1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Доказательство. Прежде всего установим, что при любых и и р, не равных одновременно нулю, равенство (5.24) представляет собой уравнение первого порядка (т. е. в этом равенстве хотя бы один из коэффициентов при х или при у не равен нулю). Собирая в равенстве (5.24) коэффициенты при х и у, перепишем это равенство в виде (аА, + ОА,) х+ (аВ, + ()Вт) У+ (аС, + 8Ст) = О.
(5.24') Если бы имели место равенства аА[+ рАт = 0 и аВ[+ ОВт = О, то из этих равенств, предполагая, например, что а ~От), мы ° ) По усиоиию одно из чисел а и р отлично от нули. Ч и РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ 1Э1 получили бы А,/А = — Яа, В|/В, = — ()/а, т. е. А,/Ат = В,/В,. Последнее равенство (см. п. 6) есть условие параллельности прямых, определяемых уравнениями Агх+ В,р+ С~ =О и Агх+ + Вгу+ Сз — — О, н противоречит предположению о том, что эти прямые пересекаются и не совпадают.
Итак, (5,24) при любых а и (), не равных одновременно нулю, представляет собой уравнение первой степени, определяющее (в силу результатов п. 1) некоторую прямую, Эта прямая заведомо проходит через точку о(хо, уо) пересечения двух прямых, определяемых уравнениями Агх+ В,У+С, =О и Азх+ В,У+СА=О. В самом деле, так как 5(хо, уо) принадлежит каждой нз двух указанных прямых, то справедливы равенства Ало+ В!ро+ С! = О и Атхо + Вгро + СА = О, из которых вытекает, что при любых а н (1 а(А хо+ Вьуо+ С~)+ Р(А~хо+ Втдо+ СД= О, т.
е. координаты к, и уа точки В удовлетворяют уравнению (5.24) . Остается доказать, что, какова бы ни была н а перед заданная я проходящая через точку 5 прямая, она определяется уравнением (5.24) при некоторых а и 5. Наперед заданная проходящая через точку В(ха,уо) прямая однозначно определяется заданием еще одной отличной от 8 точки М*(к', у*), ей принадлежащей. Таким образом, достаточно доказать, что не равные одновременно нулю а и () можно выбрать так, что координаты х', у' наперед заданной точки М' будут удовлетворять уравнению (5.24) при этих а и 5.
Подставляя в (5.24) на место х и у координаты х' и у' точки М", получим равенство а (А х'+ В у' + С~) + Р (Агх'+ Вгу'+ Сг) = О. (5 25) Прежде всего заметим, что (5.25) представляет собой уравнение относительно а и 5. В самом деле, оба выражения в круглых скобках, являющиеся коэффициентами при а и (), обратиться в нуль не могут, ибо это означало бы, что две прямые, определяемые уравнениями А~я+ Вну+ С~ =О и Азх+ Взу+ Ст =О, проходят через точку М'.
(Последнее невозможно в силу того, что эти прямые ие совпадают и проходят через точку В, отличную от М'.) Итак, хотя бы одна из круглых скобок в (5.25) отлична от нуля. Пусть, например, А1х'+ В~у + С~ ФО. Тогда, задав произвольно р ФО, мы определим из уравнения (5.25) [гл. 6 лииеиныз ОБРАзы коэффициент а: ААЗ'+ Выс+С, а=— А,х'+ Вид+ С, При указанных а н 6 прямая, определяемая уравнением (5.24), проходит через точку М*(х', у*). Случай, когда отлична от пуля вторая из круглых скобок в (5.25), рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Замечание. Так как в уравнении пучка (5.24) хотя бы одно из чисел а и 5 отлично от нуля, то можно записывать уравнение пучка не с двумя коэффициентами а и (), а с одним коэффициентом Х, равным их отношению. Так, если отлично от нуля а, то, поделив (5.24) на а и положив Х = ~3/а, мы получим уравнение пучка в виде (А х + В у + С ) + Х (Азх + Взу + Сз) = О. (5 26) Следует, однако, отметить, что уравнение (5.26) содержит все прямые, проходящие через точку пересечения прямых, определяемых уравнениями А~х + В у + С[ = 0 и Азх+ Взу + Сз = О, ва исключением одной прямой — прямой, определяемой уравнением А2х+Вту+ СЕ=О (оиа ие получится из (526) ни прн каком Х).
й 2. Некоторые задачи на прямую линию на плоскости Выше уже был рассмотрен ряд задач иа прямую линию на плоскости (нахождение угла между двумя прямыми, установление условий параллельности и перпендикулярности двух прямых, вычисление отклонения и расстояния точки от прямой, нахождение уравнения прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых). В этом параграфе мы рассмотрим ряд задач, развивающих и углубляющих материал предыдущего параграфа. 1. Нахождение прямой, проходящей через данную точку М~(хну~) н составляющей заданный угол ~р с данной прямой у = й,я+ ЬР Будем искать уравнение прямой, проходящей через точку М1(хну~) и составляющей заданный угол ф с прямой, определяемой уравнением у = Ь1х + Ьь в форме (5.10): у — у,=й(х — х,).
