1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 26
Текст из файла (страница 26)
К этому же результату приводит и предположение о том, что пересекаются в одной точке любые другие две из указанных трех прямых (впрочем, последнее ясно из соображений симметрии). 6. Нахождение прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых и удовлетворяющей еще одному условию. Пусть требуется найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения двух неколлинеарных ') прямых, определяемых уравнениями Азх+ Взу+ Сг = 0 и Азх+ Взу+ Сз — — О, и, ироме того, удовлетворяющей одному из следующих трех условий: а) отсекающей на осях отрезки равной длины; б) параллельной заданной прямой Азх + В,у + Сз —— 0; в) перпендикулярной заданной прямой Азх+ Взу+ Сз = О.
Искомая прямая принадлежит пучку а(Ах+ В у+ Сг)+ 8(Азх+ Ву+Сз)=0. (530) Для определения постоянных а и (з (а точнее, их отношения) будем использовать дополнительное условие. В случае а) мы должны собрать в (5.30) коэффициенты при х и у и приравнять друг другу м о дул и этих коэффициентов (мы приравниваем друг друг не сами коэффициенты при х и у, а их модули, так как требуется, чтобы отсекаемые иа осях отрезки имели рави ю длину, а не величину). В результате получим уравнение 1сзАз+ 5Аз ~=1()Вз+ аВз ~ или а(Аз -з- Вг) = = — 5(Аз ч- Вз). Заметим, что обе круглые скобки обратиться в нуль не могут (так как прямые Азх+ Взу+ Сз =0 и Азх+ + Взу+ Сз=О ие коллннеариы), и, стало быть, из последнего ') Прямые называются леколлнлелрлымн, еслн онн не параллельны н не совпалают. 1зв ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ ~гл.
з равенства, задавая произвольно один из коэффициентов а н (1, мы найдем другой из этих коэффициентов. В случае б) учтем, что у двух параллельных прямых коэф- фициенты при х н у пропорциональны (см. $1, п. 6, условие (5.13) ). Таким образом, мы получим аА, + йАз ап, + Рлз А. В, нли а(А,ВЗ вЂ” В,АЗ) = 5 (ВААз АЗВз). Заметим, что в последнем равенстве обе круглые скобки не мо- 7 т обратиться в нуль (иначе бы прямые Азх+ В1у+ Сз =0 и Ах+ Взу+ Сг=О оказались коллинеарными), и поэтому из последнего равенства, задавая произвольно один из коэффициентов а и 5, мы найдем другой из этих коэффициентов.
В случае в) используем для прямой (5.30) и прямой Азх+ + В,у +- С, = 0 условие перпендикулярности (5.14) (см. 3 1, п. 6). В результате получим (аА, + 5АЗ)Аз+(аВ1+()Вз)ВЗ вЂ”вЂ” -0 или а(А~АЗ+В1Вз) = — (1(АЗАз+ ВЗВз). Заметим, что обращение в нуль обеих круглых скобок последнего равенства невозможно (иначе мы получили бы, что — = — и прямые Азх+ А~ Аз в, в + В1у + Сз — — 0 и Азх + Взу + Сз = 0 коллинеарны). Таким образом, задавая в указанном равенстве произвольно один из коэффициентов а и (), мы определим нз него другой из этих коэффициентов.
й 3. Различные виды уравнения плоскости 1. Общее уравнение плоскости. Содержание этого пункта полностью аналогично содержанию и. 1 $ !. Мы докажем два утвеьождення. 1. Если в пространстве задана произвольная плоскость и и фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Охуг, то плоскость п определяется в этой системе уравнением первой степени. 2'.
Если в пространстве фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Охуг, то всякое уравнение первой степени с тремя переменными х, у и г определяет относительно этой системы плоскость. Для доказательства первого утверждения достаточно установить, что плоскость и определяется уравнением первой степени при каком-то одном специальном выборе декартовой прямоугольной системы, ибо тогда она определяется уравнением первой степени н при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы (в силу теоремы 4.2). Расположим оси Ох и Оу в плоскости п, а ось Ог направим перпендикулярно этой плоскости. Тогда уравнением плоскости и будет уравнение первой %з1 разлнчиыв виды врдвнания плоскости 127 степени к =О. В самом деле, этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точки, лежащей на плоскости п, и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей на плоскости и.
Утверждение 1' доказано. Для доказательства утверждения.2' фиксируем произвольную декартову прямоугольную систему Охуг н рассмотрим произвольное уравнение первой степени Ах+ Ву+ Са+ О = О, (5.31) в котором А, В, С и Π— какие угодно постоянные, причем из постоянных А, В и С хотя бы одна отлична от нуля. Уравнение (5.31) заведомо имеет хотя бы одно решение хо, уо, ко*), т.
