1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Напомним, что определенная для любых значений аргументов функция Р(х,у,г) называется однородной функцией (степени и), если, каково бы ни было вещественное число й, справедливо равенство Р(йх, йу, нг) = йеР(х, у, г). (4.18) Докажем, что уравнение Р (х, у, г) = О, (4.19) ') Ибо уравиеиию л 0 удовлетворяют ююрдиваты любой точки, леасаэаеа иа илосиости Осу, и ие удовлетворяют координаты иа алиев точиа, ие лемешев иа этой илоскост>с уРАВнения повеРхности и линни !Гл.о в котором Р(х,у, г) является однородной функцией любой сгелени л, определяет коническую ловерхносто. Пусть Мо(хо,уо,го) — любая отличная от начала координат точка, лежащая на поверхности 3, определяемой уравнением (4.19).
Тогда справедливо равенство Р(хо уо го) О. (4.20) Достаточно доказать, что, какова бы ни была точка М(х,у,г), лежащаЯ на пРЯмой, пРоходЯщей чеРез точкУ Мо(хо Уо,го) н через начало координат О, координаты х, у и г этой точки удовлетворяют уравнению (4.19).
Так как векторы ОМ н бМо коллинеарны (как лежащие на одной прямой) и вектор ОМо является ненулевым, найдется (в силу теоремы 2.1) вещественное число й такое, что ОМ = = й ОМо. На основании линейных свойств координат вектора (см. п. 8 $1 главы 2) можно утверждать, что координаты вектора ОМ равны соответствующим координатам вектора ОМ„ умноженным на число й, т.
е. йхо, у=йуо, й Нз последних равенств и нз того, что г" (х, у,г) (как однородная функция некоторой степени л) удовлетворяет соотношению (4.18), получим Р (х. Ув 2) = г (Яхоэ куй кго) = й Р (хо> Уо 2о), а отсюда в силу равенства (4.20) окончательно будем иметь г(х, У,2) — 0 Доказательство того, что поверхность 5, определяемая уравнением (4.19) с однородной функцией г(х,у,г), является конической, завершено. Заметим, что прямые, целиком лежащие на конической поверхности, называются ее образующими и что все образующие (как это видно из проведенного доказательства) проходят через начало координат О.
Простейшим примером конической поверхности может служить круглый конус, определяемый уравнением хо + у' — го=О. Эта поверхность исследуется в п. 4 $ 3 главы 7. Функция г(х,у,г) = хо+уз — го, задающая ее уравнение, является однородной функцией второго порядка. 4. Параметрические уравнения линии и поверхности в пространстве. В п. 2 мы рассматривалн линию в пространстве как пересечение двух поверхностей. Возможен н очень естествен с кинематической точки зрения и другой подход к понятию линии в пространстве, основанный на рассмотрении этой линии как пути, пройденного материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону.
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ $21 ! 07 Как н для случая плоской линии (см. и. 2 $1), этот подход приводит к параметрическому представлению лнннн в пространстве, заключающемуся в том, что координаты х, у н г любой точкн данной линии задаются как непрерывные функции некоторого параметра ! (преставляющего собой время). Итак, прн таком подходе координаты х, у, г любой точки линии Ь задаются как трн функцин х=ф(О.
у=ф(2), г=х(~), (4,21) определенные н непрерывные в некотором промежутке изменения параметра й Конечно, этот способ определения лнннн в пространстве эквивалентен определению ее в виде пересечения двух поверхностей. Чтобы убедиться в этом, предположнм, что хотя бы одна (например, третья) нз функцнй (4.21) допускает обратную. В таком случае нз третьего равенства (4.21) получим, что ! = = у.-'(г), я, подставляя это значение ! и первые два равенства (4.21), получим уравнения двух поверхностей х = ф (х ' (г)], у = ф [Х ' (г)), пересечением которых служит данная линия. В качестве прнмера приведем параметрические уравнения окружности радиуса г) О, лежащей в координатной плоскостн Оху н имеющей центр в начале коордннат. В декартовой прямоугольной системе на плоскости Оху такая окружность определяется одним уравнением х2+у2= г2 (см.
