1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Так как чнсло неизвестных меньше числа уравнений, то последняя система, вообще говоря, не имеет решений, т. е. две линии в пространстве, вообще говоря, не пересекаются. 7. Заключнтельные замечания. Липин н поверхности выше второго порядка не входят в учебные курсы аналитической геометрия (нм посвящены специальные сочинения). В нашем курсе мы ограничимся изучением плоских линий н поверхностей первого и второго порядков. В главе б будут рассмотрены линии н поверхности первого порядка (нх называют также линейными образами е)).
В главе б изучаются плоские линии второго порядка, в главе 7— поверхности второго порядка. ') Терман «ляяейныйа объясняется тем, что в левой часты ураввення первого порядка стоят лннейнаа функция. ГЛАВА 5 Л И Н ЕЯ Н ЫЕ ОБРАЗЫ Эта глава посвящена всестороннему изучению прямых линий на плоскости н плоскостей и прямых линий в пространстве. Убедившись в том, что этими объектами исчерпываются все линейные образы (т. е. геометрические объекты, определяемые лииейнымн уравнениями), мы вводим в рассмотрение различные виды уравнений прямой и плоскости и останавливаемся иа их использовании для решения важнейших задач. $1. Различные виды уравнения прямой на плоскости 1.
Общее уравнение прямой. Докажем сначала, что если на плоскости п задана произвольная прямая линия Ь и фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху, то прямая ь определяется в этой системе уравнением первой степени. Достаточно доказать, что прямая 1. определяется уравнением первой степени при каком-то одном специальном выборе деиартовой прямоугольной системы на плоскости и, ибо тогда она будет определяться уравнением первой степени и при любом выборе декартовой прямоугольной системы на плоскости и (в силу теоремы 4.1). Направим ось Ох вдоль прямой Ь, а ось Оу перпендикулярно к ней.
Тогда уравнением прямой будет уравнение первой степени у= О. В самом деле, этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точки, лежащей иа прямой Е, и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей на прямой Е.. Утверждение доказано. Докажем теперь, что если на плоскости п фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху, то всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет относительно этой системы прямую линию. В самом деле, пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху и задано уравнение первой степени Ах+ Ву+ С=О, (5.1) он рдзличиын види эрдвиания примоя ид плоскости 111 в котором А, В и С вЂ” какие угодно постоянные, причем из постоянных А и В хотя бы одна отлична ог нуля.
Уравнение (5.1) заведомо имеет хотя бы одно решение хо, уо*), т. е. существует хотя бы одна точка Мо(хо, уо)„координаты которой удовлетворяют уравнению (5.!): А,+Ву,+С=О. (5.2) Вычитая из уравнения (5.1) тождество (5.2), мы получим уравнение А(х — хо)+ В(у — у,) = О, (5.3) эквивалентное уравнению (5.1). Достаточно доказать, что уран. пение (5.3) определяет относительно системы Оху некоторую прямую. Мы докажем, что уравнение (5.3) (а стало быть, и (5.1)) определяет прямую 1., проходящую через точку Мо(хо, уо) и перпендикулярную вектору и = (А, В) (так как А н В одновременно не равны нулю, то вектор п ненулевой).
В самом деле, если точка М(х,у) лежит на указанной прямой Ь, то ее координаты удовлетворяют уравнению (5.3), ибо в этом случае векторы п = (А, В) и МоМ = (х — хо, у — у,) ортогональиы н их скалярное произведение А(х — хо+ В(у уо) (5.4) ') В самом деле, А н В одновременно не равны нулю. Пусть, например, В еа О Тогда, взяв йронзвольное ко, мы получнм нз уравнения 15.1) уа = А С вЂ” — ко — — ° В В' равно нулю.
Если же точка М(х, у) не лежит на указанной прямой 1., то ее координаты не удовлетворяют уравнению (5.3), ибо в этом случае векторы и и МоМ не ортогональны, и поэтому их скалярное произведение (5.4) не равно нулю. Утверждение доказано. Уравнение (5.1) с произвольными коэффициентами А, В и С такими, что А и В не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой. Мы доказали, что прямая, определяемая общим уравнением (5.1), оргогональна к вектору и = (А, В). Этот последний вектор мы будем называть и ормал ьн ым вектором прямой (5.1).
Заметим, что если два общих уравнения Ах+ Ву+ С= О и А|х+ В~у+ С, = О определяют одну и гу же прямую, то найдется такое число г, что справедливы равенства А,=А), В,=В1, С, =Сг, (5. 5) т. е. коэффициенты Аь Вь Сг второго уравнения равны соответствующим коэффициентам А, В и С первого уравнения, умноженным на некоторое число г. ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ 1гл. о — '+ — =1 в а ь ° (5.6) называемому уравнением прямой в отрезках. В самом деле, так как все коэффициенты А, В и С отличны от нуля, мы можем переписать уравнение (5.1) в виде — С/А — С/В + —— н затем положить а = — С/А, Ь = — С/В. В самом деле, по условию прямые, определяемые уравнениями Ах + Ву + С = О и А ~х + В у + С~ = О, сливаются.
