1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 30
Текст из файла (страница 30)
5), и затем через прямую Е~ проведем плоскость, параллельную прямой Ьь 11. Уравнения перпендикуляра, опущенного из заданной точки Мэ на данную прямую Еь Искомый перпендикуляр представляет собой линию пересечения двух плоскостей: 1) плоскости, проходящей через точку Мз н прямую Е1 (такая плоскость найдена в п. 8), 2) плоскости, проходящей через точку Мз и перпендикулярной к прямой Е1 (такая плоскость найдена в п. 7). 12. Нахожденне расстояния от данной точки МБ до данной прямой Еь В предыдущем пункте найдены уравнения перпендикуляра Ез, опущенного нз точкн Мз на прямую Еь Решая совместно уравнения прямых Ь1 н Ьм мы найдем точку М1 основання указанного перпенднкуляра, а затем н искомое расстояние, равное длине отрезка МБМИ 13.
Нахожденне общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым Е1 н Ем Проведем через прямую Ь| плоскость пм параллельную прямой Ьз (эта задача решена в п. 9). После этого проведем две плоскости п1 н ям перпендикулярные плоскости яз н проходящие через прямые Е| н Ьз соответственно (см. и. 10). Искомый перпендикуляр представляет собой лннню пересечения плоскостей п1 н ям 14. Нахожденне кратчайшего расстояния между двумя даннымн скрещивающимися прямыми Е~ н Ем Для решения этой задачи достаточно построить плоскость иь, указанную в предыдущем пункте, н найти расстояния от любой точки прямой Ьз до плоскости ям ГЛАВА а ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этой главе изучаются геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины.
Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной нз этих линий. В главе также исследуются кривые второго порядка, т. е. линии, определяемые в декартовых координатах, алгебраическими уравнениями второй степени. В частности, выясняется, что эллипс, гипербола н парабола являются такими линиями и что этими тремя линиями и изученными в предыдущей главе линейными образами исчерпываются все линии, определяемые алгебраическими уравнениями второй степени. 5 !.
Канонические уравнения эллипса, гиперболы н параболы В начале этой главы мы говорили о том, что эллипс, гипербола и парабола представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину. Именно, если секущая плоскость пересекает все прямолинейные образующие одной полости конуса, то в сечении получится линия, называемая эллипсом (рис. 6.1,а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении получится линия, называемая гиперболой (рнс.
6.1, б). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса (на 6.1,в — это образующая АВ), то в сечении получится линия, называемая параболой. Рнс. 6.1 дает читателю наглядное представление о форме рассматриваемых линий. В этом параграфе даются специальные определения эллипса, гиперболы и параболы, основанные на их фокальных свойствах, и выводятся так называемые канонические уравнения этих кривых. Ниже, в п. 4 $ 3, будет установлена равносиль- 144 линии ВТОРОГО ПОРяДкА [ГЛ.Е ность этих специальных определений и определений эллипса, гиперболы и параболы как конических сечений. 1.
Эллипс. Определение. Э л л ил с о м называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух гуерайела е) Лвгапс а) Гиверйела ф Рнс. б.1 ') Есдк М вЂ” точка зппнпса (см. рнс. б 2). то (МРг) + )МРз) = 2п, а так как сумма двук сторон МР~ н МРз треугоаьнкка МР~Рз больше третьей стпрпнм Р~Рз = 2с, то 2п ~ 2с Случай 2п = 2с естественно пскяючпть, так как тогда точка М располагается на отрезке Р,Рз н зплнпс вмрпждаетсн в отрезок.
фиксированных точек Р[ и Р, этой плоскости, называемых фок у си м и, есть величина постоянная *). При этом ие исключается совпадение фокусов эллипса. Очевидно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность. Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка Ргрз, а оси Ох и Оу направим так, как ука- У ЯгГе,у) зано на рис. 6.2 (еслн фокусы Р[ и Рз г) совпадают, то О совпадает с Р[ и Рз, а за ось Ох можно взять любую ось, проходящую через О). б[бщ в Ыса х Пусть длина отрезка Р,Рз равна 2с. Тогда в выбранной системе коорРас. б.2 динат точки Р, и Рз соответственно имеют координаты ( — с,0) и (с,0).
Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении эллипса. Очевидно, 2а) 2с, т. е. а) с. Пусть М— точка плоскости с координатами (х,у) (рис. 6.2). Обозначим через гг и гз расстояния от точки М до точек Рг и Рз соответ- КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 146 ственно. Согласно определению эллипса равенство г,+88 —— 2а (6.1) является необходимым и достаточным условием расположения точки М(х, у) на данном эллипсе. Используя формулу расстояния между двумя точками (см.
формулу (!.8) п. 2, $ 3 главы !), получим г~ = 1/(х+ с)8 + уа, гэ = 1/(х — с)8 + уэ ° (62) Из (6.1) н (6.2) вытекает, что соотношение ~Л е г.~и'-ьчт:с*+г*=~ (6.3) представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данном эллипсе, Поэтому соотиошенне (6.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уннчтоження радикалов» это уравнение приводится к внду ла уа ат + ьт (6.4) где ба = а' — с"). (6.6) с с г,=а+ — х, г,=а — — х, и ' 8 и (6.6) * Напомним, что и ° с, н поэтому па — с' ) О.
Поскольку 1л! < и н с)п ( 1. Заметам, что неравенство 1л! ( а °:1 непосредственно вмтенает нэ уравненнп (64), на которого ясно, что к9пааа1. 10 Зак.!68 Так как уравнение (6.4) представляет собой алгебраическое 'следствие уравнения эллипса (6.3), то координаты х н у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (6.4).
Поскольку прн алгебраических преобразованиях, связанных с избавлением от раднкалов, могли появиться «лишние корни», мы должны убедиться в том, что любая точка М, коордннаты которой удовлетворяют уравнению (6.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величины г1 н га для каждой точки удовлетворяют соотношению (6.1). Итак, пусть координаты х н у точки М удовлетворяют уравнению (6.4).
Подставляя значение у' нз (6.4) в правую часть выражения (6.2) для гь после несложных преобразовас ннй найдем,что г, чу ~а+ — х) . Так как а+ — х > О ае), то с с г, а+ —, х. Совершенно аналогично найдем, что г, =а — — х, Таким образом, для рассматриваемой точки М ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Е является нгобходимыл» и достаточным условием расположения точки М на данной гиперболе. Используя выражения (6.2) для Г» и Г, и соотношение (6.7), получим следующее необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной гиперболе: ) ~»» +т»' тут~ — ~»»* — т» т у~ ~ »а»6.8» Используя стандартный прием «уничтожения радикалов», приведем уравнение (6.8) к виду лз рз — ь =1 о (6.9) ') Фокусы Р» п Рз гиперболы естественно считать различиыми, ибо если указанная з определении гиперболы постоянная пе равна кулю, то кет ии одиой точяп плоскости при созпадеипи Р, к Рз, которая бы удоилетзоряла требоеаииям определекия гиперболы. Если же зта постоянная равна пулю и Р» совпадает с Рз, то любая точка плоскости удозлетаоряет требованиям определения гяперболы.
ее) Если М вЂ” точка гиперболы, то (МР»! — »МР»! 2п, а так как разность дауа сторои МР» и МРз треугоаьпкка Млл меньше третьей стороиы Р»Рз ее 2с, то 2п .» 2с. Случай 2п 2с естестаепио исключить, так как тогда точка М располагаегся иа прямой Р»Рз зке отрезка Р»Рз и гипербола вырождается и даа луча. т. е. Г»+ гз = 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (6.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и Ь называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» н «малая» объясняется тем, что а ) Ь). Замечание.
Если полуоси эллипса а и Ь равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен 1»' = а = Ь, а центр совпадает с началом координат. 2, Гипербола. Определение. Гипс р б о лай называется геометрическое место точек плоскости, для которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек Р» и Р, этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная е). Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка Р»Рз, а осн Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.2. Пусть длина отрезка Р»Рз равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки Р» и Рз соответственно имеют координаты ( — с, 0) и (с, О). Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гиперболы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
