1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (Ильин Позняк 1999 Аналитическая геометрияu), страница 5

При этом будем предполагать, что начало декартовой прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцнсс совпадает с полярной осью (рис. 1.11). Пусть точка М имеет декартовы координаты х н у н полярные координаты р и ф. Очевидно, х:рсозф, у=рз1пф. (1.16) Полярные координаты р н ф точки М определяются по ее декартовым координатам х н у, очевидно, следующим образом: Х р=1/хе+ уз. Для того чтобы найти величину угла ф, нужно, используя знаки х н у, определить квадУ$ рант, в котором находится точка М И А~ (см.

п. 1 $2 этой главы н рис. 1.6), н, кроме того, воспользоваться тем, что тангенс угла ф равен у/х. 2. Цилиндрические координаты. у Цилиндрические координаты в пространстве вводятся следующнм образом. Выберем на фиксированной Рис. 1.12 плоскости П некоторую точку О и выходящий из нее луч Ох (рнс. 1Л2). Кроме того, рассмотрим ось Ог, проходящую через О перпендикулярно плоскости П.

Пусть М вЂ” любая точка пространства, й) — проекция этой точки на плоскость П, а М, — проекция М на ось Ог. Ц и л и н д р и ч е с к и м и к оордин агам и точки М называются три числа р, ф н г, й э) пОляРные, цилиндгичвскив, соврнчвскив кООРдинАты зз первые два нз которых (р н ф) являются полярными координатами точки У в плоскости П относительно полюса О и полярной осн Ох, а число г есть велнчнна отрезка ОМ,. Точку М с цилиндрическими координатами р, 9 и г обозначают М(р,~р,г). Наименование «цнлиндрическне координаты» связано с тем, что координатная поверхность р = сопз1 (т. е. поверхность, все точки которой имеют одну н ту же координату р) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны осн Ог (на рис.

1.12 такой цилиндр изображен штриховыми линиями). Если выбрать осн декартовой прямоугольной снстемы координат Охуг так, как указано на рнс. 1.12, то декартовы координаты х, у, г точки М будут связаны с ее цилиндрическими координатами р, щ, г соотношениями х=рсозщ, у=рз)п<р, г=г. (1.17) 3 а м е ч а н н е. Так как первые две цилиндрические координаты р и щ являются полярными координатами проекции У точки М на плоскость П, то к этим двум координатам относятся замечание и выводы, сделанные в предыдущем пункте. 3.

Сфернческне координаты. Для введения сферических координат в пространстве рассмотрим трн взаимно перпендикулярные оси Ох, Оу н Ог с общим началом О (рнс. 1.!3). Пусть М вЂ” любая, отличная от О точка пространства, У вЂ” ее проекция на плоскость Оху, р — расстояние М от О. Пусть, далее, 9 — угол, который образует направленный отрезок ОМ с осью г, а <р — угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки ось Ох') до совмещения с лучом Ол(. 9 и ~р называют широтой н долготой соответственно. Сферическими координатами точки М называются три числа р, ~р н 9*').

6--— Наименование «сфернческне ко- ~' в ! ордннаты» связано с тем, что координатная поверхность р = сопз1 (т. е. поверхность, все точки которой нмеют одну н ту же коордннату р) является сферой (на рис. 1.13 такая сфера изображена штриховой р .к)з линией). Для того чтобы соответствие между точками пространства н тройками сфернческих координат (р,гр,й) было взаимно од- ') Ислн прн этом смотреть нв врэшенне Ок со стороны положвтельного ввпрввленкв осв Оэ. ") йглв точка л) совпадает с точкой О, то р О, Длв точка О коордвнэтм р в 9 ве нмевгг опредеэенного экэчеввв, 24 системы кооэдинлт пеостеишие задачи !гл ! нозначным, обычно считают, что р и ф изменяются в следующих границах: О<р< + , О<ф<2.

Координата 0 по самому определению заключена между 0 и н. Отметим, что в задачах, связанных с непрерывным перемещением точки в пространстве, часто отказываются от указанных ограничений на изменение сферических координат (см. замечание в п. 1 этого параграфа). Если выбрать оси декартовой прямоугольной системы координат так, как указано на рис. 1.13, то декартовы координатых, у, г точки М связаны с ее сферическими координатами р, ф, 0 соотношениями х = р з(п 0 сов ф, у = р з!и 0 з1п ф, и = Р сов 0.

(1.18) дополнение к главе 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ 1. Понятие матрицы и определителя второго порядка. Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую произвольное число н4 строк и произвольное число л столбцов, называют матрицей. Для обозначения матрицы используют либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки. Например, Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется квадратной.

Числа, входящие в состав матрицы, обычно называют ее элементами. Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов: !.".' ~,'! (Д1.1) Оаре дел и те лам второго норад ка, соответствую- и!им матрице (Д!.1), называется число, равное а,от — а,Ь1 и обозначаемое символом Итак, ~о определению ! а ь ! 1Ьг агЬ!' (Д1.2) Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обычно называются элементами этого определителя. дополнение к глава | Справедливо следующее у т в е р ж д е н и е: для того чтобы определитель второго порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы гго строк (или соответственно гго столбцов) были пропорциональны.

