1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Очевидно, 2а С 2с, т. е. а с. с '*). Пусть М вЂ точ плоскости с координатами (х, у) (рис. 6.2). Обозначим через Г» и Гз расстояния МР» и МРз. Согласно определению гиперболы равенство ~㻠— Гз!=2а (6.7) КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Ит где Мы долмгны убедиться в том, что уравнение (6.9), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (6.8), ие приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (6.9), величины г~ и гт удовлетворяют соотношению (6.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (6.6), найдем для интересующих нас величин г~ и гз следующие выражения *): — а+ — 'х при х>0, ге= с а — — х при х< 0. О (6.11) а+ — 'х при х>0, — а — -'х при х < О, «) Прн этом мы должны учесть, что 1х1 ) и я с/а ) 1, Заметим, что верзвенство )х)) и непосредственно вытекает иэ урзвпеиия (б.й).
«) Слово директриса оэннчзет нвлравииощая "*) Естествеяно счнтзть, что фокус Р яе лежит нв днректрксе, ибо в протязном слтчзе точки плоскости, ллн которых были бы выполнены условия определеяия параболы, располагались нз прямой, проходнпгей через Р перпендикулярно днректрйсе, т, е. пнрзбола выродилнсь бы в прямую. Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем )гг — гт) = = 2а, и поэтому она располагается на гиперболе. Уравнение (6.9) называется каноническим уравнением гиперболы. Величины а и Ь называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. 3.
Парабола. Определение. П а р а б о л о й называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки Р этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости. Указанная в определении точка Р называется фокусом параболы, а фиксированная прямая — директрисой ««) параболы. Для вывода канонического уравнения параболы выберем начало О декартовой системы координат в середние отрезка РО, представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса Р на директрису «**), а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.3. Пусть длина отрезка РР равна р.
Тогда в выбранной системе координат точка Р имеет координаты (р/2,0). Пусть М вЂ” точка плоскости с координатамн (х, у). Обозначим через г расстояние от М до Р, а через й — расстоя- ЛНННИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1Гл е 148 ние от М до директрисы (рис. 6.3). Согласно определению параболы равенство г= а (6.12) является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной параболе. Так как (6.13) то, согласно (6.12), соотношение (х — р2 ) + у' = — "+ х / ~ ' и (6.14) представляет собой необходимое и достаточное условие расположения гочки М с координатами х и у на данной параболе.
Поэтому соотношение (6.14) можно рассматривать как уравнение параболы. Путем стандартного приема «уннчтожения радикалов» это уравнение приводится к виду уа 2рх, (6.15) ч) Эта формула верна лишь для точек с неотрицательными абсцисс»- ми л. Лля точек с отрицательными абсциссамн, как легко видеть, аыполняется соотношение г ) о, я поатому таяне точки можно исключить иа рассмотрения. Убедимся в том, что уравнение (6.15), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (6.14), не приобрело новых корней. Для Рис. 6.3 этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х н у которой удовлетворяют уравнению (6.15), величины г и й равны (выполнено соотношение (6.12) ). Из соотношения (6.15) вытекает, что абсциссы х рассматриваемых точек неотрицательны, т.
е. х ) О. Для точек с неотрицательными абсциссами й = р + х. Найдем теперь выражение 2 для расстояния г от точки М до Р. Подставляя у' из выражения (6.15) в правую часть выражения для г (6.13) н учитывая, что х~~ О, найдем, что г= 2 +х..Таким образом, для рассматриваемых точек г = а, т. е. онн располагаются иа параболе.
Уравнение (6.15) называется каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром парабольь Ь 21 ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАВОЛЫ 149 5 2. Исследование формы эллипса, гиперболы н параболы по их каноническим уравнениям Мы уже имеем наглядное представление о форме эллипса, гиперболы и параболы (рис. 6.1).
Исследование канонических уравнений этих линий позволяет выяснить свойства, более точно характеризующие их форму. 1. Исследование формы эллипса. Для удобства запишем еще раз каноническое уравнение эллипса (6.4): л' ~уа и (6.4) ') Еслн зллнпс представляет собой окружность, то любая прямая, прохо. дяпГая через центр окружности, является осью снмметрнн. Отметки, что центром зллнпса является точка пересечения главных осей.
При этом будем считать а ) Ь. 1'. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные Оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса)'). Действительно, в уравнении (6.4) величины х и у фигурируют в четных степенях. Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (6.4) (т. е. точка М располагается иа эллипсе), то этому уравнению удовлетворяют координаты ( — х„у) и ф (х,— у) симметричных ей точек относительно осей координат н координаты ( — х, — у) точки, симметричной М относительно начала координат (рис. 6.4).
