1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987).djvu), страница 8

Процесс обслухсиваиия с ожиданием, рассмотренный в з 1.2, является процессом гибели и размиожепия. Для него Л = Х при п > О, р,=йрпри 1~3<и и си=тсспри Й~и. 2. Диффереициальиые уравнения процесса. Обозначим через Р,(1) вероятность того, что система в момент с находится в состоянии Е,. Теперь уже привычными рассуждекиями мы приходим к следующей системе дифференциальных уравнений: Р,'(1) = — Х,Р,()+ Р,Р,(1) (1) и при Й > 1 Р',(Г) = — ().ь+ Р„) Рд(~)+ )ь 1Р, 1(1) + 11„+,Рвы(~). (2) Сделанные обозиачекия несколько неудачны, поскольку мы ие отъсетили, из какого состояния Е, начала изменяться систе- ма.

Так что исчерпывающие обозяачеиия были бы такие: Рв(г) — вероятиость того, что система окажется в момеит 1 в состоянии Еь если в момент О ояа находилась в состоянии Е,. В задачах, рассмотренных в $ 1.1 и 1.2, мы предполагали, что начальное состояние системы было Ег. Уравнения (2) и (1) особенно простой вид принимают в случае, когда при всех й ~ 1 имеют место равенства ц,= О, т. е. для процессов чистого размпожеяия.

В атом частном случае пу- тем последовательного интегрирования удается найти одну функ- цию вслед за другой. Без труда можно выписать общее решение и Убедиться, что функции Р,(г) неотрицательяы при любых й Однако если Х, при возрастании й растут слишком быстро, то может случиться, что лз Рз (г) < 1. в=о 3.

Доказательство теоремы Феллера. Для того чтобы нри всех зна'сениях 8 решения Р„(1) уравнений чистого размножения Удовлетворяли сост, ошению ~~ Р„(г) = 1, ь-о 38 ГЛ. 1. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ >сеобходизоо и достаточно, чтобы расходился ряд Х )„-1 а=о (3) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим частичную сумму д„(1)=Р,(1)+... +Р„(1). (4) Из уравнения размножения вытекает, что 8'. (1) = — ).Р„(1). Отсюда находим, что 1 8„(1) = Х„~ Р„(г) д1 о (6) (6) 11пг (1 — Яо (1)) = 11 (1). В силу (5) заключаем, что Х„~ Р„(1) д1 =» р (1).

о Отсюда ясно, что Так как при любых 1 и л имеет место неравенство 8„(1)~ 1, то Если ряд (3) расходится, то из последнего неравенства вытекает, что при всех 1 должно быть выполнено равенство к(1)= = О. Вспомнив равенство (6), мы убеждаемся, что расходпмость ряда (3) приводит к равенству (если вместо начального условия Ро(О)=1 мы возьмем другое, а именно Р1(0)= 1, то зто равенство имеет место при и >1). Так как все члены суммы (4) неотрицательны, то при каждом фиксированном значении 1 сумма 8„(1) с возрастанием п не убывает. Следовательно, существует предел з сз.

пгоцвссги гнввли и глзмножвнпя Из (5) ясно, что а следовательно, Яо(о) бо ~ ~— + ° + —. 1 1 о о о В пределе при и — получаем ) [1 — р(г)[ ~й( ~ Х„~. о л=о Если [о(о)= О при всех 8, то левая часть неравенства равна а поскольку 6 произвольно, то ряд, стоящий в правой части, расходится. Теорема доказана. В теореме а 1.1 рассматривалась простейшая задача чистого размножения; там мы имели дело со случаем й„= Х при всех и ~ О. Для этого случая ряд (3) расходится. Из теоремы вытекает, что при Х„= п'„и ~ О, обязательно должно быть выполнено неравенство ~ Р„(8) (1. На сумму о=о Х Ро(о) моокно смотреть как иа вероятность того, что за врез=о мя г произойдет лишь конечное число изменений состояния системьь Таким образом, разность1 — ~ Ро(г) следует интерпрео=о тиРовать как вероятность бесконечного числа изменений состояния за время 1.

В явлении радиоактивного распада такан возможность означает взрыв. Изложенная теорема была найдена и доказана Феллером [3). Приведем другое, доказательство теоремы Феллера, попутно введя понятие преобразования Лапласа — Стилтьеса — одно из важнейших аналитических средств теории массового обслуживания. Определение. Пусть г(~) — функция распределения не~~рицательной случайнои вели'шны $, Функция комплексной пеРеменной з ср(г) = ~ е "о[г ([) о называется преобразованием Лапласа — Стилтьеса функции г" (о) (случайной величины З).

