1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Записывая смешанное произведение указанных трех векторов в координатах (см. п. 7 э 3 гл. 2), приходим к следующему необходимому и достаточному условию принадлежности двух прямых Е, и Ег одной пло- скости ! кг — х, уг — у, ег — е,1 гг ш, 1= 6. гг шг ггг (5.58) Если прямые Ег н Ег удовлетворяют условию (5.58), то они либо пересекаются, либо параллельны. Так как условие параллельности прямых Ег и Ег имеет вид (5.56), то длл пересечения прямых Е~ и Ег необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли условию (5.58) и чтобы нарушалась хотя бы одна иэ пропорций 1~/1г = тг/тг = лг/пе.
6. Угол между прямой н плоскостью. Условия параллельности н перпендикулярности прямой и плоскости. Рассмотрим плоскость п, заданную обшнм уравнением Ах+Ву+ Се+ 1г = О, *) Кек и всюду выше, лювую пропорцию а)Ь с)В повцмвем в смысле ревепстве ай ° Ьс, |зв ЛИНЕННЫЕ ОБРАЗЫ [гл. $ н прямую Е, заданную каноническнми уравненнямн — '= у — у~ я — е, и и Поскольку угол ~р между прямой Е и плоскостью и является дополнительным к углу ф между направляющнм вектором прямой ц = (1, т, п) н нормальным вектором плоскости п = | = (А, В, С) (рнс. 5.10), то нз определення и скалярного произведення цп = )ц) )п(созф н г нз равенства созф =з(п<р мы получим для определения угла ф между прямой г. и плоскостью и следующую формулу: Аг+ Вы+ Сп з(п у— м о .са'сс ~я~~+ Условие параллельности прямой Е и плоРнс.
ВАЕ скости и (включающее в себя принадлежность /. к и) эквивалентно условню перпендикулярности векторов и н ц н выражается равенством нулю скалярного пронзведення этих векторов: А1 + Вт+ Сп = О. (5.59) Условие перпгндикуляркосги прямой Е и плоскости и эквивалентно условию параллельности векторов и н д н выражается пропорциональностью координат этих векторов '): А/1 = В/т = С/п.
х — х1 у — у, е — я 7. Условия принадлежности прямой — =— ае н к плоскостн Ах+ Ву+ Сх+ Р = О. Этн условня выражаются двумя равенствами: Ах, + Ву, +Сх, + Р=О, А1+ Вт+Сп=О, ( ) 5.60 х-х~ у — о1 н — е, яе п (5.ЕЦ е) Как всегда, всякую нропорнню о/Ь с/И ноннмаем н смысле равенстеа аа Ьс. первое из которых означает, что точка М~(хи умх~), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе есть условие параллельности прямой н плоскости (5.59). 8.
Связка прямых. Совокупность всех прямых, проходяи(их через данную точку М1(хиуьх~), называется связкой прямых (с центром в точке М~). Легко убедиться в том, что уравнения связки прямых с центром в точке М~(хьуьз~] нмеют внд з н задачи нх пэямтю и плоскость в пэостэанствк 1ЗВ где 1, ив и и — какие угодно числа, ие равные одновременно нулю. В самом деле, всякая прямая, определяемая уравнениями (5.61), проходит через точку М1(хо уьхв). С другой стороны, если Ь вЂ” наперед заданная прямая, проходящая через точку Мв(хь уь х,), то эта прямая однозначно определяется заданием, кроме точки М~(хь уьхв), еще направляющего вектора а = = (1,ив,л) и потому определяется каноническими уравнениями (5.51), совпадающими с уравнениями (5.61).
$5. Некоторые задачи иа прямую н плоскость в пространстве 1 . Условие пересечения трех плоскостей в одной и только в одной точке. Для того чтобы три плоскости, соответственно оп- ределяемые уравнениями А,х+ В,у+ С,х + О, = О, Авх+ Вву+Сэг+Вв=О, Аэх + Вву + Свх+ Вв = О. пересекались в одной и только в одной точке, необходимо и до- статочно, чтобы был отличеи от иуля определитель А, В, Св~ Ав Вв Св~, (5.63) Ав Вв Св В самом деле, в этом и только в этом случае система (5.62) имеет единственное решение (см. Дополнение к главе 1). 2. Нахождение биссектральных плоскостей двугранного угла, образованного двумя данными плоскостями.
Запишем уравне- ния двух данных плоскостей в нормирозаияом виде. Пусть это бу- дут: хсозав+усоз()в+хсозув — рв = О и хсозав+усозбв+ + х соз ув — рв = О. Левые части этих уравнений соответственно равны отклоне- ниям бв и бв точки М(х,у, х) от первой и от второй плоскостей. На одной нз биссектральных плоскостей (отвечающей тому двуграииому углу, в котором лежит начало координат) эти от- клонения разны и по модулю, и по знаку, на другой биссек- тральной плоскости отклонения бв и бв равны по модулю и про- тивоположны по знаку. Таким образом, уравнения искомых биссектральных плоско- стей имеют вид (х соз ав + у соз ()в + х соз ув рв) — (х соз а, + у соз ()з+ х соз у, — р,) = О, (х соз а, + у соз б, + х соз у, — р,) + + (х соз ое+ у соз рз+ х соз уз — рв) = О.
