1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (824979), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи. !'. Один из коэффициентов а'„, а,',, а', равен нулю. Ради определенности будем считать, что а', О (если равен нулю какой-либо другой нз указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', х' к новым координатам х, у, и по формулам Р 4 х=х + —,, ни Я 41 Подставляя х', у' и г', найденные из (7.22), в левую часть (7.15) и заменяя затем а„на аи, а„на а„, а,4 на р н а, на д, получим следующее уравнение поверхности З в новой системе координат Олух: апхз+ аыуз+ 2рх+ у= О. (1) Пусть р = О, 4) =О.
Поверхность 8 распадается на пару плоскостей х ~ 1/ — ~а„у О. ') Псв перечисленные коэффняненты не ыогут быть равны нулю, тзк кзк нря ярэобрязовзннн координат яорядок урзянэння нв нзыеняэтся (сы. гляву 4). % я классивикецня поВеРхностен ВТОРОГО пОРядкь 193 При этом, очевидно, эти ллоскости будут мнимыми, если знаки ац и а88 Одинаковы, и вещественными, если знаки ац и азз различны. (2) Пусть р=О, дчьО. Уравнение (7.23) принимает вид ацх'+ аз у'+ у=О. (7.24) Известно (см. и. 3 5 2 главы 4), что уравнение (7.24) нвляется уравнением цилиндра с образующими, лараллельными оси Ох.
При этом, если ац, аы и д имеют одинаковый знак, то левая часть (7.24) отлична от нуля для любых х и у, т. е. цилиндр будет мнимым. Если же среди коэффициентов ац, аы и д имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет вещественным. Отметим, что в случае, когда ац и а88 имеют одинаковые знаки, а д — противоположный, то величины — д/ац и — д/а88 положительны. Обозначая их соответственно через аз и Ьз, мы приведем уравнение (7.24) к виду 88 э8 — + — =1. а8 6~ Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиитикескид цилиндр. В случае, когда ац и а88 имеют различные знаки, получим гилерболический цилиндр. Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду — г — — — — 1.
х8 у8 (7.26) (3) Пусть р ФО. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами ( .,) О, О, — — ~. При этом оставим старые обозначения координат е х, у, г. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхности 8 в новой системе координат, достаточно заменить в уравнении (7.23) х на х — ч . Получим следующее уравнение: ЯР ' ацх'+ имут+ 2рз = О. (7.27) Уравнение (7.27) определяет так называемые лараболоиды. Причем, если ац и а88 имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллинтикеским.
Обычно уравнение эллиптического параболонда записывают в канонической форме: 88 эь азг+ ьт Уравнение (7.28) легко получается из (7.27). Если ац и а88 имеют разные знаки, то параболоид называетсн еилерболическим. Каноническое уравнение гиперболического параболоида ц зэк.!68 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА !94 [Гл. т имеет Вид хз уз (7.29) Это уравнение также легко может быть получено из (7.27). 2. Два из коэффициентов ап, а,'„а' равньз нулю. Рада определенности будем считать, что а'„=0 и а,' =0 (если равны нулю какие-либо другие два из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат).
Перейдем от х', у', а' к новым координатам х, у, х по формулам з аз< х=х', у=у', х=х'+ —,. взз (7.30) Подставляя х', у' и х', найденные из (7.30) в левую часть (7.15) и заменяя затем а', на аз, аы на р, а„на д и а', на г, получим следующее уравнение поверхности 8 в новой системе координат Охух: а,зз'+ 2рх + 2ду + г = О. (1) Пусть р =О, д =О. Поверхность 8 распадается на пару параллельных плоскостей х-= ~ .!/ — г/азз.
(7.32) При атом, очевидно, зтн плоскости будут мнимыми, если знаки азз и г одинаковы, и вещественными, если знаки азз и г различны, причем при г = 0 эти плоскости сливаются в одну. (2) Хотя бы один иэ коэффициентов р или д отличен от нуля. В атом случае повернем систему координат вокруг оси Ое так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+ +2ду+ г=О. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, у и х для новых координат точек, уравнение (7.31) примет вид аззез + 2д'у = О, (7.33) которое является уравнением параболического цилиндра с образующими, параллельными новой оси Ох.
