1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (Ильин Позняк 1999 Аналитическая геометрияu), страница 2

. 143 1. Эллипс[144). 2. Гипербола (146). 3. Парабола (И7). $2. Исследование формы эллипса, гиперболы н параболы по нх каноническим уравнениям........,....... 149 1, Исследование Формы эллипса (149). 2. Исследование Формм гиперболы (150). а исследование Формм параболы ОИЛ $3. Директрисы эллипса, гиперболы н параболы....,... (56 1. Эксцеитрнсвтет «элвиса и гиперболы (133). 2. Директрисы эллипса в гипербоаы (136). 3.

Оиревелсаве эллааса в гиеерболы, основанное иа их свойстве во отаоюеаив к директрисам (160). 4. Эллипс, гипербола н парабола как «овачесине сечыщя (163). 3. Поляриыа уравнения эллипса, гаперболы и параболы (164). 6 4. Касательные к вллипсу, гиперболе и параболе....., .. 166 1. Уравнения касательиьщ к эллипсу, гиперболе и параболе (!66). 2. Оптвческне свойства эллаиса, гваерболы и аараболы (167). 9 б. Кривые второго порядка . . . . . .

. . . . . . . . . . 168 1. Преобрааоаанис иоеФФацаевтоа уравнения линни второго аорялка прн переходе к новой декартовой сисжые координат (169Л 2. инварианты уравнения линии второго порядка. Понямв типа димин второго порядка (172!. 3. Цеито лапин второго порами (174). 4. Стаиааргиос уврощеипе любого урааасння лн. вии второго аорядка пужм поворота асей [!76).

3. Уарощение уравнении пентральяой лниии второго порядка РЛ чь ОЛ КлассиФвкация центральных ляний (176). 6. Упрощение ураюжиня паник параболического тапа [П О). Клас. сиФнкацвя линий параболического тина (!ао). 7. Распадающиеся кривые вто. рого ворядка (133). Глава 7. Поперхностн второго порядка..........., . 184 9 1. Понятие поверхности второго порядка . . . . . . .

. . . 184 1. Прсобраэоеанис кожррнциеитоэ уравнения пеаерхиости второго порядка ирк всреходе к вовой декартоаов снсжме иоордниат ([вб). 2. Инварианты уравиеиаа посс[юности второго порядка (!ав). 3. Пеитр иовеюсиоств второго ю» ОГЛАВЛПНИЕ дяа [(зп. с. СтеимаРтвос уарощевие лмбого уравнении поасрявостя второго й Ривка путем иоеорота осей (167).

2 Й. Классификапия поверхностей второго порядка ...., .. 102 !. классиовмамия иеитральнепс ооееряиостей (169). 2. классяоикакия непеятральнмк воеераностсй второго порядка (1го). 5 3. Исследование формы поверхностей второго порвдка по их каноническим уравнениям................. 194 !.

Зллввсонм (194). 2.' Гиперболовлм (!96). 6. парабодондм (199ь !. конус н ниавнлрм второго нерадив (ЗН). 6. Прямолнмейвые обрааующве поверхностей второго нарядна (292). Припев!ение. Проблемы оснований гееметрин и обоснования метода ° нггрднмат , 20б $ !. Аксиомы рлемеитарной геометрии............ 20б 1. Аксиомы ириваядмкности (266). 2. Лксномм аорядка (ЗПЬ 3. Аксномм мои° руавтиости (зю).

4. Аксномм веорермаиости (21)ь 6. Обоснование метода координат (212). 6. Аксвома пареллелькости (212). Й. Схема доказательства мепротиворечивосгв геометрии Евклида .. 2)г 3. Схема доиазательства непротиворечивости геометрии Лобачевского 221 й 4. Заключительные замечания о проблемах ансиоматнки . . . . . 223 ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ Данный выпуск серии представляет собой учебник по курсу аналитической геометрии. Кроме традиционно излагаемого материала, он содержит изложение некоторых вопросов, находящих применение в физике и в теоретической механике (понятие о барицентрическнх координатах, выяснение роли углов Эйлера в вопросах преобразования координат, представление произвольного преобразования в виде трансляции и одного поворота в пространстве, оптические свойства кривых второго порядка н т.

п,). Представляет интерес и приложение, содержащее аксиома- тику Гильберта, обоснование метода координат и дающее представление о неевклидовой геометрии. А. Тихонов, В. Ильин, А. Свешников ПРВДИСЛОВИВ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ Небольшая по объему «Аналитическая геометрия» используется в качестве основного учебника не только для студентов, обучающихся по специальностям «физнка» и «прикладная математика» университетов, но и на других факультетах университетов, а также в ряде технических вузов. Вероятно поэтому зта книга почти отсутствует в библиотеках, хотя общий тираж предыдущих изданий превьппает 270 тысяч экземпляров. Пятое издание перепечатывается с текста четвертого издания, в котором исправлено несколько замеченных опечаток. Июнь 1998 г. В.

А Ильин ПРВДИСЛОВИЕ К ЧВТВВРТОМУ ИЗДАНИЮ Для четвертого издания учебник дополнен материалом, посвященным линейным и проективным преобразованиям. Авторы благодарят эа помощь Ори оформлении этого издания А. В. Илыаиу. В. Ильин, Э. Позняк Март 1937 г. ПРВДИСЛОВИВ К ПВРВОМУ ИЗДАНИЮ Эта книга возникла на основе лекций, читавшихся авторами в течение ряда лет на физическом факультете Московского государственного университета.

