1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(2.51) Если се — орт вектора с, то правая тройка есея образует дакартов прямоугольный базис. Разложим вектор а по этому базису, учитывая, что координаты равны проекциям вектора а на базисные векторы: а=е пр,а+со ° пр,а+и пр а. (2.52) Умножая векторно (2.52) на (2.51) и учитывая, что [еи] = — се, [сои] = е, [яи] = 0 (сравните с формулами (2.46) ), получим [а[Ьс]]= — со пр,а пр,Ь ° !с]+е пр,а ° пр,Ь ° (с]. (2.53) Сравнивая формулы (2.50) и (2,53), будем иметь аЬ+[)с= — се ° пр,а пр,Ь ° ]с[+е ° пр,а ° пр,Ь ° [с[.
(2.54) Остается умножить обе части (2.54) скалярно на е и учесть, что Ье = пр, Ь, сее = О, ее = 1. Окончательно получим а пр,Ь=пр,а пр,Ь [с[ или а=]с] ° пр,а=ас. Для доказательства равенства [) = — аЬ следует в проведенных рассуждениях поменять ролями векторы с и Ь и учесть, что [а [сЬ] = — [а[Ьс]]. Теорема доказана. 3 а меч анне. Дадим другое докаэательство теоремы 2.19, основанное на спепнальном выборе декартовой прямоугольной снстемы н на непосредственном просчете в коордняатах всех вырахгеннй, участвующих в формуле (2.49). Направнм ось Ог вдоль вектора с, а ось 8р воаьмем в плоскоств векторов И н с.
Тогда векторы а, Ь н с будут нметь следующяе координаты: =(Х, У, Х), Ь=(О, У', Г), с (О, О, 2"). Прямеяяя формулу для векторного проваведення (2.46), будем иметь (Ьс) = = (У'Я", О, 0), а отсюда по той же формуле (2.46) (а(ьсц-(о, гу л", -УУ'л"). (2.65) Далее, очевндно, что (ас) сс", (аЬ) УУ'+Ел', а поатому ь( )-(о, у'лл, х'хг"), (2.66) с(аЬ) (О, О, УУ'2 + ЯЯ'Я ). (2.67) Ыа сопоставлення равенств 12.65), (2.56) в (2.57) вытекает формула (2.49). ГЛАВА 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ В этой главе устанавливаются формулы, по которым преобразуются координаты произвольной точки плоскости (или соответственно пространства) при переходе от одной декартовой прямоугольной системы к произвольной другой декартовой прямоугольной системе.
Мы доказываем, что координаты произвольной точки относительно первой системы являются линейными функциями координат той же точки М относительно второй системы. Попутно мы устанавливаем, что если две дерактовы прямоугольные системы на плоскости и (в пространстве) образованы парами (тройками) одной ориентации, то одна из этих систем может быть совмещена с другой посредством параллельного переноса и последующего поворота на некоторый угол ~р в плоскости и (вокруг некоторой оси в пространстве).
.7 Ю ,э Рис. 3.1 $ 1. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости Пусть на плоскости и заданы две произвольные декартовы прямоугольные системы координат: п е р в а я, определяемая началом О и базисными векторами 1 и ), у и в т о р а я, определяемая началом О' и базисными векторами 1' и (рис. 3,1). ,г' у Поставим перед собой цель — выразить координаты х и у произвольной точки М плоскости и относительно первой системы координат через координаты х' и у' этой же точки М относительно второй системы координат. Заметим, что координаты х и у совпадают с координатами вектора ОМ в разложении его по базису Ц, а координаты х' и у' совпадают с координатами вектора О'М в разложении его % 1) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ тг по базису 1')', т.
е ОМ = х1+ у), (3.1) О М = х'!' + у )', (3.2) Если обозначить через а и Ь координаты начала 0' второй системы относительно первой системы, то 00'=а!+ Ь). (З.З) Так как любой вектор на плоскости и можно разложить по базису Ц, то найдутся числа ац, а~з, ам и агз такие, что 1' = ац! + а з), )' = ай!+ аж).