$3. Исследование формы поверхностей второго порядка по нх кановнческим уравнениям 1. Эллипсоид. Для исследования формы зллипсоида обратимся к его каноническому уравнению (7.18) (см. п. 1 предыдущего параграфа) (7.18) э»! иссладов»ннк поэмы повярхиостпи второго порядка 1м Из уравнения (7.18) вытекает, что координатные плоскости яеляются ало«костями симметрии эллиясоида, а начало координат — центром симметрии. Числа а, Ь, с называются нолуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, заключенную, как это видно из (7.18), в параллелепипеде 1х! ~ а, ~!у'!~ Ь, ~г~ ( с.
Чтобы более наглядно представить себе форму эллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо нз координатных плоскостей. Ради определенности рассмотрим линии Е» пересечения эллипсоида с плоскостями г=й, (7.34) параллельными плоскости Оху. Уравнение проекции с.» ляпин с,» на плоскости Оху получается нз уравнения (7.18), если положить в нем г=й. Таким образом, уравнение этой проекции имеет внд «е ре Ле а~'+»е ст' (7.35) Если положить Ле ° Ле а' а 1 — -т . Ь'=Ь 1 --~-, с с то уравнение (7.35) можно записать в виде (7.37) т. е.
Е» представляет собой эллипс с полуосями а' и Ь', которые могут быть вычислены по формулам (7.36). Так как Е» получается «подъемом» Е» иа высоту й по оси Ог (см. (7.34)), то и с.» представляет собой эллипс. Представление об эллипсоиде можно получить следующим образом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов (7.37) (рис. 7.1), полуоси а' и Ь' которых зависят от й (см. (7.36)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой Ь, указывающей, на какую высоту по оси Ог должен быть «поднпт» этот эллипс. Мы получим своего рода «карту» эллипсоида. Используя эту «карту», легко представить себе пространственный внд эллипсоида. На рис.
7.2 изображен эллипсоид. Эллипсоид может быть получен равномерным сжатием сферы относительно двух перпендикулярных плоскостей. Именно, если а — наиболыпая полуось эллипсоида, то он может быть получен нз сферы ') ве -„г+ ~~с + — „* = 1 ') Очевпдпо, сфера представляет собой велппсопд с ревпммп папуас»пи, Пль г ПОВВРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА равномерным сжатием ее сначала относительно плоскости Оху с коэффициентом сжатия Ь/а, а затем относительно плоскости Охг с коэффициентом сжатия с/а.
В заключение отметим, что линии пересечения эллипсоида с плоскостями представляют собой эллипсы. В самом деле, такая линия представляет собой ограниченную линию второго порядка «) (ограниченность линии вытекает Ркс. ТЛ Ркс. 7.2 из ограниченности эллипсокда), единственной же ограниченной линней второго порядка является эллипс. 2. Гиперболоиды. 1'. Однополостный гиперболоид. Обратимся к каноническому уравнению (7.19) однополостного гиперболоида ль ЭФ ээ -т+ — г — 1 ° а Ь Из уравненяя (7.19) вытекает, что координатные плоскости являются алоскостями симметрии, а начало координат в центром симметрии однополостного гиперболоида. Рассмотрим линии Е» пересечения одиополостного гиперболоида плоскостями к= й.
Уравнение проекции Е» такой линии на плоскость Оху получается из уравнения (7.19), если положить в нем з = и. Полагая «) Преобразуем скстему коордввэт тэк, чтобы э козой свстеме коордкват Оэ'Э'э' секуьяээ плоскость овределялэсь урээвеявем э' О. После такого преобрэзовэввя э»»косова буде определятьсв ураввевяем второго во. редка. Полагая в этом урээяеввв э' ° О, мм получки урэвяекве второго порядке »явяв пересечеввв злляпсовдэ в плоскоств я' О.
4 Н НССЛЕДОВАНИВ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТЕН ВТОРОГО ПОРЯДКА )97 найдем, что уравнение этой проекции имеет внд кэ рэ — + — =1, о'э Ь'э (7.39) т. е. 4представляет собой эллипс с полуосями а' н йе Рассмотрим «карту» расположенной над плоскостью Оку части однополостного гиперболоида*), т. е. семейство эллипсов (7.39), каждый нз которых снабжен отметкой Ь, указывающей, на какую высоту по осн Ог должен быть поднят этот эллипс (рнс.7.3).Обращаясь к карте одно- полостного гиперболоида, мы видим, что наименьший из рассматриваемых эллипсов (7.39) получается для Ь=О (см. также формулы (7.38)). ,д Внмт лссссс Рнс 7.3 Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
