1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Так, уравнение хэ-(- у' = 0 определяет на плоскости Оху лишь одну точку (О, 0), а уравнение хэ + у' + 1 = 0 вообще не определяет никакого геометрического образа. Для того чтобы уравнение вида (4.1) определяло геометрический образ, отвечающий нашему привычному представлению о линии, следует, вообще говоря, подчинить функцию Ф(х, у) некоторым ограничениям (например требованию однозначной разрешимости функционального уравнения (4.1) относительно одной из переменных). Этн ограничения выясняются в курсе математического анализа (см. выпуск 1, главу 15, й 2, и. 3). Пример. Убедимся в том, что уравнение (х — а)'+ (у — Ь)' = г' (4.2) является уравнением окружности радиуса г» 0 с центром в точке Мо(а, Ь).
В самом деле, точка М(х,у) лежит на указанной окружности тогда н только тогда, когда расстояние между точками М(х, у) и Мс(а, Ь) равно г, т. е. тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между указанными точками (х — а)'+(у — Ь)' равен г'. Таким образом, координаты любой точки М(х,у), лежащей на указанной окружности, удовлетворяют уравнению (4.2), а координаты любой точки, не лежащей на указанной окружности, не удовлетворяют уравнению (4.2).
Уравнение окружности радиуса г 0 с центром в начале координат имеет более простой вид, а именно хт+ут=гт. (4.3) 2. Параметрическое представление линяя. Для аналитического представления линии Е часто бывает удобно выражать переменные координаты х и у точек этой линни прн помощи третьей вспомогательной переменной (или параметра) «=ф(1), у=ф(О, (4.4) где функции ~р(1) и ф(1) предполагаются непрерывными по параметру Г (в некоторой области (1) изменения этого параметра), Исключение из двух уравнений (4.4) параметра Г приводит к рассмотренному выше уравнению вида (4.1)'). ') Такое исключение эаведомо воэможио, если хотя бы одна иэ фуикиия к ф(1) ялн у = ф(0 имеет обратиув (достаточные условия длв этого см. в п.
4 $2 главы 15 выяуска 1). [ГЛ.4 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ Параметрическое представление линни иа плоскости естественно возникает, если эту линию рассматривать как путь, пройденный материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону. В самом деле, если переменная г представляет собой время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то задание закона движения н представляет собой задание координат х н у движущейся точки как некоторых непрерывных функций х = у(1) и у = ф(1) времени й П р и м е р ы.
1) Установим параметрические уравнения окружности радиуса г > 0 с центром в начале координат. Пусть Рнс. 4я Рас. 4Д М(х,у) — любая точка этой окружности, а с — угол между радиусом-вектором ОМ и осью Ох, отсчитываемый против часовой стрелки (рис. 4.1). Очевидно, что х=гсоз1, у==гз1пй (4.5) Уравнения (4.5) и представляют собой параметрические уравнения рассматриваемой окружности. Параметр г может принимать любые значения, но для того, чтобы точка М(х,у) одни раз обошла окружность, следует ограничить область изменения параметра полусегментом 0 «= 1 ( 2И. Заметим, что для исключения параметра 4 из уравнений (4.5) достаточно возвести в квадрат и сложить эти уравнения; мы получим при этом уравнение (4.3) предыдущего пункта.
2) Установим параметрические уравнения так называемой с(иалоиды, которая определяется как путь, описываемый одной из точек М окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой. Примем за ось Ох декартовой прямоугольной системы ту прямую, по которой катится окружность, за начало координат — одну из точек, в которых точка М катящейся окружности выходит на указанную прямую, и направим ось Оу так, чтобы ее положительная полуось лежала по ту же сторону от Ох, что н катящаяся окружность (рис.
4.2). Фиксируем произвольное положение катящейся окружности и обозначим для этого положения буквой С вЂ” центр, а буквой А — точку касания с осью Ох, Примем за параметр ( угол, на УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ 91 еп который повернулась катящаяся окружность при перемещении из положения с точкой касания в начале координат О в поло- жение с данной точкой касания А. Так как качение происходит без скольжения, то ОА = Ф, где !с — радиус окружности. В силу того, что декартовы прямоугольные координаты х и у точки М равны проекциям вектора ОМ на оси координат (см.
