1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Разобьем область 6 иа две части 61 и От, где 61 представляет собой полосу, абсциссы х точек которой удовлетворяют неравенству ~х~ ( а, а Оз — остальная часть области 6 *). Очевидно, в полосе 61 нет точек гиперболы, так как абсциссы х ь) Область О, представляет собой, очевидно, полосу, заключеинув между безгранычно продолженными вертнкальыынн стороыамн прямоугольника О. Область ба состоыт из четырех частей, каждая ыз историк располагается в одном нз координатных углов. 1гл е линии второго попядкд 1б2 точек, расположенных на гиперболе, удовлетворяют неравенству )х~)а*).
06РатимсЯ тепеРь к точкам области 6э. Заметим, что каждая точка 6т либо лежит нз диагонали прямоугольника Р, либо за его диагональю *'). Поскольку диагонали Р опреь ь деляются уравнениями у = — х и у = — — х, то координаты х и у точек 6а в силу их расположения удовлетворяют неравенству Ь/а ()у)/)х~ *'*). Из этого неравенства вытекает неравенство )х)/а «-)у)/Ь, из которого в свою очередь следуют нехэ уэ равенства †, — †, ( О < 1, а так как для точек гиперболы х у —,— —,= 1, то в области 6т нет точек гиперболы. 3'. Установим важное свойство гиперболы, связанное с ее расположением относительно диагоналей прямоугольника Р, о котором говорилось выше.
В общих чертах это свойство заключается в том, что ветви гиперболы приближаются к диагоналям прямоугольника Р. В силу симметрии гиперболы это свойство достаточно выяснить для части гиперболы, расположенной в первой четверти. Координаты х н у точек гиперболы, расположенных в первой четверти, удовлетворяют условиям х ) а, у) О*'**). Обращаясь к уравнению (6.9), мы видим, что при указанных условиях это уравнение эквивалентно соотношению х' у=Ь (6.17) Иными словами, рассматриваемая часть гиперболы представляет собой график функции (6.17)*«*'*). Легко убедиться, что эта функция может быть представлена в следующей форме: у= — х— Ь Ь (6.18) х+ „/х« Обратимся теперь к диагонали прямоугольника Р, расположенной в первой четверти. Она определяется уравнением у= — х.
ь (6.19) о хэ г« *) Иэ канонического уравнения гиперболы вытекает, что — 1+ — -, аэ ь ' т. е. х«1о« 2э 1. Последнее неравенство эквивалентно неравенству )х) ~«а ««) Будем говорить, что точка М плоскости лежит эа диагональю прямоугольника О, если перпендикуляр, опугценный нэ М на ось Ох, пересекает вту диагональ '«') Абсциссы х точек бэ ие равны нулю «'«') В силу свойства 2' гиперболы (6 9) абсциссы ее точек удовлетворяют условию )х) ~ а Для точек первой четверти ато условие может быть аапнсано в виде х и о '«'*') По поводу понятия график функции см выпуск 1, главу 1, й 2, п. 4. б Н ИССЛНДОВЛННЯ ООЭМЫ ЗЛЛИПСЛ. ГИПВРВОЛЫ И ПЛРЛВОЛЫ Гба Сравним величины ординат У и у рассматриваемой диагонали и части гиперболы для одного и того же значения х, т.
е. рассмотрим разность У вЂ” у (рис. 6.7, а). Используя соотношения (6.18) и (6.!9), получим У вЂ” у= (6.20) Рнс. 6.7 отрезка Мгг', то при удалении точки М гиперболы в бесконечность (т, е. при х-~оо) расстояние МР стремится к нулю. Следовательно, рассматриваемая часть ветви гиперболы приближается к соответствуюи)ей диагонали прямоугольника Р. В силу симметрии аналогичным свойством обладают и другие части гиперболы, расположенные во второй, третьей и четвертой четвертях. Диагонали прямоугольника Р обычно называются асимптотами гиперболы. Отметим, что асимптоты гиперболы определяются уравнениями Ь Ь у= — х и у= — — х.
л е (6.21) 4'. Наряду с гиперболой (6.9) рассматривают так называемую сопряженную по отношению к ней гиперболу. Сопряженная гипербола определяется каноническим уравнением хе ре «) и' Ье (6.22) «) Чтобы убеляться. что уравнение (6.22) опрелеляет гиперболу, лосгаточио положить х = у, Е = 2 н уиножигь обе части этого уравнения на -Н Из соотношения (6.20) следует, что при х-ь оо разность У вЂ” у стремится к нулю.
Абсолютная величина ~ У вЂ” у~ равна длине отрезка Мл( (рис. 6.7, а). Так как расстояние МР от точки М гиперболы до рассматриваемой диагонали не превышает длины [ГЛ. Ь ЛИННИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 184 На рис. 6.7,б изображены гипербола (6.9) и сопряженная ей гипербола (6.22). Очевидно, что сопряженная гипербола имеет те же асимптоты, что и данная. Иными словами, зсимптоты сопряженной гиперболы определяются уравнениями (6.21). Заметим, что гипербола (6.9) в свою очередь является сопряженной по отношению к гиперболе (6.22). 3. Исследование формы параболы. Обратимся к каноническому уравнению параболы (6.15): уэ = 2рх. (6.15) 1'.
Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Действительно, в уравнении (6.15) ве- у Ф[ху) личина у фигурирует в четной степени. ч Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (6,15) В (т. е. точка М располагается на параболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (х, — у) симметричной ей р гЩ,[р [ л' точки относительно оси Ох (рис. 6.8). Таким образом, если парабола задана своим каноническим уравнением (6.15), то осью этой параболы является ось Ох. Очевидно, вершиной параболы является [е у[ начало координат. Рнс.