140 линаиныв ОБРАзы 3. Условия, прн которых данная плоскость пересекает данный отрезок АВ. Записав уравнение данной плоскости в но ри и ров аннам виде н подставив в левую часть последнего уравнения сначала координаты точки А, а затем координаты точки В, найдем отклонения бл и бо точек А и В соответственно от данной плоскости. Для того чгобы данная плоскость пересекала отрезок АВ, необходимо и достаточно, чтобы точки А и В лежали по разные стороны от плоскости, т.
е. необходимо и достаточно, чтобы отклонения бл и бо имели разные знаки. 4. Определение местоположения двух данных точек А и В относительно двуграниых углов, образованных данными плоскостями. Пусть заданы две пересекающиеся плоскости и требуется определить, в одном, в смежных илн в вертикальных углах, образованных двумя данными плоскостями, лежат две данные точки А н В. Записав уравнения данных плоскостей в нормированном виде, вычислим отклонения 4' и бл точки А от первой н второй плоскостей н отклонении бзи[ и б~зв точки В от первой н второй плоскостей. По знакам этих четырех отклонений заключаем, по одну нли по разные стороны от каждой нз плоскостей лежит каждая из точек А и В.
Очевидно, если точки А и В лежат по одну сторону от первой плоскости и по одну сторону от второй плоскости, то эти точки лежат в одном углу, образованном данными плоскостями. Если точки А и В лежат по одну сторону от одной плоскости и по разные стороны от другой плоскости, то эти точки лежат в смежных углах. Если, наконец, точки А н В лежат по разные стороны и от той, и от другой плоскости, то эти точки лежат в в е р т и к а л ь н ы х углах.
б. Уравнения прямой, проходящей через данную точку М~(хь у„ х,) и перпендикулярной данной плоскости Ах + Ву + +Сх + В =О. Этиуравнения имеют вид †" ибо направляющим вектором искомой прямой служит нормальный вектор плоскости и = (А, В, С). 6. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М,(хо, уо. хо) и параллельной заданной плоскости А,х+ В,у + + С~х-(-Э,=О. Это уравнение имеет внд А~ (х — хо)+ В1(у — уо)+ + С|(х — хо) = О. В самом деле, искомая плоскость принадлежит связке плоскостей (5.50) и имеет тот же нормальный вектор п = (Аь Вь СД, что и данная плоскость.
7. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку х — х, Мо(хо, уо, хо) и перпендикулярной заданной прямой— у — у е е — — Это уравнение имеет внд [(х — хо)+ т н $ 6] ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ !4! +т(у — у,)+п(г — зо) = О. В самом деле, искомая плоскость прннадлежнт связке плоскостей (5.50) н имеет в качестве нормального вектора направляющий вектор заданной прямой и = = (1,т,л).
8. Уравнение плоскостн, проходящей через данную прямую « — «, у — у! я — «, ! юи и и через заданную не лежащую на этой прямой точку Мо(хо, уо, зо). Искомая плоскость прннадлежит связке плоскостей (5.50), т. е. определяется уравнением А (х — хо)+ В(у — уо)+ С(з — хо) = О. Используя условия (5.60) прннадлежностн данной прямой к нскомой плоскости, получим следующие равенства: А(х, — хо)+В(у! — уо)+С(а! — зо)=0 А1+Вт+С =О. (5.64) Точка Мо(х!Ьуо,го) по условию не лежит на данной прямой. Это означает, что нарушается хотя бы одна нз пропорций и! — н поэтому нз системы (5.64) два и нз коэффнцнентов А, В, С можно определить через третнй.
Вы- брав затем пронзвольно этот третий коэффнцнент (напрнмер, положив его равным единице), мы получим уравнение искомой плоскостн. 9. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую « †«, у — у, « — я, — = — ' = — н параллельной другой данной прямой ю! !я! и! « — «я у — у я — « — у — = — = — «). Пусть Ах+Ву+Сг+0=0— и!я иа уравнение искомой плоскости. Используя условня (5.60) прн- надлежностн данной прямой к искомой плоскости, получнм Ах!+Ву, + Сг!+В = О, А1!+ Вт!+ Си! —— О. Кроме того„ используя условие (5.59) параллельности искомой плоскостн н второй данной прямой, получим А1я+Вта+Сия — — О. В ре- зультате получим систему трех уравнений Ах, +Ву, +Са!+В=О, А1, + Вт, +Си, =О, А1, + Втя + Сна = О, нз которой трн нз коэффициентов А, В, С, В могут быть выражены через четвертый (в силу того, что две данные прямые не параллельны н нарушается хотя бы одна нз пропорций 1!/1я = т!/т, = и!/ле, получнм, что хотя бы один нз определителей о) Предполагается, что дае данные прямые не параллельны.
ЛИИБНИЫБ ОБРАЗЫ [ГЛ, Б третьего порядка матрнцы отличен от нуля, и поэтому какие-то трн нз коэффициентов А, В, С, В можно выразить через четвертый). Положив указанный четвертый козффнциент равным едниице, мы получим уравнение искомой плоскости. 1О. Уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую Е~ и перпендикулярной заданной плоскостн я. Эта задача сводится к предыдущей. Чтобы убедиться в этом, мы сначала через точку М1 прямой Ь~ проведем прямую Ьм перпендикулярную плоскостн я (такая задача решена в и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