п. 9 $ 1 гл. 2), и в силу линейного свойства проекции вектора на ось (см. п. 8 и 9 $1 главы 2) получим х = пр„ОМ = пр„О А+ пр„АС+ пр„СМ, (4.6) у = при ОМ = пря ОА+ пр„АС+ ир„СМ. Учитывая, что угол АСМ, отсчитываемый от вектора СЧ в на- правлении по часовой стрелке (рис. 4.2), может отличатьея от угла г лишь на величину, кратную 2н, будем иметь пр, ОА=Ф, пр, АС=О, пр,СМ= — )(зш1, приОА=О, приАС=)г, пр„СМ= — )ссозй Вставляя эти значения в формулы (4.6), окончательно по- лучим параметрические уравнения циклоиды х =)((! — В1п 1), у =)((1 — сов 1). (4.7) Параметр 1 в уравнениях (4.7) может принимать какие угодно значения.
' Замечание. Часто линию х'. определяют не уравнением (4.1), а разрешенным (например, относительно у) уравнением у =1(х). (4.8) Подчеркнем, что определение линии разрешенным уравнением (4.8) представляет собой частный случай параметрического определения этой линии (прн х = 1, у = 1(г)). 3.
Уравнение линни в различных системах координат. Вид уравнения линии с, зависит не только от вида самой линии 1., но и от выбора системы координат. Уравнение линии меняется как при переходе от одной декартовой системы координат к другой, так н прн переходе от декартовых к каким-нибудь другим координатам. Если (4 1) представляет собой уравнение линии 7. относи- тельно декартовой прямоугольной системы координат Оху, то, чтобы получить уравнение той же липин Ь относительно любой другой системы координат, достаточно подставить в (4.1) на место х и у их выражения через новые координаты. Так, например, линия Б, определяемая в декартовой системе Оху уравнением (4.1), в полярной системе ') будет опреде- '1 Конечно, прн атом предполагается, что полюс соимещеи с началом леиартоамх иоордниат, а полярная ось — с осью Ох, т гли 1ЕХ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ (гл,б ляться уравнением Ф,(р, пз)= О, где введено обозначение Фг (р, гр) = Ф(р соз гр, р зги ф) (см. формулы перехода от декартовых координат к полярным; глава 1,$4).
Использование для определения некоторых линий недекартовых систем координат объясняется тем, что уравнение линни имеет прн этом более простой вид. Пример. Предположим, что ось и вращается (против часовой стрелки) вокруг неподвижной точки О и по этой вращающейся оси движется точка М так, что длина р вектора ОМ пропорциональна углу ~р поворота осн и, отсчитываемому от некоторой неподвижной осн Ох (рис. 4.3). Линия, описываемая точкой М, называется сииралью Архимеда.
Если ввести полярную систему координат, у поместив полюс в точку О и направив полярную ось вдоль осн Ох, то по самому определению спирали Архимеда ее уравнение имеет вид Рис. 4.3 (4Я) р =ау, где р — полярный радиус, ~р — полярный угол, а — коэффициент пропорциональности, который будем считать отличным от нуля. На рис. 4.3 сплошной линией изображена часть спирали Архимеда для случая а ) О, а штриховой линней — часть спирали Архимеда для случая а с.
О '). Урзвиение (49) спирали Архимеда в полярной системе коордннзт отличается чрезвычайной простотой. Для того чтобы читатель убедился, насколько сложно выглядит уравнение той же спнрзлн Архимеда в декартовой прямоугольяой системе, приведем зто урзввенне для случая а > О.
Имея в веду. что вгс1Š— +2»» прн х > О, у згс(Š—. + и + 2»» при х < О, у к я — зяп у+ 2»» при к О, 2 р ч/к'+у~, е где л О, ш1, ~2, ..., мы получим, что для случая а > О спираль Архимеда определяется следующей бесконечной системой урзвиеинй (номер» ') Конечно, при яеогрзинчеииом изменении угла е (и случае а > О в положнтельяую, з в случае а ( О в отрнизтельиую сторону) кзк сплошная, тзк н штрнховзя спнрзли будут иметь бесчисленно много зззитков, не изобрзжениых из рис. 4.3. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ зп принимает аиачения О, ~1. ~2....): т/ка + ут = и (асс!Š— + 2лл) прп к ) О, у к Ч/к + ух и (асс!Š— +л+2кл) при к < О, у к )у)=а~~ — акпу+2лл) при к=о.
