1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Подставляя найденные значения х« — х~ и у,— у~ в первую из формул (3.40), получим х« — «~ =Л(а ~ (х — х )+а (у — у«)]. эо пгнозглэовлнии дикавтовых пгямотгольных коовдиилт 1гл.э причем определитель ~аи ам ад( а=~ам вм взз~ ви им взз считается отличным от нуля: а чь О. В полной аналогии со случаем плоскости доказываются следующие свойства аффинных преобразований пространства: 1'. Последовательное выполнение аффикных преобразований пространства является аффинмым преобразованием пространства. 2'. Тождественное преобразование является аффинным. 3'. Преобразование, обратное данному аффинному, такзсе является аффикным.
4'. Аффинное преобразование пространства взаимно однозначно. Основное свойство аффннного преобразования пространства формулируется следующим образом: при аффимном преобразовании пространства плоскости переходят в плоскости, прямые в прямые, параллельные плоскости и прямые переходят в параллельные плоскости и прямые.
Геометрический способ задания аффнниых преобразований пространства основан на следующем утверждении: аффимное преобразование пространства определено однозначно, если заданы образы четырех точеК не лежащих на одной плоскости, и зти образы также не лежат на одной плоскости. Как н в случае плоскости, основным ннварнантом аффннного преобразования пространства служит простое отношение трех точек. 6. Ортогональиые преобразования. Линейное преобразование на плоскости них+ а$2у+ а!зв у'=амх+аму+а (3.42) называется ортогональным, если выполняются соотношения ап + а'„= 1, а,'з+ а~ 1, аиа„+ омам = О.
(3.43) Из соотношений (3.43) следует, что Л=~,"" *~МО. Поэтому ортогональное преобразование всегда является аффииным. Докажем основное свойство ортогональных преобра« зований. Теорема 8.4. При ортогональных преобразованиях сохраняются расстояния между тачками аз) лннаиныа преоврлзовзння если выполняются соотношения аиа„+а„а,+а„ам=О, а„а, + а агз + азр„= О, (3.45) а ив и + ама„+ а а, = О.
называется ортогональным, а' +а, '+а' =1 а'„+а' +а' 1, ') Например, любой треугольннн преобразуется в равный треугольннп (равенство по трем сторонам). ° ') Этн свойства становятся особеяно пагляднммп, еслн рассматривать ортогональное преобразованне нан дввженне. Доказательство. Пусть точки М~(хьу1) н Мз(хжуз) посредством ортогонального преобразования (3.42) переводятся соответственно в точки М',(хи у,) и М,'(х,', у,'). Требуется доказать, что отрезки М,М, и М',М, имеют равные длины. С помощью формул (3.42) н (3.43) получаем ~М',М',)з = (хз' — х',]'+ (у, з— у',]'= =(аи(х,— х,)+аз(уз — у,))'+ (ат1(хз — х,)+а„(у,— у,))'= (аз + аз ) (х — х,)з + (ат + аз ) (у — у,)з + + 2 ((нам + аз~уст) (хз — х,) (у — у,) = =(хз — х,)'+ (у, — уДз=) М,М, (з. Итак, ~ М,М ) = ~ М',М' ~. Теорема доказана.
Замечание. Так как прн ортогональных преобразованиях расстояния сохраняются, то любая фигура на плоскости преобразуется в равную ей фигуру'). Иными словами, ортогональное преобразование на плоскости можно рассматривать как движение этой плоскости. При движении ортогональная система координат переходит в ортогональную систему координат, Этим можно объяснить термин ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования обладают следующими свойствами е*): 1'.
Последовательное выполнение двух ортогональных преобразований есть ортогональное преобразование. 2". Тождественное преобразование х' х, у' = у является ортогональным преобразованием (для этого преобразования соотношения (3.43), очевидно, выполняются). 3'. Преобразование, обратное ортогональному, также является ортогональным. Линейное преобразование в пространстве х' = аих+ а„у+ апх+ ам, у'= а„х+ аму+ амх+ а,з, х = амх + аму + азах + аы Оз приоврлзовлнив пяклртовых прямоугольных координат згл з Ортогональное преобразование является' аффииным. Справедливо следующее основное свойство ортогональных преобразований: при таких преобразованиях сохраняются расстояния менсду точками.
Доказательство может быть проведено в полной аналогии с доказательством теоремы 3.4. Ортогональные преобразования в пространстве обладают следзтющнми свойствамн. 1. Последовательное выполнение ортогональных преобразований является ортогональным преобразованием. 2'. Тождественное преобразование х' = х, у' = у, г' = г— ортогональное преобразование. 3'. Преобразование, обратное ортогональному, также ортогональное. $4.