8.8 2'. Вся парабола расположена в пра- вой полуплоскосги плоскости Оху. В самом деле, так как р ) О, то уравнению (6.15) удовлетворяют координаты точек лишь с неотрицательными абсциссами. Такие точки располагаются в правой полуплоскости. 3'. Из рассуждений п. 3 $1 этой главы вытекает, что директриса параболы, определяемой каноническим уравнением (6.15), имеет уравнение (6.23) у = — р/2. 4'. Любэ[в две параболы подобны друг другу. Пусть уз= = 2рх и ук = 2р'х — канонические уравнения этих парабол в декартовой системе Оху, у = йх — уравнение произвольной прямой, проходяшей через О, а (х,у) и (х',у') — координаты точек пересечения этой прямой с параболами.
Используя канонические уравнения, получим х = 2р/йз, у = ~2р/й, х' = 2р'/йз, у' = ~2р'/я. Из последних формул вытекает, что †. р/р, к' — ". = р/р . Но этн равенства означают подобие рассматриваемых У' парабол относительно точки О. Фн директрисы эллипсА, ГипеРБОлы и пАРАБОлы 1% 5'. Отметим, что кривая уэ = 2рх прн р (0 также является параболой, которая целиком располагается в левой полуплоскости плоскости Оху.
Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить х на — х н — р на р, 9 3. Директрисы эллипса, гиперболы и параболы Определение параболы, данное в п. 3 $1 этой главы, базировалось на свойстве этой кривой, которое связано с ее фокусом и директрисой. Это свойство можно сформулировать также и следующим образом: парабола есть геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная единице.
Оказывается, отличный от окружности эллипс и гипербола обладают аналогичным свойством: для каждого фокуса «) эллипса или гиперболы можно указать такую прямую, называемую директрисой, что отношение расстояния от точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная. Данный параграф посвящен выяснению этого свойства эллипса и гиперболы.
1. Эксцентрнснтет эллипса н гиперболы. Обратимся к эллипсу (гиперболе). Пусть с — половина расстояния между фокусами эллипса*') ~гиперболы), а — большая полуось эллипса (действительная полуось гиперболы). Определение. Эксцентр и с и тетом эллипса (гиперболы) называется величина е, равная с/а: е = с/а. (6.24) Замечание 1. Учитывая связь величины с с длинами а и Ь большой и малой полуосей эллипса (с длинами действительной и мнимой полуосей гиперболы) (см. формулы (6.5) и (6.10)), легко получить следующие выражения для эксцентриснтета е: / Ь~ для эллипса е ту 1 †-аэ-, (6.25) / для гиперболы е чу1+--т.
(6.25') Из формул (6.25) и (6.25') вытекает, что зксцентриситет эллипса меньше единицы, а эксцентриситет гиперболы больше единицы «*«). ') Напомним, что стлнчныА от окружнсстн эллипс н гипербола иммет пь лва фокуса. ") Если эллипс прелставлает собьЯ окружность, то с * О. "') Напомним, чгь величина Ь как длп эллнпса, так в дла гиперболы не равна нулеэ. 1гл е ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Отметим, что эксценгриситет окружности равен нулю (для окружности Ь = а).
Замечание 2. Два эллипса (две гиперболы), имеющих одинаковый эксцентриситет, подобны В самом деле, из формулы (6.25) для эксцентриситета эллипса (из формулы (6.25') для эксцентриснтета гиперболы) вытекает, что эллипсы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение Ь/а малой и большой полуосей (гипербое-е лы с одинаковым эксцентриситетом е=г имеют одинаковое отношение Ь/а мнимой и действительной полуосей). Такие эллипсы (гиперболы) подобны '), 3 а м е ч а и и е 3. Эксцентр иситет г ~ИГ эллипса можно рассматривать как меру его «вытянутости»: чем больше эксцентриситет е (см. формулу (6.25) ), тем меньше отношение Ь/а малой полуоси эллипса Ь к его большой полуоси а.
На рис. 6.9 изображены эллипсы с разными эксцеитриситетами, но с одинаковой большой полуосью а. 3 а м е ч а н и е 4. Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между ее асимптотами. В самом деле, отношение Ь/а равно тангенсу половины угла между асимптотаи' 4 мн гиперболы. й~ лг ф 2. Директрисы эллипса и гиперболы. 1'. Директрисы эллипса. Мы Р б и гг р л выяснили, что любой, отличный от окружности эллипс имеет большую и малую оси и центр— точку пересечения этих осей (см.
Рис. 6.10 п. 1 $2 этой главы). Обозначим через с половину расстояния между фокусами Р! и Рт эллипса, через а его большую полуось н через О его центр (рис. 6.10) . Пусть е — эксцентриситет этого эллипса (так как эллипс отличен от окружности, то е чь О) и и — плоскость, в которой расположен эллипс. Малая ось эллипса разбивает эту плоскость «) Чтобы убедиться в этом, достаточно расположить эти эллипсы (соответствеыио гиперболы! так, чтобы их пеитры и одиоымеяиые главиые оси совпадали Тогда иэ каиоыических уравыеииа легко схщуст подобые кривых с равимми отимвеыыямы Ыа. % 3! ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ 157 на две полуплоскости. Обозначим через ти (1 = 1, 2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус Р~ (! = 1, 2). Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