е. существует хотя бы одна точка Мо(хо, уо,хо), коордйнаты которой удовлетворяют уравнению (5.31): Ахо+Вуо+Сзо+ 0=0. (5.32) Вычитая из уравнения (5.31) тождество (5.32), получим уравнение А (х — х,) + В (у — у,) + С(х — х,) = О, (5.33) эквивалентное уравнению (5.31). Достаточно доказать, что уравнение (5.33) определяет относительно системы Охух некоторую плоскость. Мы докажем, что уравнение (5.33) (а стало быть, и уравнение (5.31)) определяет плоскость п, прокодящую через точку Мо(ко,уо,хо) и перпендикулярную вектору п=(А,В,С) (так как хотя бы одна из постоянных А, В и С не равна нулю, то вектор п ненулевой). В самом деле, если точка М(х, у, х) лежит на указанной плоскости и, то ее координаты удовлетворяют уравнению (5.33), ибо в этом случае векторы п =(А, В, С) и МоМ (х — кы у †, х — ко) ортогональны и их скалярное произведение А(х — хо)+ В(у — уо) + С(х — хо) (5.34) равно нулю.
Если же точка М(х,у, к) не лежит на указанной плоскости и, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (5.33), ибо в этом случае векторы и и МоМ не ортогональиы и поэтому их скалярное произведение (5.34) ие равно нулю. Утверждение 2 доказано. Уравнение (5.31) с произвольными коэффициентами А, В, С и 0 такими, что из коэффициентов А, В и С котя бы один отличен ог нуля, называется общим уравнением плоскости.
) В самом деле, хотя бы одна ю постоянных А, В, С отлична от нуля. Пусть, например, С чь О. Тогда, взяв произвольные хв н уь получям из урав- А В пения !5.3!) гв — — хо — — Ыо С С ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ [Гл .з Мы доказали, что плоскость, определяемая общим уравнением (5.31), ортогональна к вектору п =(А, В, С). Этот последний вектор мы будем называть нормальным вектором плоскости (5.31).
Заметим, что если два общих уравнения Ах+Ву+Сг+0=0, Ах+Ву+Се+0,=0 определяют одну и ту же плоскость, то найдется такое число [, что справедливы равенства А,=А[, В[=В[, С[ — — С[, Р,=ОС т. е. коэффициенты А[, В[, С[ и Р1 второго уравнения равны соответсвующим коэффициентам А, В, С и Р первого уравнения, умноженным на некоторое число [. Доказательство этого утверждения вполне аналогично доказательству утверждения, содержащегося в замечании в конце п. 1 $1. Мы предоставляем читателю провести его самому.
2. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Общее уравнение плоскости (5.31) называетея полнымм, если все его коэффициенты А, В, С и Р отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным. Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений; 1) 0 = О, уравнение Ах+ Ву+ Сг = О определяет плоскость, проходящую через начало координат (поскольку координаты начала удовлетворяют этому уравнению). 2) А = О, уравнение Ву+ Сг + Р = О определяет плоскость, параллельную оси Ох (поскольку нормальный вектор этой плоскости и =(О, В, С) перпендикулярен оси Ох). 3) В =О, уравнение Ах+Се+ 0 = О определяет плоскость, параллельную оси Оу (ибо этой оси перпендикулярен нормальный вектор п = (А, О, С) ) .
4) С= О, уравнение Ах+ Ву+ 0 = О определяет плоскость, параллельную оси Ог (ибо этой оси перпендикулярен нормальный вектор п =(А, В, О)) . 5) А = О, В = О, уравнение Сг + Р = О определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Оху (ибо эта плоскость параллельна осям Ох н Оу). 6) А = О, С = О, уравнение Ву+ 0 = О определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Охг (ибо эта плоскость параллельна осям Ох и Ог).
7) В = О, С =О, уравнение Ах + 0 = О определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Оуг (ибо эта плоскость параллельна осям Оу и Ог). 8) А = О, В = О, Р = О, уравнение Сг = О определяет координатную плоскость Оху (нбо плоскость параллельна Оху и проходит через начало координат). РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ !29 9) А = О, С = О, 0 = О, уравнение Ву = О определяет координатную плоскость Охг (ибо плоскость параллельна Охг и проходит через начало координат). 1О) В = О, С = О, В =О, уравнение Ах = О определяет координатную плоскость Оух (нбо плоскость параллельна Оух и проходит через начало координат). Рассмотрим теперь полное уравнение плоскости (5.31) и покажем, что оио может быть приведено к следующему виду: — + — + — =1 х р 2 а с (5.35) называемому уравнением илоскоста в отрезках.
В самом деле, так как все коэффициенты А, В, С и В отличны от нуля, мы можем переписать уравнение (5.31) в виде ') Любые две пересепаюпгиеся плоскости образуют два угла, в сумме равиыл и. Нам достаточио определить одни пз этих углов. 9 Зэк НП и затем положить а= — В/А, Ь вЂ” В/В, с= —.О/С. Заметим, что в уравнении «в отрезках» (5.35) числа а, Ь и с имеют простой геометрический смысл: они равны величинам отрезков, которые отсекает плоскость на л осях Ох, Оу и Ох соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат, см. рис. 5.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