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая из пропорций а|/аг Ь|/Ьг и а|/Ь|= а,/Ьг эквивалентна равенству а|6| — — а|6|, а последнее равенство в силу (Д12) эквивалентно обращению в нуль определителя. 2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Покажем, как применяются определители второго порядка для исследования и отыскания решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными а,х+ Ь!у=йн агх+ Ьгу=йэ (Д1.3) (коэффициенты а|, Ь|, аг, Ьг и свободные члены й| н йг считаются прн этом заданными). Напомним, что пара чисел хы уг называется решением системы (Д1.3), если подстановка этих чисел на место х и у в систему (Д1.3) обращает оба уравнения (Д1.3) в тождества.

Умножая первое уравнение системы (Д1.3) на 6|, а второе— на — Ь| и затем складывая полученные при этом равенства, будем иметь (а|Ьг — а,6,) х = Ьгй| — Ь,йг. (Д1 4) Аналогично путем умножения уравнений системы (Д1.3) на — аг н а| соответственно получим (а|Ьг аэЬ|) у = а|йг агйн (Д1.5) Введем следующие обозначения: '=1" "! '=!»' '! "=!...'1 С помощью этих обозначений и выражения для определителя второго порядка уравнения (Д1.4) и (Д1.5) могут быть переписаны в виде б ' х = бл~ а ' у = аэ.

(Д1.7) Определитель Л, составленный из коэффициентов при неизвестных системы (Д1.3), принято называть определителем этой системы. Заметим, что определители Л, и Аэ получаются из определителя системы А посредством замены первого или соответственно второго столбца свободными членами. Могут представиться два случая: 1) определитель А системы отличен от нуля, 2) этот определитель равен нулю. Рассмотрим сначала случай Л чь О. В этом случае из уравнений (Д1.7) мы сразу же получаем формулы для неизвестных, называемые формулами Крамера: х = А„/б, у = Аг/А.

(Д1.8) 26 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЯШИЕ ЗАДАЧИ [гл. ! Полученные формулы Крамера (Д1.8) дают решение системы (Д1.7) н потому доказывают единственность решения исходной системы (Д1.3). В самом деле, система (Д1.7) является следствием системы (Д1.3), н поэтому всякое решение системы (Д1.3) (в случае, если оно существует!) должно являться решеннем н системы (Д1.7). Итак, пока доказано, что если у исходной системы (Д1.3) существует при Ь чь О решение, го это решение однозначно определяется формулами Крамера (Д1.8). Легко убедиться н в существовании решения, т.

е. в том, что прн Ь чь О два числа х н у, определяемые формулами Крамера (Д1.8), будучи подставлены на место неизвестных в уравнення (Д1.3), обращают этн уравнения в тождества. (Предоставляем читателю самому расписать выражения для определнтелей Ь, Ь, н Ь„н убедиться в справедливости указанных тождеств.) Ррнходим к следующему выводу: если определитель Ь системы (Д1.3) отличен От нуля, го существует, и притом единственное, решение этой системы, определяемое формулами Крамера (Д1.8). Рассмотрям теперь случай, когда определитель Ь системы равен нулю.

Могут представиться два подслучая: а) хотя бы один нз определителей Ь, нлн Ь„ отличен от нуля; б) оба определнтеля Ь, н Ь„равны нулю '). В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно яз равенств (Д1.7), т. е. система (Д1.7) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная система (Д1.3) (следствнем которой является система (Д1.7) ). В подслучае б) исходная система (Д1.3) имеет бесчисленное мнозсвство решений.

В самом деле, нз равенств Ь Ь,= = Ь„= О н нз утверждения в конце и. 1 заключаем, что а~/ат= = 61/Ьт =Л~/Лт, т. е. заключаем, что второе уравнение системы (Д13) является следствием первого н его можно отбросить. Но одно уравнение с двумя неизвестными а,х+Ь,у=й, (Д1.9) имеет бесчисленно много решений (хотя бы одни нз коэффнцнентов а1 нлн Ь| отличен от нуля, н стоящее прн нем неизвестное может быть определено нз уравнення (Д1.9) через произвольно заданное значение другого неизвестного). Приходим к следующему выводу: если определитель Ь системы (Д1.3) равен нулю, то система (Д1.3) либо вовсе не имеет решений (в случае, если хотя бы один из определителей *) Из утнермпеннв в конце п. ! вытекает, что если определитель Ь и один из определителей Ь и Ьг резни иумо, то и другой из уиизииимхоиределигелей розен нуле.

В семом деле. пусть, например, Ь О и Ь = О. т. е. ийит ьйьг п лиле ьйьь тогда пз втнх пропорция получим, что ийиз ~~ Адам т,е. Ь„= О. дополнение к главе 1 Ь или Л„отличен от нуля), либо имеет бесчисленное множество решений (в случае, когда а = Л„= 0). В последнем случае два уравнения (Д1.3) можно заменить одним и при решении его одно неизвестное задавать произвольно.

Замечание. В случае, когда свободные члены Ь1 и Ьз равны нулю, линейная система (Д1.3) называется однородной. Отметим, что однородная система всегда имеет так называемое тривиальное решение: х = О, у =0 (эти два числа обращают оба однородных уравнения в тождества). Если определитель а системы отличен от нуля, то однородная система имеет только тривиальное решение. Если же а=О, то однородная система имеет бесчисленное множество решений (поскольку для однородной системы возможность отсутствия решений исключена). Таким образом, однородная система имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, когда определитель ее равен нулю. 3.