1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (Ильин Позняк 1999 Аналитическая геометрияu), страница 9

Для доказательства свойства 1' приложим два произвольных вектора а и Ь к общему началу О (рис. 2.4). Обозначим буквами А и В концы векторов а н Ь соответственно и рассмотрим параллелограмм ОВСА. Из определения равенства векторов следует, что ВС=О.4=а, АС=ОВ= =Ь. Из определения 1 и из рассмотрения треугольника ОАС следует, что диагональ ОС указанного параллелограмма представляет собой сумму векторов а+ Ь, а из рассмотрения треугольника ОВС следует, что та же самая диагональ С)С представляет собой сумму векторов Ь+ а. Тем самым свойство 1' установлено. Остается доказать свойство 2'. Для этого приложим вектор а к произвольной точке О, вектор Ь к концу вектора а и вектор с к концу вектора Ь (рис.

2.5). Обозначим буквами А, В и С «) См. выпуск 1, главу 2. ««) для получения А' достаточно помеиять ролями качало и коиеи век- тора Л. 44 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 1гл. Я концы векторов а, Ь и с соответственно. Тогда (а+Ь)+с=(ОА+ АВ)+ ВС=ОВ+ВС=ОС, а + (Ь + с) = ОА + (А В + ВС) = ОА + АС = ОС, вя-1 Л 1 ") Следует особо оговорить случай, когда векторы а н Ь коллииеарны.

В этом случае параллелограмм, построенный на векторах а и Ь, вырождается в отрезок, понятие его диагонали теряет смысл, а сумма векторов а и Ь может быть получена нэ определения В т. е, свойство 2' доказано. Замечание 1. При доказательстве свойства 1' обосновано еще одно правило сложения векторов, называемое правилом э параллелограмма: если векторы а и Ь л приложены к общему началу и на ни.т И эес е построен параллелограмм, то сумма а+ Ь (или Ь+ а) этих векторов представляет собой диагональ укаэанного па1вяь)~ раллелограмма, идущую из общего нагз чала векторов а и Ь е). Рис. 2.5 Доказанные свойства 1' — 4' позво- ляют оперировать с суммой векторов так же, как с суммой вещественных чисел.

В частности, при сложении трех векторов а, Ь. и с нет необходимости указывать, как мы понимаем сумму а+Ь+с (как а+(Ь+с) или как (а+Ь)-(-с). Свойства 1' — 4' позволяют нам распространить правяло сложения на сумму любого конечного числа векторов. При этом нет необходимости производить сложение последовательно, фиксируя каждый промежуточный результат; ая Ля сумма любого числа векторов может быть по.

строена с помощью следующего правила: Вг если приложить вектор аа к концу вектора ан вектор аа к концу вектора ам ..., вектор а„ к концу вектора а, и то сумма аз + аз+ + аа+ ... + а„будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора аз в конец Ьч вектора а„. Сформулированное правило сложения, Рис йб проиллюстрированное на рис. 2.6, естественно назвать правилом эамьзкания ломаной до многоугольника (на рис. 2.6 ломаная ОА1АзАз ... А, замыкается до многоугольника путем добавления звена ОА,).

Наконец, свойства 1' — 4' позволяют исчерпывающим обра. зом решить вопрос о в ы ч и т а н и и векторов. Определение 2. Р а з н о с т ь и а — Ь вектора а и вектора Ь называется такой вектор с, который в сумме с вектором Ь дает вектор а. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ зи ЯЕ С помощью свойств 1' — 4' элементарно доказывается, что существует, и притом единственный, вектор с, представляющий собой разность а — Ь, причем этот вектор равен с = а + Ь', где Ь' — вектор, противололожнь~й Ь. В самом деле, если с= а+Ь', то на основании свойств 1о 4о с+ Ь = (а + Ь') + Ь = а + (Ь' + Ь) = а + О = а, т. е. вектор с представляет собой разность а — Ь.

Убедимся теперь в однозначности разности а — Ь. Предположим, что, кроме вектора с а+ Ь', существует еще один вектор а такой, что й-(-Ь = а. Тогда, с одной стороны, (й+ Ь)+ +Ь'=а+Ь'= с, с другой стороны, (й+Ь)+Ь'= й+(Ь+ + Ь') = й + О = й, т. е. с = й. Непосредственно из определения 2 и из правила треугольника сложения векторов вытекает следующее правило построения разности а — Ь: разность а — Ь приведенных к общему началу векторов а а-$ а и Ь представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого вектора Ь в конец уменьигаемого вектора а. а Это правило иллюстрируется на рис.

2.7. Перейдем, наконец, к рассмотрению операции умножения вектора на вещественное число. Определение 8. П р о и з в е д е и и е м аа (и л и аа) в е ктора а на вещественное число а называется вектор Ь, коллинеарный вектору а, имеющий длину, равную 1а'1 ° 1а~, и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора а в случае а > О и противоположное направлению вектора а в случае и <: О.

