1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Докажем теперь следующее утверждение. Теорема б.б. Уравнение (6.60) линии 1. параболического типа ири 1з чьО представляет собой параболу, а ири 1з =0— либо пару параллельных действительных ирямых (которые могут быть слившимися), либо пару мнимых параллельных прямых «). Доказательство. Выясним вопрос о связи между величинами а" ,и 1. Для уравнения (6.92) имеем й з) злддчн нд прямую и плоскость в прострлиствн (88 если — аф1, = О, то (6.98) представляет собой ось Ох", уравнение которой ум = 0 (это уравнение можно рассматривать как предельный случай при аю-ьО, т.
е. как пару слившихся прямых). Если, наконец, — а©1, < О, то уравнению (6.98) не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости, т. е. геометрический образ является мнимым. Обычно говорят, что в последнем случае уравнение (6.98) определяет пару мнимых параллельных прямых. Теорема доказана.
3 а меча нне 7. Для случая УзФ О, когда уравнение (6.60) параболического типа определяет параболу, читатель без труда найдет параметр р этой параболы и ее расположение относительно исходной координатной системы Оху. Для этого нужно использовать переход от уравнений (6.60) к уравнению (6.88), описанный в начале этого пункта, н формулы (6.90), (6.91), (6.96), (6.97).
7. Расввдэющяеся кривые второго порядка. Лиикю Ь второго порядка, определяемую уравнением (6.60), будем изнывать распадающейся, есле левая часть этого урззиення может быть представлена в виде провзведеявя двух маогочленоэ первой степени. Очевидно, если з дзкиой декартовой прямоугольной системе коорднизт ливня Ь является рэспздзющейсн, то ояз будет распадающейся з любой другой декартовой прнмоугольной снстеме коордвнэтг прк преобразовзнпн коордннзт многочлея первой степени остается многочленом первой степени н кэждый многочлен-сомножитель преобразуется независимо от других сомножителей. Это свойство многочленов позволяет сформулировать необходимое н достаточное условие рзспздеиня кривой второго порядка. Теорема б.р.
Для гого чтобы линия Ь второго порядка была распадающейся, необходимо и достаточно обращение а нуль ичеариаига гг. Доказательство. Мы доказали (см. теоремы 6.6 — 6.8), что уравнение любой линии 7. второго ворядкэ может быть прнведево к одному нз эндов(6.82) — (687), (6.94) я (6.95). Рвспэдзющвмнся среди этих линий являются лищь те, дяя которых уг О я, кзоборот, есле Уг О. то урэзневве лкнни приводится к веду, иэ которого, очеввдно, следует свойство распадения, Теорема докзззва. ГЛАВА 7 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этой главе мы познакомимся с понятием и основными типами поверхностей второго порядка. Кроме того, будут указаны способы исследования таких поверхностей. $1.
Понятие поверхности второго порядка В силу определений 1 и 3 из п. 5 $2 гл. 4 поверхностью 5 второго порядка будем называть геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида а„ха+ а~ух+ аюге+ 2а„ху + 2ашуг + 2аыхг + 2аых + + 2атчу+ 2аачг+ аы = О, (7.1) в котором по крайней мере один нз коэффициентов аы, атя, ааа, а~т, аш, ага отличен от нуля.
Уравнение (7.1) будем называть общим уравнением поверхности второго порядка. Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект '), не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (7.1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.
Ниже мы убедимся, что для каждого уравнения (7.1) можно указать такую специальную систему координат, в которой уравнение (7.!) примет столь простой вид, что геометрическая характеристика поверхности б не будет представлять затруднений. Используя этот метод, мы дадим полное описание всех типов поверхностей второго порядка. ь) Может оказаться, чго уравненве (7.1) не определяет поверхностп". атому уравневвю могут удовлетворять лншь коордннаты точек, расположенных яа прямой лкнян, нлп коордянаты лншь одной точкн, нлн не найдется нн одной точкн, коордянаты которой удовлетворяют (7.1).
Однако в а атнх случаях мы будем говорить о геометрнческях объектах, наемная нх соответственно вырожденными нлн мнимыми. Фп ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА !Вз 1. Нреобразованне коэффициентов уравнения поверхности второго порядка ирн переходе к новой декартовой системе координат. Рассмотрим отдельно параллельный перенос и поворот ноординатных осей. Условимся о следующей терминологии: группу слагаемых апх'+ а„у'+ аззгз+ 2а„ху + 2аззуг + 2аахг левой части (7.1) будем называть группой старших членов этого уравнения, а группу слагаемых 2аих+ 2а„у+ 2азог+ ам будем называть линейной частью уравнения (7.1). При этом коэффициенты ап, азз, азз, агл азз, ап будем называть коэффициентами группы старших членов, а коэффициенты аы, азь ам, ໠— коэффициентами линейной части (7.1).
Коэффициент ам обычно называется сеободным членом уравнения (7.!). Рассмотрим сначала параллельный перенос декартовой системы координат. Как известно, старые и новые координаты точки связаны соотношениями х=х +хо У=у'+Уо. я=го+го. (7.2) где хо, уо, зо†координаты нового начала О' в старой системе Охуг (см. главу 3, формулы (3.20)).
