1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 36
Текст из файла (страница 36)
1'. Преобразование коэффициентов при параллельном переносе. Пусть декартова прямоугольная система координат 0'х'у' получена параллельным переносом системы Оху вдоль вектора 00'. Как известно, старые н новые координаты точки связаны соотношениями х х'+хо. У=у +Уо (6.61) 171 КРИВЫВ ВТОРОГО ПОРЯДКА Ф з! Ь в системе Ох'у'. Очевндно, это уравнение имеет вид ацх" + 2а,' х'у'+ а,',у' + 2а,',х'+ 2а' у'+ а' = О, (6.66) где ') ац=а„з)п2ф+ 2 (ац — а„)соз2ф+ — (ац+ а„), а'„— — (ац — а ) з)п 2ф+ а„соз 2ф, а', — а, з)п 2ф — — (а ц — а ) соз 2ф+ — (ац + а ), (6.67) а'„= а„соз ф+ ап з)п ф« а,',= ахзсозф — а!зз)пф, а =авг Мы можем сделать следующий важный вывод: При повороте системы координат коэффициенты а,'„а',, а' группы старших членов уравнения (6.66) пыражшотся лишь через угол ф поворота и через коэффициенты ац, апз азз группы старших членов уравнения (6.60); коэффициенты а', и а, 'уравнения (6.60) выражаются лишь через угол ф и коэффициенты ащ и азз уравнения (6.60); свободный член не изменяется (пз.
е. аю = азз). Замечанне 2. Обозначнм через А, В н С соответственно вел нчнны 1 п!з ° 2 — (пц — озз) Введем, далее, угол а, считая соз а = —. з)п а= прн А чь 0 н а = 0 прн А = О, н угол (). считая сов() = азз/С, з)п р а1з/С прн С чи 0 н () = О прн С 0"). Тогда, очевндно, выражения (6.67) для коэффнпнентов а, 'можно перепнсать «) При выводе зтнх форыул использовались равенства 2впфсозф= з!п 2В, з!пзо — 2 — ~х , соавтор 1 — соз 2 1+ соз 2 ««) Иавестно, что, каковы бы ин были величины Р н О,уповлетворкющне условию Рз -! Оз чь О, можно найти такой угол т, что соз т п Ч/Р + с! в!п т О ч/у*+0*' 172 линии ВТОРОГО пОРядкА 1Гл з в следующей форме: а'и = А яп (2зр + а) + В, а', = А соз (2зр + а), а' = — А яп (2чз+ а) + В, а,', = С яп (~р + р), а'„=Ссоз(зр+ 6), (6.68) азз = ад. Отметим, что величины А, В н С н углы а и б не зависят от зр. 2.
Инварианты уравнения линии второго порядка. Понятие типа липин второго порядка. Назовем инвариантом уравнения (6.60) линии второго порядка относнтельно преобразованнй декартовой снстемы координат такую функцию 1(ап, ам, ..., азз) от коэффициентов аи этого уравнения, значення которой не меняются прн переходе к новой декартовой прямоугольной системе коордннат. Таким образом, если 1(ап, азь ., азз)— ннварнант н а,' — коэффнцненты уравнення лнннн второго порядка в новой системе декартовых координат, то 1(ап, аг, ..., азз)=1(азп а, ..., аз). Докажем следующую теорему.
Теорема 6.5. Величины ~ап аи азз~ 1,=оп+ам, 11 — ! " зг~, 1з=|азг азз азз1 (6.60) зз зз зз з ап азз ам ам азз ам . г I з азз акз азз являются инвариантами уравнения (6.60) линии второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат. Доказательство. Очевндно, инварнантность величин 11, 1з, 1з достаточно доказать отдельно для параллельного переноса снстемы координат н для поворота. Рассмотрнм сначала параллельный перенос системы коордннат.
Мы установнлн в 1 предыдущего пункта, что прн этом преобразования координат коэффнцненты группы старшнх членов не нзменяются. Поэтому не изменяются н величины 11 н 1з. Займемся велнчнной 1з. В новой системе коордннат О'х'у' величина 1з равна КРИВЫН ВТОРОГО ПОРЯДКА Вычитая из последней строки этого определителя первую строку, умноженную на хз, н вторую, умноженную на уз (хе н уе— координаты нового начала О'), и используя прн этом выражения для а', н а' нз формул (6.63) н выражение (6.64) для а', найдем, что этот определитель равен е) азз азг агг аз азз азз аззяз+ аззуз+ азз Если теперь вычесть из последнего столбца полученного апреле.