Отметим некоторые особенности изложения. Во-первых, отметим, что по всей книге идет параллельное рассмотрение случаев плоскости и пространства. Весьма подробно излагается векторная алгебра. При ее изложении сразу же вводится понятие линейной зависимости векторов, н на его основе устанавливается возможность одно- пгйдисловие значного разлопения вектора по зффинному базису. Отличаются от общепринятых доказательство распределенного свойства векторного произведения и формулы для двойного векторного произведения. В связи с потребностями теоретической механики детально рассматривается преобразование декартовых прямоугольных координат.

Выясняется роль углов Эйлера и устанавливается, что, каковы бы ни были два базиса одной ориентации, один из них момет быль преобразован в другой посредством параллельного переноса и одного поворота вокруг некоторой оси в пространстве. При описании линейных образов, наряду с изломением традиционного теоретического материала, рассмотрено большое число задач идейного характера. Нам казгется, что рззбор этих задач принесет пользу студентам, приступзющим к упрапнениям. Не оставлены без внимания и имеющие приклздной характер вопросы теории образов второго порядка (оптические свойства, полярные уравнения и т.п.).

Приломение к книге содержит материал, не входюцнй в традиционные курсы аналитической геометрии. Здесь дается представление об аксиоматике Гильберта. Проводится обоснование метода координат, дается представление о системе развертывания основных геометрических понятий, об евклидовой и неевклидовой геометриях и о доказательстве их непротиворечивости. По программе, действующей в настоюцее время, этот материал не входит ии в один математический курс. Тем не менее этот материал актуален не только с точки зрения логических принципов построения геометрии, но и для понимания ряда разделов современной физики.

При написании этой книги мы широко пользовалнсь советами и друмеской критикой А. Н. Тихонова и А. Г. Свешникова, которым приносим свою глубокую благодарность. Нам хочется такие поблшодарить Н. В. Ефимова и А. Ф. Леонтьева за прочтение рукописи и сделанные ими замечания. В. Ильин, Э. 1Хозллк 196з г.

ВВЕДЕНИЕ Аналитическая геометрия имеет своей задачей изучение свойств геометрических объектов при помощи аналитического метода. В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые систематически примененный Декартом* ). Основные понятия геометрии (точки, прямые линии и плоскости) относятся к числу так называемых начальных понятий. Этн понятия можно описать, ио всякая попытка дать определение каждого из этих понятий неизбежно сведется к замене определяемого понятия ему эквивалентным. С научной точки зрения логически безупречным методом введения указанных понятий является аксиоматический метод, в развитии и завершении которого величайшая заслуга принадлежит Гиль- берту ««).

Аксиоматический метод излагается в Приложении в конце настоящей книги. Там дается представление о всей системе аксиом геометрии и о так называемой неевклидовой геометрии, к которой приводит замена одной из аксиом (так называемой аксиомы параллельности) утверждением, ее отрицающим. Там же выясняется вопрос о непротиворечивости как евклидовой, так н неевклидовой геометрии и устанавливается, что конкретной реализацией совокупности объектов, удовлетворяющих аксиомам геометрии, является введение точек как всевоз. можных упорядоченных троек (х, у, г) вещественных чисел, прямых — как множества троек (х,у, г), удовлетворяющих си.

стеме двух линейных уравнений, и плоскостей — как множества троек (х, у, г), удовлетворяющих одному линейному уравнению. Аксиоматический метод закладывает фундамент и для лежащего в основе аналитической геометрии метода координат. Ради простоты рассмотрим вопрос о введении координат на прямой. Возможность введения координат на прямой основывается на возможности установления взаимно однозначного со- ') Реве Декарт-эегэкнй фрамаузскаа математик а философ (1«99- 1Ево). ° «) Давид Гильз«рт — э«гикай а«иецкэй математик (1862-1943) аваданиа ответствия между множеством всех точек прямой и множеством всех вещественнегх чисел.

Доказательство воэможности установления такого соответствия базируется на аксиомах геометрии и иа аксиомах (свойствах) множества вещественных чисел ') н приводится в Приложении к настоящей книге. Таким образом, в Приложении к настоящей книге читатель найдет обоснование как системы развертывания основных геометрическях понятий, так и лежащего в основе аналитической геометрии метода координат. Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов методы алгебры и математического анализа. ') Свойства вацественныл чисел н акснонатнческнй метод ввелення ыножестеа вацественнык чисел иэлагавпся в главе 2 и в Прнаожении к выпуску 1 иастоянгего курса.

ГЛАВА ! СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В этой главе вводятся декартовы координаты э) на прямой, на плоскости и в пространстве. Рассматриваются простейшие задачи аналитической геометрии (расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении). Дается понятие о других системах координат (полярных, цилиндрических н сферических). 5 1. Декартовы координаты на прямой 1.

Направленные отрезки на осн. Прямую линию «*) с указанным на ней направлением будем называть осью. Отрезок на оси называется поправленным, если указано, какая из его граничных точек является началом и кал в 2г кая — концом. Будем обозначать парса правленный отрезок с началом в точРкс. 1.1 ке А и концом в точке В символом АВ (на рис. 1.1 изображены направленные отрезки АВ и С0), Мы будем рассматривать также и так называемые нулевые направленные отрезкн, у которых начало и конец совпадают. С каждым направленным отрезком сопоставляется его числовая характеристика — так называемая величина направлен- «) Коордилигм (от латинских слов со — совместно, оггнпаыз — упорядоченный, определенный) — числа, задаквем которых определяется положение точки на прямой, на плоскости влн в пространстве (соотаетственно на липни илн на поверхности).