Таким образом, если эллипс задан своим каноническим уравнением (6.4), то главными осями этого эллипса являются оси ко- рне. 6.4 ординат, а центром эллипса— начало координат. Точки пересечения эллипса с главными осями называются вершинами эллипса. Точки А, В, С, Р иа рис. 6.4 — вершины эллипса. Очевидно, эти вершины имеют соответственно координаты ( — а, 0), (О, Ь), (а, 0), (О, — Ь).
Замечание 1. Очевидно, длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2Ь. Так как 2а ) 2Ь, то главная ось, образующая в пересечении с эллипсом отрезок 2а, называется большой осью эллипса. Другая главная ось называется малой осью эллипса. Если эллипс задан уравнением (6.4), то прн а ) Ь большой осью будет ось Ох, а малой — ось Оу. При Ь) а большой осью будет ось Оу, а малой — Ох. !Гл. 6 линии втотого поездка !60 Замечание 2. Очевидно, фокусы эллипса располагаются на его большой оси. 2'.
Весь эллипс содержится внутри прямоугольника !х~ ( а, у(~ Ь (на рис. 6.4 этот прямоугольник не заштрихован). самом деле, из канонического уравнения (6.4) вытекает, что хй/ай =1 н уй/Ьйа„:;1. Эти неравену ства, очевидно, эквивалентны неравенИЫу/ ствам !х~«= а и !у)йя;Ь 1 3'. Эллипс может быть получен посредством равномерного сжатия окружности. Рассмотрим окружность (рис. 6.5), заданную уравнением (6.16) Произведем теперь равномерное сжатие плоскости к оси Ох, т. е. такое преобразование, при котором точРзс. 6.6 ка с координатами (х,у) перейдет в точку с координатами (х,у), причем х=х, а у — у. Очевидно, при этом преобразовании окруж- Ь и ность (6.16) перейдет в кривую, определяемую уравнением гй уй -э-+ ьт 1, т, е.
в эллипс. 2. Йсследованне формы гиперболы. Обратимся к каноническому уравнению гиперболы (6.9) йй уй -т — — = 1. Ьй 1'. Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются вершинами гиперболы.
Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось ие имеет общих точек с гиперболой и поэтому называется мнимой осью гиперболы. Таким образом, мнимая ось гиперболы разделяет плоскость иа правую и левую полуплоскостн, в которых расположены симметричные относительно этой оси правая и левая ветви гиперболы. Справедливость указанного свойства симметрии гиперболы вытекает нз того, что в уравнении (6.9) величины х и у фигурируют в четных степенях. Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (6.9) (т.
е. точка М располагается на гиперболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты ( — х,у) и (х,— у) симметричных ей точек Э З1 НССЛВДОВДННВ ООРМЫ ЭЛЛНПСД, ГНПВРВОЛЫ И ПДРДВОЛЫ 161 относительно осей координат и координаты ( — х, — у) точки, симметричной М относительно начала координат (рнс. 6.6). Таким образом, если гипербола задана своим каноническим уравнением (6.9), то главными осями этой гиперболы являются оси координат, а центром гиперболы — начало координат. Убедимся теперь, что ось Ох является действительной осью гиперболы, точки А( — а,0) и В(а,0) — верисинами гиперболы н ось Оу является мнимой осью гиперболы.
Для этого до- у статочно доказать, что ось Ох Ю пересекает гиперболу в точках А и В, а ось Оу не имеет Ф4 У) обших точек с гиперболой. Так как ординаты точек оси л -е ут у Ох равны нулю, то для выяс- л пения величины абсцисс точек пересечения этой оси с ги- Г4-Ю бц-у) перболой нужно в уравнении (6.9) положить у=О. После этого мы получим уравнение хз/аз=1, из которого нахо- Рвс. 66 дятся абсциссы точек пересечения оси Ох с гиперболой.
Полученное уравнение имеет решения х = — а и х = а. Следовательно, ось Ох пересекает гиперболу (т. е. является ее действительйой осью) в точках А( — а,0) и В(а, О) (т. е. эти точки и есть вершины гиперболы). Поскольку абсциссы точек оси Оу равны нулю, то для ординат точек пересечения этой оси с гиперболой получаем из (6.9) уравнение — уз/Ьз = 1, которое не имеет действительных решений.
Следовательно, ось Оу является мнимой осью гиперболы. 3 а меча н не. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси. 2'. Рассмотрим область 6, которая получена объединением прямоугольника О, координаты х и у точек которого удовлетворяют неравенствам ~х~ ( а, ~у~ч- Ь, и тех двух углов, образованных диагоналямн этого йрямоугольника, в которых располагается мнимая ось гиперболы (на рис. 6.6 эта область заштрихована). Убедимся, что в области 6 нет точек гиперболы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