Подставляя выражения (7.2) для х, у, г в левую часть (7.1), получим уравнение Ю в новой системе О'х'у'г'. Это уравнение имеет вид аих" + атзу' + аззг" + 2а1зх'у'+ 2аззу'г'+ 2а1зх'г'+ + 2а', .т'+ 2а'„у'+ 2аэ,г'+ а'„= О, (7.3) где а'„=аих,+а„у,+а, г,+ага а',=а„хо+а„уз+а г +ам, а' = а„х + а,у, + а, г, + аое а'„= аих,'+ а,у, '+ а г,'+ 2а„хоу, -1- + 2аззуого+ 2а1зхого + 2а ого+ 2аз,уз+ 2а„го + аоо.
(7.4) Обращаясь к уравнению (7.3), мы можем сделать следующий важный вывод: при параллельном переносе системы координат коэффициенты еруппы старших членов не изменяются, а коэффициенты еруппы линейных членов преобразуются по формулам (7.4). Рассмотрим теперь поворот декартовой системы координат. пОВИРхнОсти ВТОРОГО повадка Как известно, старые и новые координаты точки связаны соотношениями (см.
главу 3, формулы (3.20)) х = тнх'+ тпу'+ т,зг', у т„х'+ тпу'+ тззг, г=тззх +пзззу + тззг (7.6) где тн = тн суть косинусы углов, которые составляют друг с другом старые и новые координатные оси. Подставляя выражения (7.6) для х„у и г в левую часть (7.1) и группируя коэффициенты при различных степенях х', у' и г', мы получим уравнение 8 в системе Ох'у'г'. Это уравнение имеет вид анхзз + а,',у" + а' г' + 2а'„х'у'+ 2а,',у'г'+ + 2а', х'г'+ 2а'„х'+ 2а'„у'+ 2а,',г'+ а„= О. (7.6) а» а» ~+ ~азз азз ~+ ~ азз а~з~ 7, = он+ азз+ азз, 7з = аи азз аа а» а» азз а» азз а» а» азз азз а» азз а» азз ~аи азз аз~ а!3 азз азз а» азз азз являются инвариантами уравнения (7.1) поверхности второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат. Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.
Легко убедиться в справедливости следующего важного вывода о структуре коэффициентов а',: при повороте системы координат коэффициенты группы старших членов уравнения (7.6) выражаются лишь через величины тн, фигурирующие в соотношениях (7.5), и через коэффициенты гриппы старших членов уравнения (7.1); коэффициенты а'„, а'„а уравнения (7.6) выражаются лишь через величины тзз и коэффициенты а~„азз, аы уравнения (7.1); свободный член не изменяется (т. е. азз —— а»). При этом, если в исходном уравнении все коэфз~ициен»ты аы, азз, азз бйли Равны нцлю, то все коэффиЦиенты ани а,з, а также будут равны нулю. Из вывОДОВ Зтага ПУнкта следует, что путем параллельных переносов можно упрощать группу линейных членов уравнения (7.1), не меняя при этом коэффициентов группы старших членов, а путем поворотов системы можно упрощать группу старших членов этого уравнения.
2. Инварианты уравнения поверхности второго порядка. Справедливо следующее утверждение: Величины ВН ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ззт 3. Центр поверхности второго порядка. Попытаемся найти такую декартову систему координат О'х'у'г' (полученную параллельным переносом системы Охуг), в которой уравнение (7.3) данной поверхности 5 второго порядка не содержало бы слагаемых 2а', х', 2а',у' н 2а' г', т. е. коэффициенты а'„, а', и а' были бы равны нулю. Пусть хо, уо и го — координаты начала О' искомой системы. Обращаясь к формулам (7.4), найдем, что величины хз, уо, г, представляют собой решение следующей системы линейных уравнений: апх,+ а зуз+ аиго+а„=О, анхо+ аззуо+ амго + а„= О, (7.7) а~ого+ амуо+ амго + азо = О Уравнения (7.7) называются уравнениями центра поверхности второго порядка, а точка О' с координатами (хо, уо, го), где хо, уо и го — решения системы (7.7), называется центром этой поверхности.
Допустим, что поверхность 8 второго порядка имеет центр О' (т. е. система (7.7) имеет решение (хо,ум го)). Перенесем начало координат в центр О'. Так как при параллельном переносе коэффициенты группы старших членов не изменяются и начало координат переносится в центр, то уравнение поверхности 8 в системе О'х'у'г' примет вид апх' + а у + амг" + 2а'„х'у'+ 2а,',у'г'+ 2а,',х'у'+ а'„= О. (7.7') Очевидно, если точка М(х',у',г~) расположена на поверхности Е (т.
е. ее координаты х', у', г' удовлетворяют уравнению (7.7') ), то и точка М'( — х', — у', — г'), симметричная с М относительно О', также расположена на Е. Таким образом, если у поверхности Е существует центр О', то относительно центра точки 5 располагаются симметричными парами, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