Стало быть, нормальные векторы и = (А,В) н п~ = (АНВ1) коллинеарны. Так как, кроме того, вектор п ненулевой, найдется (в силу теоремы 2.!) число ! такое, что п1 = и/, а отсюда и нз лииенного свойства координат вектора вытекают первые два нз равенств (5.5). Докажем справедливость и последнего равенства (5.5). Слившиеся прямые имеют общую точку Мо(хо,уо), так что Ахо+Вуо+ С = О и А~хо+В1уо+ С~ = О. Умножая первое из этих равенств на / и вычитая нз него второе равенство, будем иметь (А/ — А~)хо+(В/ — Во)уо+(С/ — С~) = О.
Отсюда в силу первых двух равенств (5.5) С/ — С~ = О, т. е. С~ = Сй 2. Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой в отрезках. Общее уравнение прямой (5.1) называется полным, если все его коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Если хотя бы один нз указанных коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным.
Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений. 1) С= О, уравнение Ах+ Ву= О определяет прямую, проходящую через начало координат (поскольку координаты начала удовлетворяют этому уравнению). 2) В = О, уравнение Ах + С = О определяет прямую, параллельную оси Оу (поскольку нормальный вектор этой прямой и (А,О) ортогонален оси Оу). 3) А = О, уравнение Ву + С = О определяет прямую, параллельную оси Ох (поскольку нормальный вектор этой прямой и = (О, В) ортогонален оси Ох). 4) В = О и С = О, уравнение Ах = О определяет ось Оу (в самом деле, эта прямая параллельна оси Оу и проходит через начало координат).
5) А = О, С = О, уравнение Ву = О определяет ось Ох (ибо эта прямая параллельна осн Ох и прокодит через начало координат). Рассмотрим теперь полное уравнение прямой (5.1) и покажем, что оно может быть приведено к следующему виду: й ц рйзличныв виды крйвнения прямоп на плоскости нз Заметим, что в уравнении «в отрезках» (5.6) числа а н Ь имеют простой геометрический смысл онн равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ох н Оу соответственно (отрезкн отсчитываются от начала коордннат, см рнс 5 !) Чтобы убедиться в этом, достаточно найти точки пересечения прямой определяемая уравнением (56), с осями координат Например, точка пересечения с осью Ох определяется нз совместного рассмотрения уравнения прямой (5.6) с уравнением у=О осн Ох Мы получнм координаты точки пересечения х = а, у = О Аналогично устанавливается, что коордннаты точки пересечения прямой (5.6) с Рис.бй осью Оу имеют внд х = О, у = Ь Уравнение прямой в форме «в отрезках» удобно нспользовать для построения этой прямой на чертеже 3 Каноническое ч) уравнение прямой.
Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть и а п р а нляющим вектором эгай прямой Иоставим перед собой задачу найти уравнение прямой, проходящей через данную точку М~(хну~) и имеющей заданный направляющий вектор а = (1, т) Очевидно, точка М(х,у) лежит на указанной прямой тогда н только тогда, когда векторы М~М = (х — хп у — у ) н с) = = (1,т) коллннеарны, т е тогда н только тогда, когда координаты этих векторов пропорпнональны (см.
следствне нз теоремы 2.!7) ч — к р — р е (5.7) Уравнение (5.7) н есть искомое уравнение прямой Это уравненне называют обычно каноническим уравнением прямой Заметим, что в каноническом уравнении (5.7) один нз знаменателей ! нлн пг может оказаться равным нулю (оба числа 1 н т равняться нулю не могут, нбо вектор а = (1, гп) ненулевой) Так как всякую пропорцйю а/Ь = с/й мы договорнлнсь понимать как равенство ай = Ьс, обращение в пуль одного из знаменателей в (5 7) означает обращение в нуль и соответствующего числителя В самом деле, еслн, например, 1= 0, то, поскольку т чь О, нз равенства 1(у — у~)= пг(х — х~) заключаем, что х — х1 —— 0 В заключение запишем уравнение прямой, проходящей через две данные точки М~(хи у1) и М,(хг, уз) (конечно, этн точкн считаются отличными друг от друга). Так как за направляю- ') Термин «канонический» 1от греческого киче»ч — правило.
предписание, образен) поивиаетсн здесь как «типовой» «траднцноииий». 83»к. 168 ЛИНЕИНЫЕ ОБРАЗЫ [ГЛ. Б прямой можно взять вектор [(=М,Мз = и прямая проходит через точку М,(хьу[), уравнения (5.5) получим уравнение иско- щий вектор такой = (хз — хь уз — у1) то из канонического мой прямой в виде к — х1 У вЂ” У1 й (5.8) хр х~ 4.
Параметрические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой элементарно получаются из канонического уравнения втой прямой. Примем за параметр [ величину, стоящую в левой и в правой частях (5.7). Так как один из знаменателей (5.7) отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра [ является вся вещественная осьл — оо ( [ ( С оо, Мы получим х — х~ — — И, у — у~ и[[ или окончательно х х,+И, у у,+и[[. (5,9) Уравнения (5.9) и есть искомые параметрические уравнения прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