Замечание 2. В случае, когда а О или а=О, произведение аа представляет собой нулевой вектор, направление которого неопределенно. Геометрический смысл операции умножения вектора на число можно выразить так; при умножении вектора а на число а вектор а «растягиваетсяь в а «раза. Конечно, надо тут же оговорить условность термина «растягивается», ибо действительное растяжение происходит лишь при а ° 1; при О ( а ( 1 происходит не растяжение, а сжатие, а при отрицательном а, кроме растяжения (при ~1а( 1) или сжатия (при 1а~ ( 1), происходит еще изменение направления вектора на противоположное. Операция умножения вектора на число обладает следующими тремя свойствами: 5' а(а+Ь)= па+ аЬ (распределительное свойство числового сомножителя относительно суммы векторов); ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА б' (а+ Р)а = аа+ Ра (распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел); T а(ра) (а())а (сочетательное свойство числовых сомножителей).

Для доказательства свойства 5' приложим векторы а и Ь к общему началу О и построим на них параллелограмм, диагональ которого будет представлять собой сумму а+ Ь (рис. 2.8). При «растяжении» *) сторон этого паап раллелограмма в а раз в силу свойств «(и'в' подобия диагональ также «растяги- 4Т вается» в а раз, но это и означает, в« что сумма аа+ аЬ равна а(а + Ь). Свойства б' и T почтя очевидны из наглядных геометрических соображений. С учетом оговоренной выше условности термина «растяжение» свойство б' означает, что при «растяжении» вектора а в (а+ р) раз получается такой же вектор, как при сложении вектора а, «растянутого» в а раз, с вектором а, «растянутым» в() раз.

Свойство 7' в тех же терминах означает, что при «растяжении» вектора а сначала в р раз, а потом еще в а раз получается такой же вектор, как и при «растяжении» вектора а сразу в ар раз. Итак, мы установилн, что линейные операиии над векторами обладают свойствами 1' — 7'. Эти свойства имеют фундаментальное значение, ибо они позволяют производить выкладки в векторной алгебре по тем правилам, по которым производятся аналогичные выкладки в обычной алгебре. В заключение докажем следующее утверждение.

Теорема 2.1. Если вектор Ь коллинеирен ненулевому вектору а, то существует вещественное число Х такое, что Ь = Ха. Доказательство. Приложим векторы а и Ь к общему началу О. Тогда эти векторы расположатся на одной прямой, на которой мы выберем начало отсчета, масла *ма ги л в ние. Возможны два случая: 1) векторы а и Ь Рис 22 направлены в одну сторону, 2) указанные векторы направлены в противоположные стороны»*). На рис. 2.9 изображен первый из указанных случаев. Обозначим буквами А и В концы векторов а и Ь соответственно и заметим, что, поскольку, вектор а ненулевой, точки А э нв Рвс 2.8 ») Термин «растяжеяне» следует понимать в указанном выше условном смысле. Рис.

2.8 отвечает случаю а ) К '") Трквиальный случай, когда вектор Ь нулевой и направление его неопределенно, можно ясключить из рассмотрения, нбо в этом случае равенство Ь = Ха реализуется при ь О, ЛИИЕЯНЫЕ ОПЕРАЦИИ ИАД ВЕКТОРАМИ отлична от О. Но тогда, исключив тривиальный случай совпадеяия точек А и В'), мы (в силу п. 3 $3 главы 1) можем утверждать, что точка О делит направленный отрезок ВА в некотором отношении, которое мы обозначим через — Х, т. е. — = — д ВО (2.1) или, что то же самое, ОВ=Х ° ОАеэ), (2.2) В случае, когда векторы а и Ь направлены в одну сторону (как на рис.

2.9), точка О лежит вне отрезка ВА, и потому отношение (2.1) отрицательно, а Х) О. Если же векторы а н Ь направлены в противоположные стороны, то точка О лежит внутри отрезка ВА, и потому отношение (2.1) положительно, а Х ч,. О. Докажем, что в обоих случаях Ь = Ха, Достаточно доказать, что два вектора Ь и Ха 1) коллинеарны, 2) имеют одинаковую длину, 3) имеют одинаковое направление. Коллинеарность векторов Ь и Аа вытекает из коллинеарности векторов а и Ь и определения произведения вектора на число. Равенство длин векторов Ь и Ха непосредственно следует из определения произведения вектора на число и соотношения (2.2). Наконец, тот факт, что векторы Ь и А,а имеют одинаковое направление, следует из определения произведения вектора на число и из того, что Х э О, когда а и Ь одинаково направлены, и Х ( О, когда а и Ь противоположно направлены.

Теорема доказана. 3. Понятие линейной зависимости векторов. Л и и е й н о й к о м б и н а ц и е й и векторов аь аь ..., а„будем называть сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, т. е. выражение вида а,а~+пса,+... +а„а„, (2.3) где аь аы ..., ае — какие угодно вещественные числа. Определение ]. Векторы аь ав, ..., а, называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа аь ав, ..., а„из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов аь аэ, ..., а, с указанными числами обращается в нуль, т. е. имеет место равенство а,а, +пса,+...