(3.4) В силу правила треугольника сложения векторов (см. рис. 3.1) ОМ = 00'+ 0'М. (3.5) Вставляя в правую часть (3.2) значения 1' и )', определяемые формулами (3.4), н после этого подставляя в (3.5) значения ОМ, 0'М и 00', определяемые формулами (3.1), (3.2) и (3.3), и группируя слагаемые относительно ! и ), получим ') х) + у1 = (а + ацх'+ ому ) 1+ (Ь + а зх'+ ажу') 1. (3 6) В силу единственности разложения вектора по базису из равенства (3.6) получим искомые формулы преобразования координат х а+ ацх'+ аз,у', у = Ь + аах'+ аму'. (З.У) ам —— соз ()'1), азз = сов()')). (3.8) *) Возможность сгруппировать слагаемые относительно ! в 1 вытекает нз свойств линейных операций над векторамн (см.
п. 2 $ ! главы 2). ") Учитываем также, что скалврное произведение двух едипвчных векторов равно косинусу угла между нина Мы приходим к следующему замечательному выводу: каковы бы ни были дее произвольные декартовы системы на плоскости п, координаты любой точки плоскости п относительно первой системы являются л и н е й н ы м и ф у н к ц и л м и координат той же точки относительно второй системы.
Установив этот фундаментальный алгебраический факт, перейдем к геометрической интерпретации полученных формул. Для этого договоримся обозначать символом соз(аЬ) косинус угла между векторами а и Ь. Помножая каждое из равенств (3.4) скалярно сначала на 1, а затем на 1 и учитывая, что П = 1, И = 1, Ц = О, получим ее) ац = соз (1'1), а~з соз (1')), пгаовваэовлиив днклвтовых пвямовтольных коовдинлт [гл.э Будем существенно различать следующие два случая: 1) случай, когда базисные векторы направлены так, что оба кратчай« ших поворота от ! к ) и от 1' к )' совершаются в одном направлении (лпбо оба по часовой стрелке, либо оба против часовой стрелки), 2) случай, когда базисные векторы направлены так, что кратчайшие повороты от 1 к ) и от !' к )' совершаются в противоположных направлениях.
В обоих случаях обозначим через ф угол между базнсными векторами 1 и !', отсчитываемый в направлении, отвечающем кратчайшему повороту от 1 к ). Тогда ап = соз ф. В первом случае угол между баэисными векторами ) и )' также равен ф, и поэтому первая система координат может быть совмещена со второй посредством параллельного переноса вдоль вектора 00' и последующего поворота в плоскости и вокруг начала на угол ф (этот случай иэображен на рис.
3,1). Во втором случае угол между базис- у ными векторами ) и )' равен и — ф и перв' — — — вую систему координат невозможно совме,ь стига со второй посредством параллельного переноса и поворота, не выводящего из плоскости и (нужно еще изменить направь" ление оси ординат на противоположное или, что то же самое, взять изображение Рнс.
3.2 плоскости и в плоском зеркале. Второй случай изображен на рис, 3.2). Пользуясь формулами (3.8), подсчитаем для обоих случаев коэффициенты ап, аю, аю и авв '). В первом случае получим: ап — — созф, а,в созф, ам из~ соз — — ф = 51п ф, ив~~сов — + ф) = з)п ф.
~,2 ) ч 2 Во в т о р о м случае получим: ап — — соз ф, акк сов(п — ф) = — созф, а,в —— соз (2 — ф)=эшф, ам соз( 2 — ф)=з(пф. Таким образом, в п е р в о м случае формулы преобразования координат (З.У) принимают вид х =а+ х'созф — у' з!и ф, у=Ь+ х'з1п ф+ у сов ф. (3.9) Во втором случае соответствующие формулы преобразования принимают вид х=а+х созф+у'з1пф, у=Ь+х э1пф — у'созф. (3.18) Если мы примем договоренность рассматривать только такие системы координат, у которых кратчайший поворот от первого ') Все углы отсчнтываютсн в направлении, отвечающем кратчайшему повороту от ! к !.
