1611141232-257f7f55a747e91bc7649c760a2ebb5e (Ильин Позняк 1999 Аналитическая геометрияu), страница 6

Определители третьего порядка. Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов: (Д1.10) аз Ьз сз . Он редел и гелем третьего поря дк а, соответствующим матрице (Д!.10), называется число, равное а|Ьзсз+ Ь,сзаз+ с,азЬз — с1Ь,аз — Ь!азсз — а~сзЬз (Д1.11) и обозначаемое символом В~И Итак, по определению ~а, Ь1 с~ а = ~ гз Ьз сз|= а,Ь,сз+ Ь,сзаз+ с а Ь, — с Ь а, — Ь,а,с, — а сзЬ,. аз Ьз сз (Д1.12) Как и в случае определителя второго порядка, элементы матрицы (Д1.10) будем называть элементами самого определителя. Кроме того, договоримся называть диагональ, образованную элементами аь Ьз н сз, главной, а диагональ, образованную элементами аз, Ьз и сн — побочной. Для запоминания конструкции слагаемых, входящих в выражение для определителя (Д1.11), укажем два правила.

Заметим, что первые три слагаемых, стоящих в (Д1.11) со знаком плюс, представляют собой произведение элементов опре- зв СНСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ~ГЛ. ! делителя, взятых по три так, как указано пунктирами и штрихами на нижеприведенной схеме Последние же три слагаемых, стоящих в (Д1.11) со знаком минус, представляют собой произведение элементов, взятых по три так, как указано различными пунктирами на следующей схеме: а,,Ъ( с, Ъг ~" сг ,д' а/ $ Правило составления шести слагаемых, входящих в выражение (Д1.11) для определителя, опирающееся иа указанные две схемы, обычно называют аравилои треугольника. Укажем н другое правило составления выражения для определителя, еще менее требующее напряжения внимании и памяти.

Для этого к матрице, из которой составлен определитель, допишем справа еще раз первый, а затем второй столбец. В полученной при этом матрице сплошной чертой соединены три тройки членов, получаемые параллельным переносом главной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение (Д1.11) со знаком плюс; пунктирной же чертой соединены три другие тройки членов, получаемые параллельным переносом побочной диагонали и отве- дополнения к гллвв ~ 29 чающие трем слагаемым, входящим в выражение (Д1.1!) со знаком минус. 4. Свойства определителей. В этом пункте мы установим ряд свойств определителей. Эти свойства мы будем формулировать и устанавливать применительно к определителям третьего порядка, хотя, конечно, они справедливы и для определителей второго порядка и, как выяснится позже (см. выпуск «Линейная алгебра»), эти же свойства справедливы и для определителей любого йорядкз и (там же см.

понятие определителя порядка и). Свойство 1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями, т. е. (Д1.13) ас Ьс сс = Ь! Ьс Ь3 Для доказательства этого свойства достаточно расписать определители, стоящие в левой и в правой частях (Д1.13), по правилу треугольника (или по другому указанному в предыдущем пункте правилу) и убедиться в равенстве полученных при этом членов. Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов. Поэтому все дальнейшие свойства определителя можно формулировать и для строк, и для столбцов, а доказывать или только для строк, или только для столбцов. Свойство 2.

Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя равносильна умножению его на число — 1. Доказательство также получается из правила треугольника (мы предоставляем его читателю). Свойство 8, Если определитель имеет две одинаковые строки (или два одинаковых столбца), то он равен нулю. В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель а не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 ои изменит знак на противоположный.

Таким образом, Л = — Л, т. е. 2б = О, или а = О. Свойство в. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число Х равносильно умножению определителя на это число Х. Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно выносить эа знак этого определителя. Например, ь» Ьс сс = А ас Ьс сс Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что определитель выражается в виде суммы (Д1.12), каждый член 30 системы кооэдинкт пэостепшие ВАдАчи ггл з которой содержит один и только один элемент из каждой строки и один и только один элемент из каждого столбца. Свойство 5.

Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает нз предыдущего (при Х = 0). Свойство б. Если элементы двух строк (или двух столбцов) оиределителя пропорциональны, то определитель равен нулю. В самом деле, в силу свойства 4 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего остается определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю согласно свойству 3. Свойство 7.

Если каждый элемент и-й строки (или п-го столбца) определителя иредставляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммьз двух определителей, первый из которык имеет в п-й строке (в и-м столбце) первые иэ упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель, в остальных строкак (столбцак), а второй оиределитель имеет в и-й строке (в и-м столбце) вторые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и искодный определитель, в остальных строках (столбцах). Например, / с з с з л / з с и и аз+а, Ь +Ь, с +с, с, Ь, сз аз Ьз сз сз ь, сз сз Ьз сз + сз Ьз сз сз ь, сз а, Ь, сз а, Ь, с, Для доказательства этого свойства снова достаточно заметить, что определитель выражается в виде суммы слагаемых, каждое из которых содержит один н только один элемент из каждой строки н один и только один элемент нз каждого столбца.

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на ироизвольный множитель )з, то величина определителя не изменится. В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно (в силу свойства 7) разбить иа сумму двух определителей, первый нз которых совпадает с исходным, а второй равен нулю вследствие пропорциональности элементов двух строк (или столбцов) и свойства 6. Для формулировки еще одного фундаментального свойства определителя нам понадобятся новые понятия. 5.

Алгебраические дополнения и миноры. Соберем в выражении (Д1.12) для определителя члены, содержащие какой-нибудь один элемент этого определителя, и вынесем указанный элемент за скобки; величина, остающаяся при этом в скобках, называется алгебраическим дополнением указанного элемента. З1 дополнение к ГЛАВе 1 Алгебраическое дополнение данного элемента мы будем обозначать большой латинской буквой того же наименования, что и данный элемент, и снабжать тем же номером, который имеет данный элемент. Например, алгебраическое дополнение элемента Ьз бдем обозначать через Вм алгебраическое дополнение элемента аз — через Аз н т. д.

Непосредственно из выражения для определителя (Д1.12) и из того, что каждое слагаемое в правой части (Д1.12) содержит один и только один элемент из каждой строки и один и только один элемент нз каждого столбца, вытекают следующие равенства: а=а,А,+Ь,В,+с,Сь й=азА,+Ь,В,+сзСм а=азАз+ЬзВз+сзСз. (Д1. 14) й = азАз+азАз+азАз, й=Ь! Вз+ЬзВз+ЬзВз. й=сзСз+сзСа+ сзСз. (Д1.15) Эти равенства выражают следующее свойство определителя: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого столбца).

Равенства (Д1.14) принято называть разложением определителя ио элементам соответственно первой, второй или третьей строки, а равенства (Д1.15) — разложением определителя по элементам соответственно первого, второгоилитретьегостолбца. Введем теперь важное понятие минора данного элемента определителя. М и н о р ам данного элемента определителя и-го иорядка*) называется определитель (п — 1)-го порядка, получаемый иэ данного определителя иугем вычеркивания той строки и того столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.