~2 4. Два тапа задач, связанных с аналитическим представлением лиани. В связи с аналитическим представлением линии возникают задачи двух типов. Задачи первого типа заключаются в изучении свойств линии при помощи заранее данного уравнения этой линии. Такое изучение проводится средствами математического анализа и выходит за рамки аналитической геометрии. В самом деле, уравнение линии устанавливает функциональную зависимость между координатами точек втой линии н задача первого типа, по существу, представляет собой геометрическое исследование графика функции (см. главу 9 выпуска 1).
Задачи второго типа заключаются в выводе уравнения линии, заранее заданной геометрически (например, линии, заданной как геометрическое место точек, удовлетворяющих некоторым условиям), Примерами задач второго типа могут служить все рассмотренные в пп. 1 — 3 задачи (вывод уравнения окружности, циклоиды и спирали Архимеда). 5. Классификация плоских линий. Исходя нз аналитического представления линий относительно декартовых прямоугольных систем координат, устанавливают следующую классификацию плоских линий. Определение 1.
Линия называется а л г е б р а и ч е с к о й, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется уравнением Ф (х, у) = О, (4.1) в котором функция Ф(х,у) представляет собой алеебраический полинам е) . Определение 2. Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.
Определение 3. Алгебраическая линия называется линией порядка и, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат эта линия определяется уравнением (4.1), в коюром функция Ф(х,у) представляет собой алгебраический полинам и-й степени. "] То есть сумму конечного числа слагаемых вида омк"у', где а н 1- ЦЕЛЫЕ ИЕОтРНЦатЕЛЬНЫЕ ЧИСЛа, аи — НЕКОТОРЫЕ ПОСтОЯИНЫЕ. ттквнкния поввгхности и линии [гл. ь Иными словами, линией и-го порядка называется линия, определяемая в некоторой декартовой прямоугольной системе алгебраическим уравнением степени и с двумя неизвестными. Для установления корректности определений 1, 2 и 3 необходимо доказать следующее утверждение.
Теорема 4.1. Если линия в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени и, то эта линия и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат оаределяется алгебраическим уравнением той же степени и. Доказательство. Предположим, что линия Е в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением Ф(х, у)=0, (4.1) левая часть которого представляет собой алгебраический полипом степени и, т.
е. сумму слагаемых вида амх'у', где й и 1 — целые неотрицательные числа, причем наибольшее значение суммы 1+1 равно и, ам — некоторые постоянные, причем хотя бы для одной пары й и 1, составляющих в сумме и, постоянная ам отлична от нуля. Возьмем на той же плоскости любую новую декартову прямоугольную систему координат О'х'у'. Тогда, как доказано в 4 1 главы 3, для координат любой точки в старой и новой системах справедливы формулы преобразования (3.7). Чтобы получить уравнение линии Е в новой системе О'х'у', достаточно подставить в левую часть (4.1) на место х н у их значения, определяемые формулами (3.7). Мы получим при атом сумму слагаемых вида аы (а + аих' + а~,у') (Ь + а зх' + чту')~.
Отсюда ясно, что уравнение линии Ь в новой системе О'х'у' будет представлять собой алгебраическое уравнение степени не выиге, чем л. Если в проведенных рассуждениях поменять ролями системы Оху н О'х'у', то мы убедимся в том, что указанное алгебраическое уравнение (в системе О'х'у') имеет степень не ниже чем и (иначе переход от О'х'у' к Оху повысил бы степень уравнения). Таким образом, линия Е определяется в новой системе О'х'у' алгебраическим уравнением степени, равной ж Теорема 4.1 доказана. Примером алгебраической линии второго порядка может служить окружность (уравнение (4.3) которой в некоторой уРАВнение линии нА плоскости го( $0 декартовой прямоугольной системе является алгебраическим уравнением второй степени) . Примером т р а н с ц е н д е н т н о й линии может служить спираль Архимеда, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе не является алгебраическим (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