лнтеля первый столбец, умноженный на хе, н второй, умножен. ный иа уе, н использовать при этом выражения для а', н а' нз формул (6.63), то в результате получится определитель, стоящий в правой части выражения для 1з в формулах (6.69). Итак, ннварнантность гз при параллельном переносе системы координат доказана. Рассмотрим теперь поворот декартовой системы координат.
В 2' предыдущего пункта мы нашли, что прн этом преобразовании коэффициенты а', уравнения линии ь в новой системе связаны с коэффициентами ап уравнения этой липин в старой системе с помощью формул (6.68) (см. замечание 2 предыдущего пункта). Докажем теперь ннварнантность зь /г и зз. Имеем, согласно (6.68), з; = а'и + а'„, = 2В = ап + а „ 1'=а'а' — а' =В' — А*=а а — а'.
пм а пег зг Таким образом, инвариантность зз и )г доказана. Обратимся теперь к Ф I азг ам I l агг агг Ф Ф а,з агз Ф Озз азз Г= з ) Непомннм, что прн тнзззннмя преоорнзоннннян звечевве опредепвтелн ве меняется (см. Дополвевне в главе 1). Разлагая этот определитель по элементам последнего столбца, учитывая только что доказанную инвариантность зг, т. е. ра- венство (гл з линии второго поездил )74 и равенство а' =паз (см. последнюю из формул (6.67)), получим а а Согласно формулам (6.68) первое слагаемое в правой части (6,70) может быть преобразовано следующим образом: а , 1вм ом~ ( + )!Асан(2Ч+а) — Аа~п(зф+а)+В~ ~о~о' в' ~ )Са!и (в+ р) Ссоа (в+ р) =Саян (~р+ й) (Асов(ф+ а — 6) — В з!п(ф+ 3)).
(6 71) Совершенно аналогично получается равенство / а аза 1,"," ! = С' соз (ф+ 11) (А з1п (ф+ а — й) + В соз (ф + ())). 1оаз вза( (6.72) (6.73) Из соотношений (6.70) — (6.72) получаем 1з — АСз з1п (26 — а) — ВСз+ а 1з. Тзк как величины А, В, С, углы а, 6 н 1а не зависят от угла ф (это вытекает нз инварнантности 1з н замечания 2 предыдущего пункта), то из (6.73) следует, что 1,' также ие зависит от угла ф, т. е.
при любом значении ф имеет одно н то же значение. Но а'„-=аа, при ф=О, и поэтому 1а 1,. Таким образом, ин- вариантиость 1з также установлена. Теорема доказана. Геометрические характеристики линий второго порядка н их расположение вполне определяются значениями иивариантов 1ь 1а и 1з. В зависимости от знака инварнанта 1з эти линни раз- деляют на следующие три типа: эллиптический тип, если 1з .з О, гиперболический тип, если 1а (О, параболический тип, если 1з О.
Очевидно, тип линии не меняется при изменении декартовой си- стемы координат. Ниже мы дадим полную классификацию ка- ждого из указанных типов линий. 3. Центр линии второго порядка. В предыдущем пункте мы установили, что при параллельном переносе декартовой систе- мы изменяются лишь коэффициенты группы линейных членов уравнения линни второго порядка. Попытаемся найти такую декартову систему координат О'л'у' (полученную параллельным переносом системы Оку), в которой уравнение (6.62) данной линни 1. второго порядка не содержало бы слагаемых 2а'„к' н 2а' у', т. е.
коэффициенты 176 кэивыя втоэого повадка а'„и а' были бы равны нулю. Пусть х, и уо — координаты начала О' искомой системы. Обращаясь к формулам (6.65), найдем, что величины хь уо представляют собой решение следующей системы линейных уравнений: анхо+ аиуо + ам = О, а,»хо + амуо + азз — — О. (6.74) Уравнения (6.74) называются уравнениями центра линии второго порядка, а точка О' с координатами (хо, уо), где хо н уо— решения системы (6.74), называется центром этой линни. Поясним смысл наименования ецентр» линии.