Прямая (5.10) проходит через точку М~(хь у~), и нам остается выбрать ее угловой коэффициент й так, чтобы она составляла угол в с прямой у = й~х + Ьь Заметим, что, взяв уравнение искомой прямой в виде (5.10), мы исключаем из рассмотрения прямую х=хь проходящую через точку М1(хьу ) и перпендикулярную оси Ох. Так как искомая прямая у = йх+(у[ — йх[) В Ц НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМИО ЛИНИЮ НА ПЛОСКОСТИ 123 и прямая у=Й~Х+ Ь| составляют угол ~р, то в силу формулы (5. ! 2") Й вЂ” А, Из последнего уравнения определяем угловой коэффициент Й искомой прямой: Й вЂ” Й, = ~!Оу ~ ЙЙ, !ну, и, стало быть, при (! ~ Й~ 12 <р) чьО получим Й = А'~1Е~ (5.27) 1 ~ а~ 1е Ф В случае, если знаменатель в формуле (5.27) обращается в нуль, угловой коэффициент ие существует, и искомую прямую, очевидно, следует определить уравнением х = хь Итак, окончательно, получаем уравнения двух искомых прямых в виде ц у у,= (х — х,) н у — у~ 1+А ! (х-х~) А1+ 1Е'Р А1 — 1К Ч 1+А,1ЕН при Й11д~р~ о.
1; 2) у у = (х — х~) и х х~ при Й!1Яф= 11 Ф1+ 1е Ф А,-1ЕЧ 5) х — х, и у у = — (х — х,) при Й1 12<а= !. 2. Нахождение биссектрис углов, образованных данными прямыми. Запишем уравнения двух прямых в нормированном виде. Пусть это будут хсовб+уз!ПΠ— р=О и «совб,+ув!пО,— р,=О. Левые части этих уравнений равны отклонениям б~ и бв точки М(х,у) соответственно от первой и от второй прямых. На одной из биссектрис (отвечающей тому углу, в котором лежит начало координат) эти отклонения равны и по модулю, и по знаку, иа другой биссектрисе отклонения б| и бв равны по модулю и противоположны по знаку. Таким образом, уравнения искомых биссектрис имеют вид (х сов 0+ у в!и Π— р) — (х сов О, + у з!и О, — р,) = О, (х сов О+ уз!ПΠ— р)+(х совО, + у з!ПО, — р)=О.
3. Условия, при которых данная прямая пересекает данный отрезок АВ. Запишем уравнение прямой в нормированном виде х сов О+ у в!п Π— р =О и, подставив в левую часть последнего уравнения сначала координаты точки А, а затем координаты точки В, найдем отклонения бА и бе соответственно точек А и В от данной прямой. Для того чтобы данная прямая пересекала отрезок АВ, необходимо и достаточно, чтобы точки А н В лежали по разные стороны от этой прямой, т.
е. необходимо и достаточно, чтобы отклонения бА и бе имели разные знаки. ЛИИЕ~ИЫЕ ОБРАЗЫ [гл. б 4. Опредеяенне местоположения данной'точки М н начала координат О относительно углов, образованных двумя данными прямыми. Пусть заданы две пересекающиеся прямые и требуется определить, в одном, в смежных.или в вертикальных углах, образованных этими прямыми, лежат данная точка М и начало координат О.
Запишем уравнения данных прямых в нормированном виде н, подставив в левые части указанных уравнений координаты точки М, вычислим отклонения 6[ и бз точки М от первой и второй прямых соответственно. По определению отклонения точка М и начало координат О лежат в одном углу, если оба отклонения 6~ и бз отрицательны, в вертикальных углах, если отклонения б~ и бз оба положительны, и в смежных углах, если 61 и бз имеют разные знаки. 5. Условие пересечения трех прямых в одной точке.
Найдем условие, необходимое и достаточное для того, чтобы три прямые, определяемые уравнениями Ах+Ву+С,=О, Ах+Взу+С,=О и Азх+В у+С,=О, пересекались в одной и только в одной точке. Так как мы ищем условия, при которых точка пересечения только одна, то необходимо предполагать, что из трех данных прямых какие-нибудь две прямые пересекаются в одной точке (ибо в противном случае у трех прямых либо вовсе ие будет точек пересечения, либо будет их бесконечно много).
Таким образом, необходимо требовать, чтобы из трех определителей второго порядка )л' и'~ и )я в ! (5.28) хотя бы один был отличен от нуля. Ради определенности предположим, что первые две из указанных трех прямых пересекаются в одной точке (т. е. предположим, что отличен от нуля первый из определителей (5.28)). Тогда, для того чтобы три прямые пересекалнсь в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы третья прямая Азх+ В,у+ + Сз — — О принадлежала пучку, образованному первымн двумя прямыми а(А,х+ В,у+ С,) + Р (Азх+ Взу+ Сз) О.
В силу замечания в конце п. 1 э 1 найдется некоторое число (обозначим его — у) такое, что все коэффициенты последнего уравнения равны соответствующим коэффициентам уравнения Азх+ Взу+ Сз — — О, умноженным на это число, т. е. аА, + ([Аз= — уАз, аА[+ 5Аз+уАз — — О, аВ, + 8Вз= — уВз, нлн аВ, + 5Вз+ уВз — — О, аС, + ([С = — уСз, С, + ()Сз+ уС,=О. Ф З1 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ ЛИНИЮ НА ПЛОСКОСТИ 1ЗЗ П оследние равенства представляют собой однородную систему трех уравнений относительно трех неизвестных а, 5 и т. Так как образующие пучок коэффициенты а и 8 не равны нулю одновременно, то указанная система обязана иметь нетривиальное решение, для чего необходимо и достаточно (см.
Дополнение к главе 1, п. 8), чтобы определитель этой системы Аз Аг Аз 1 ~ Я~ Вз Сз Вз Вз Вз Аз Вг Сг (5.29) С, С С А, В, С был равен нулю. Итак, для того чтобьз три прямые, определяемые уравнениями Азх + Взу + Сз = О, Азх + Взу + Сз = 0 и Азх + Взу + Сз = О, пересекались в одной и только в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль определйтель (5.29) и был отличен от нуля хотя бы один из определителей (5.28), Мы пришли к этому утверждению, предположив, что первые две из указанных трех прямых пересекаются в одной точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
