя точками М и г (см. формулу (1.8) п. 2 $3 главы 1) и формулу для расстоя- ния от точки М до прямой Ю (см. п. 7 $1 главы 6), получим =1Г= у+г, (6.40) а'= — — х «).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