Пусть начало координат перенесено в центр О'. Тогда уравнение линни Ь примет вид (6.75) аих'з+ 2а„х'у'+ а„у' + ам = О. Пусть точка М(х',у') расположена на Е. Это означает, что ее координаты х' н у' удовлетворяют уравнению (6.75). Очевидно, точка М'( — х', — у'), симметричная с М относительно О', также расположена на Е, нбо ее координаты также удовлетворяют уравнению (6.75). Таким образом, если у линии Е существует центр О', то относительно центра точки Е располагаются симметрично парами, т, е. центр линии Е является ее центром симметрии.
Замечание 3. Если линия А второго порядка имеет центр, то инварианты 1з, 1з и свободный член а' в уравнении (6.75) связаны соотношением 1,=1,а,'. (6.76) В самом деле, в силу ннвариантностн 1з получим в системе координат О'х'у' 1ан аа О 1 аа агз О О О азз1 Из последней формулы и вытекает соотношение (6.76). Наличие центра у линии второго порядка связано с разрешимостью уравнений центра (6.74). Если уравнения цен~ра имеют единственное решение, то линию Е второго порядка будем называть центральной* ). Так как определитель системы (6,74) равен 1ь а необходимым и достаточным условием существования единственного решения этой системы является неравенство нулю ее определителя, то мы можем сделать следующий важный вывод: линии эллиптического типа (1з ) О) и гиперболического типа (1» < О) и только эти линии являются центральными.
о) Такам образом, центральная гани» ниоот едннстооаниа центр, па линии ВТОРОГО поьядка $ГЛ 6 3 а меч ание 4. Если начало координат перенесено в центр О' центральной линии Ь второго порядка, то уравнение втой линни будет нметь вид ацх" +2апх'у'+а„у" + 1' =О. (6.77) в котором, по предположению, аичьО. Прн атом предположе- нии очевидно, что (6.78) имеет следующее решение: с(д 2~р (ац — ам)/2аи. (6.79) Итак, если мы повернем систему координат иа угол ф, определенный нз равенства (6.79), то в повернутой системе координат уравнение линии 1. не будет содержать слагаемого 2а', х'у' и, кроме того, согласно формулам (6.67), а,', =а .
Иными словамн, зто уравнение будет иметь следующий внд: ацх' + а,' у' + 2а', х'+ 2а'„у'+ а = О. (6.80) $. Упрощение уравнеяня центральной линни второго порядка (1г=Р О). Классификации центРальных линий. Выводы, сДеланные в предыдущих двух пунктах, позволяют решить вопрос о классификации всех центральных линий второго порядка. Ре- Действительно, после переноса начала в центр уравнение линии примет вид (6.76). Так как для центральной линии 1Я~ О, то нз формулы (6.76) найдем, что а' = Ц1,.
Подставляя зто выражение для а,' в формулу (6.76), мы получим уравнение (6.77) . 4. Стандартное упрощение любого уравнения линии второго порядка путем поворота осей. Докажем, что любое уравнение (6.60) линии 1. второго порядка путем снеииального поворота координатной системы может бать приведено к уравнению, в котором не будет содержаться слагаемое 2а', х'у', т. е. коэффициент а,', будет равен нулю. Такое упрощеяне уравнения второго порядка мы будем называть стандартным. Естественно, мы будем предполагать, что в исходном уравнении (6.60) коэффициент ам не равен нулю, нбо в случае ац = 0 поставленный вопрос является решенным. Пусть <р — угол поворота искомой повернутой системы координат.
Обращаясь ко второй из формул (6.67), найдем, что искомый угол у является решением следующего тригонометрического уравнения: — з (ац — ам) з(п 2~р+амсозйф=О, 1 (6.78) Э п зьдхчн нь пэямтю и плоскость в тп остэлнствя 177 шенне этого вопроса мы проведем по ояедукнцей схеме. Во-первых, путем переноса начала координат в центр лнинп (6.60) мы приведем ее уравненне к внду (6.77). После этого пронзведем стандартное упрощенне уравнення (6.77): 1) если ам =О, то оставим систему координат О'х'у' нензменной и нзменнм лишь обозначение х' на х", у' на у", ап Ю~, на а,.; 2) если амчьО, то перейдем к повернутой системе координат О'х"у", вычнсляя угол поворота ~р по формуле (6.79) н нспользуя прн этом формулы (6.67) (с заменой а', на а",) н формулу (6.80).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