5 и) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ 79 базисного вектора ко второму происходит против часовой стрелки (будем называть такие системы правыми), то второй случай будет исключен и любое преобразование координат будет определяться формулами (3.9). Приходим к выводу, что, каковы бы ни были две правые системы координат Оху и 0'х'у', первая из них может быть совмещена со второй посредством параллельного переноса вдоль вектора 00' и последующего поворота вокруг начала на некоторый угол ср. Разрешая уравнения (3.9) относительно х' и у', получим обратные формулы, выражающие координаты х' и у' любой точки М относительно второй системы через координаты ее относительно первой системы*): х'=(х — а)созф+(у — Ь) з(пф, у'= — (х — а) з)пф+ (у — Ь) созф. ) (3.11) Общее преобразование координат (3.9) распадается на сумму двух преобразований, одно из которых отвечает только параллельному переносу системы, а другое — только повороту системы вокруг начала на угол ф.
В самом деле, полагая в формулах (3.9) угол поворота ф равным нулю, получим формулы преобразования координат лри параллельном переносе системы вдоль вектора 00' = = (а,Ь): х=а+х', у=Ь+у' (3.12) Полагая в тех же формулах (3.9) координаты а и Ь вектора 00' равными нулю, получим формулы преобразования координат яри повороте системы вокруг начала на угол ф (в направлении против часовой стрелки) «=х'созф — у'з1пф, у=х'з(пф+у'созф. (3.13) 9 2. Преобразование декартовых прямоугольных координат в пространстве 1.
Общие формулы преобразования. Пусть в пространстве заданы две произвольные декартовы прямоугольные системы координат: п е р в а я, определяемая началом 0 и базисными векторами Цк, и вторая, определяемая началом 0' и базис- ными Векторами Г)Ъ'. Поставим перед собой кель — выразить координаты х, у и з произвольной точки М относительно первой системы через координаты х', у' и г' этой же точки М относительно второй системы.
*) Таа иак определитель системы (3.9) равен схииица, то эту систему можно разрешить отиоситсльио к' и у'. ЭО ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ [ГЛ. 3 Заметим, что координаты х, у, г совпадают с координатами вектора ОМ в разложении его по базису Цк, и координаты х', у', г' совпадают с координатами вектора 0'М в разложении его по базису 1'1'к', т. е. 0 М = х[+ у) + гк, (3.14) 0'М = х'1'+ у')'+ ЕЪ'. (3.15) Если обозначить через а, Ь н с координаты начала 0' второй снстемы относительно первой системы, то 00 = а1 + Ь) + сй. (3.16) Так как любой вектор можно разложить по базису Цй, то найдутся девять чисел а[ (1= 1, 2, 3; пз = 1, 2, 3) таких, что з =аз[1+а[А)+аззе,)'=ал1+аи)+аззк, к'=азз1+азз)+аиз[г.
(3.17) В силу правила треугольника сложения векторов ОМ = 00'+ 0 М. (3. 18) Вставляя в правую часть (3.15) значения 1', )' н й', опреде- ляемые формулами (3.17), н после этого подставляя в (3.18) значения ОМ, 0'М н 00', определяемые формулами (3.14), (3.15) н (3,16), н группируя слагаемые относительно 1, ) н к, получим х1 + у) + гй (а+ а, [х'+ Оь[у'+ аз[э') з + + (Ь + а зх'+ иззу'+ амг') ) + (с + а зх'+ ах[у'+ аззу') й. (3.19) В силу единственности разложения вектора по базису нз равенства (3.19) получим искомые формулы преобразования ко- ординат: х а+ а,[х'+ аз[у'+ аз,г', у = Ь + а,зх'+ атзу'+ а,зг', (3.20) г = с + а[эх' + иззу'+ аззг'.
Итак, доказано следующее фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две проиэвольныв декартовы прямоугольные системы координат, координаты х, у и г любой точки пространства относительно первой системы являются линейными функциями координат х', у' и г' той жв точки относительно второй системы. Умножая каждое нэ равенств (3.17) скалярно сначала на 1, а затем на ) н на й, получим следующие выражения для 31 Ф 81 пРВОБРАЗОВАние кООРдиидт.а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