Проективные преобразования Проективными преобразованиями на плоскости называются преобразования вида х аэая+ пазу + а|з ааэх + пазу + ааз ' у' = " *' ", (3.46) азах + пазу + ааз коэффициенты аи которых удовлетворяют условию ') а~а ааз ааа ~ Дааз аа, аэз азз ~ чьО. ааа ааз азз При проектнвном преобразовании (3.46) плоскости особую роль играет прямая 1., определяемая уравнением аз,х+аыу+азз =О.
') Геометрвческп зто условпе озпзчзет, что трп прямые аих+а,ау+ам= О, амх+аму+ам= О я азал+аму+азз О яе пересекзкзтся в савой точке (см. и. 5 э 2 главы 3). Для точек этой прямой знаменатели в выражениях для х' и у' (см. (3.46)) обращаются в нуль, и поэтому преобразование (3.46) не определено для точек этой прямой. Отметим, что проективное преобразование инвариантно относительно выбора декартовой системы координат, так как формулы перехода от одной декартовой системы координат к другой линейны и поэтому прн переходе к новой системе координат вид преобразований (3.46) ие меняется. Непосредственной проверкой можно убедиться, что последовательное проведение двух проективных преобразований является проективным преобразованием, тождественное преобразование и преобразование, обратное проективному, †так проективные преобразования. При проективных преобразованиях точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Основным инвариантом проективного преобразования является так называемое сложное (ангармоническое) отношение (АВСР) любых четырех точек А, В, С и Р на прямой, которое определяется как частное двух простых отношений: (АВСР) = (АСВ): (АРВ).
Инвариантность сложного отношения '(АВСР) четырех точек прямой может быть обоснована так же, как и ннвариантность простого отношения при аффинных преобразованиях. Проективными преобразованиями в пространстве называются преобразования вида а„г+ вззу+ ааг+ а» в«г + аззу + а«г + а» ' у а«г + аззу + аззг+ гзз а«г+аззу+аззг+а» ' з аз~г + в»у + аззг + а» в«г + в»у + еззг+ а» для которых четыре плоскости ацх + а,зу+ азат+ азз О, а„х+ ему+ амх+ ам — — О, амх+ а»у+ азах+ ам О, амх+ а„у+ азах+ ໠— — О не пересекаются в одной точке.
Отметим, что ироективное преобразование в пространстве не определено для точек плоскости, определяемой уравнением аз,х + амд + аззх + а» = О. Непосредственной проверкой можно убедиться, что последовательное проведение двух проекгивных преобразований, тождественное преобразование н преобразование, обратное проективиому, †так проективные преобразования. При проектнвных преобразованиях точки, лежащие в одной плоскости, переходят в точки, также лежащие в одной плоскости, а точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой. Основным ннварнантом проективного преобразования в пространстве является сложное отношение (АВСР) = (АСВ): (АРВ) любых четырех точек А, В, С и Р на прямой.
ГЛАВА 4 УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ В этой главе рассматривается один нз важнейших вопросов аналитической геометрии — вопрос об аналитическом представлении линии на плоскости и поверхности и линии в пространстве при помощи уравнений, связывающих их координаты').
Обсуждаются простейшие задачи, связанные с таким аналитическим представлением, и приводится классификация плоских линий и поверхностей. Доказывается, что порядок алгебраической линии (и соответственно поверхности) не зависит от выбора декартовой прямоугольной системы. $ 1. Уравнение линни на плоскости 1. Понятие об уравнении линни.
Предположим, что на плоскости и иам заданы: Ц декартова прямоутольная система координат Оху и 2) некоторая линия Е. Рассмотрим некоторое уравнение, связывающее две переменные величины х н у е') ф(х, у) =О. (4.1) Определение. Уравнение (4.1) называется уравнением линии г. (относительно заданной системы координат), если етому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии г'., и не удовлетворяют координаты х и у ни одной точки, не лежащей на линии Ь.
С точки зрения этого определения сама линия х. представляет собой (в заданной системе координат) геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (4.1). ') По поводу самого понятия лапин (нли соответственно поверхности) огсылзем читателя и главе 11 выпуска 1 изстояпгего курса. ее) Рзвевсгво Ф(х, р) О, где Ф(х, т) — зздзииея фуннцня двух переменных к я у, пззывеегся уравнением, если зго ревеиство справедливо не для всех пзр веигествеввых чисел к, у.
Равенство Ф(л, Е) О, справедливое для всех пзр выиествениых чвсел х, у, называется гоесдвстеом. эялвияния линии ИА плоскости Если (в заданной системе координат) рассматриваемое уравнение вида (4.1) является уравнением линии 1., то мы будем говорить, что это уравнение определяет линию 1.. 3 а меч а н не. Нетрудно указать такое уравнение вида (4.1), которое либо определяет геометрическяй образ, отличный от того, что мы привыкли понимать под термином «линия», либо вообще не определяет никакого геометрического образа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