п. 1 $1), в пространстве же эта окружность определяется двумя уравнениями: х2+уэ=г2, г=О, первое нз которых определяет цилнндрнческую поверхность, направляющей которой служит рассматриваемая окружность н образующая которой параллельна оси Ог, а второе уравнение определяет координатную плоскость Оху. Из п. 2 $1 мы уже знаем, что на плоскости Оху параметрнческне уравнения окружности х'+ у' = г2 имеют внд х=гсоз |, у = г юп 1, где О ( ! ( 2н. Очевидно, та же окружность в пространстве задается тремя уравнениями: х=гсоз2, у гз!и Г, г — О, причем параметр ! пробегает полусегмент О ( 1( 2н. Для параметрического задания поверхности координаты любой точки этой поверхности должны быть заданы как функции не одного, а двух параметров р н д.
Убедимся в том, что трн уравнения х=ф(р, д), у=ф(р, д), Е=Х(р. 0) (4.22) определяют в пространстве некоторую поверхность, УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ юв 1гл.е Для этого предположим, что хотя бы одна пара из трех уравнений (4.22) может быть разрешена относительно параметров р и о. Допустим, например, что нз первых двух уравнений (4.22) р н д могут быть выражены как функции х н у: р = = Ф! (х, у), о = Фт(х, у). Вставляя этн значения р н д в третье уравнение (4.22)„мы получим уравнение с тремя переменными г — х(Ф!(х, у), Фт(х, у)) =О, определяющее, как нам известно, некоторую поверхность*).
В качестве примера приведем параметрические уравнения сферы радиуса Г О с центром в начале координат: Х=Гсозйз!п!р, у=Г 5!п051пгр, н=гсозгр. Здесь параметры О и !р представляют собой угловые сферические координаты (долготу и широту) точек поверхности сферы (см. $4 главы 1). Для того чтобы все точки сферы обходились один раз, следует ограничить область изменения параметров промежутками О < О < 2п, О < !р < и.
б. Классификация поверхностей. В полной аналогии с классификацией плоских кривых устанавливают следующую классификацию поверхностей. Определение г. Поверхность называется а л ге бр а и ч е с ко й, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется алгебраическим уравнением с тремя переменными. Оиределение 2. Всякая не алгебраическая поверхность называется транс!)ендентной. Опредеяение 2. Алгебраическая поверхность называется и оверхностью порядка п, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется алгебраическим уравнением степени и с тремя переменными.
Для установления корректности этих определений необходимо доказать следующее утверждение. Теорема 4.2. Если поверхность в некоторой декартовой прямоугольной системе координат оиределяется алгебраическим уравнением степени и, то эта поверхность и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же стеиени и. Доказательство теоремы 4.2 вполне аналогично доказательству теоремы 4.1 и опирается на доказанное в $2 главы 3 у т в е р ж д е н и е: каковы бы ни были две произвольные декартовы прямоугольные системы координат, координаты х, у и г любой точки пространства относительно первой системы являются линейными фуксиями координат х', у' и г' той же ') Конечно, пря етон требуются некоторне ограничения.
ВРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ точки относительно второй системы. С помощью этого утверждения н рассуждений, полностью аналогичных тем, которые проводятся прн доказательстве теоремы 4.1, мы получим, что если поверхность 5 в некоторой декартовой прямоугольной снстеме Охуг определяется алгебранческнм уравненнем степени л, то эта поверхность в любой другой декартовой прямоугольной системе О'х'у'г' определяется алгебранческнм уравнением степени не выше л. Поменяв ролями снстемы Охуг н О'х'у'г, мы завершим доказательство теоремы 4.2.
3 а и е ч а ни е 1. Так же как н в случае плоской линии, вводится понятие расладаюгцейся алгебраической поверхности. За меч анне 2. Пространственная линия называется алгебраической, если она может быть определена как пересечение двух алгебраических поверхностей. Всякая не алгебраическая линия называется трансцендентной. 6. О пересеченин поверхностей и линий в пространстве. Для отыскания точек пересечения поверхностей нлн лнннй (нлн поверхностей и лнний) следует рассмотреть совместно уравнения, определяющие указанные геометрические объекты.
Решение полученной прн этом системы и определит нам координаты всех точек пересечення. Еслн полученная система не имеет решений, то точек пересечення нет. Так, например, если заданы две линии, первая нз которых определяется уравнениями Фг(х, у, г) = О н Фз(х, у, г) = О, а вторая — уравнениями Фз(х, у, г) = О н Фз(х, у, г) = О, то координаты точек пересечения этих двух линий (в случае, если точки пересечения существуют) обязаны быть решением системы чет ы р е х уравнений с т р е и я неизвестными: Ф, (х, у, г) =О, Фз(х, у, г) =О, Фз(х, у, г) = О, Ф,(х, у, г) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