40 гл. с. ВАЛАчи ТВОРпи массоВого ОБслужиВАния Если распределение непрерывно, т. е.г"'(3) = ) р(х)<сх, где о р(х) — плотность вероятности, то <р(з) ) е и р(З)ссй Если о г'(8) — дискретное распределение, а именно ссг (3) = с.'о раб(з — хо) <сз, где б(с) — дельта-функция, то <р(з) ~<роз ". Многие случайные величины в теории массового обслуживания (напри- мер, длительность оя<идания требования) с вероятностью г" (+О) принимают значение 0 и с вероятностью р(х)<(х значения из интервала (х, х+ ссх) при х «О. В таком случае <р (з) = = г(+О)+) е о'р(з) <с( о Приведем основвьсе свойства преобразования Лапласа— Стнлтьеса.

1. Функция <р(г) определена при любых комплексных г с неотрицательной действительной частью и непрерывна по г при Вег «О. 2. В области (Ве г «О) <р(з) — аналитическая функция. 3. <р (0) = 1; 1<р (г) ~ «1 при Ве г «О. 4. )<р(з)) (1 при Вег«О, если Г(+О)(1; <р(г)- 0 при Ве г -~ о, если Е (+О) = О. 5. Если $„..., $„— независимые случайные величины с пре- образованиями <рс(з), ..., <р„(з), то преобразование $с+...+$, есть <р,(з) ... <р„(г). 6.

Если М) $)~ < со, то М$' = ( — 1)" роо (О), где имеется в виду производная по направлению любого луча, исходящего из начала координат и находящегося в правой полуплоскости. (Производной в обычном смысле в точке г = О может не существовать; например, может быть <р( — е)= о для любого е «О.) Пусть з «О. Имеем с г (с) ~ <)су (с) ~ — с<о — с)<(г (х) ~ есс<р (г) (7) Неравенство (7) н служит ключом к доказательству теорол<ы Феллера. Пусть с' — момент попадания процесса размноя<ения в состояние и, Зо = )пп З . Тогда с, =з, +...+ з. „где з„— независимые случайные величины; Р(зо) З) = е ьо', З ЪО.

Преобразованием а 1.3. пРОцессы ГиБели и РАзмноженпя Лапласа — Стилтьсса 11 будет срь (з) = Хь ~ е " ь'Г1Г = 1,1(1 +з/ХА). э Отсюда, положив г = 1, из (7) найдем (к-1 /я-1 Р(тэ < 1) (Р(1„< г)<е/П (1+ — ~ ( е / ~' —. Последнее выражение стремится к нулю при и —, если ряд (З) расходится, откуда Р(1э = 1) = 0 для любого г. Остается заметить, что Р (гэ < ~) = 1 — ~~.", Рд (1).

Если теперь ряд (3) ь=.о сходится, то, заметив, что $ 1 Мг„= г — + ° + р о й-1 получим М(»„— гл) = „.. 1 < $ ~"л-1 если 11' достаточно велико. Отсюда Р (Гв — Гл - е) ~< М (1 — 1е)!е = е и по аксиоме непрерывности Р (Гэ — 1И ) е) е, Очевидно, Р(1И(х))0 для любого х)0, так как 1, — сумма независимых случайных величин с положительными плотностями; отсюда Р(1э<Г))Р(Г <à — е, Гэ — 1 <е)) ) Р(~к( т — е) (1 — е) )О. 4. Ненагруженный резерв без восстановления. Представим себе, что у нас имеется снстеиа, состоящая из одного основного элемента и и эквивалентных ему элементов, находящихся в не- нагруженном резерве. Основной элемент находится под нагрузкой и в промежутке времени (г, г+Й) может отказать с вероятностью ХЙ+о(Й). Как только основной элемент откажет, ему на смену в работу включаетсн один из резервных, который, таким образом, становится уже основным. Система отказывает, как только откажут все элементы — основной и все резервные.

Обозначим через Е, событие, состоящее в том, что в системе Отказали Й элементов. В момент времени 1=0 система находит- СЯ в состоянии Е,. Задача состоит в том, чтобы определить вероятности состояний Е, в момент времени й Пребывание в состоянии Е э, в момент г означает, что система отказала до момента й 42 ГЛ. Б ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Заметим, что в рассматриваемой задаче мы имеем случай процесса чистого размножения, причем Л, =Л прн О ~ й ( и и Ло = О прп й > и. Ряд (4) расходится, поскольку имеются Ло = О.

Таким образом, равенство (3) обязательно выполнено. Уравнения (2) и (3) для рассматриваемой задачи принимают такой внд: Ро (о) = ЛРо (о) прн 1~й~и Ро (г) = — ЛР„(() + ЛРо г (г), при й=и+1 Ра ы (о) = ЛРВ(г). Последовательное решение атой системы уравнений и использование начальных условий приводит к системе равенств Р,(г) = е-о', , (г) = Лге- ', Р,(() = —,е-"', (М) з) Ра (г) = — е — о', (Ло)" а) ( о)о Р о.о(1)=1 — ~ А, е ы. о=о Обозначим через эо длительность жизни й-го элемента в период работы. Очевидно, что длительность жизни всей системы равна $ +$о+ +э. Так как средний срок жизни одного алемента в работе равен ЮЛе мгй = —, о то средний срок жизни зарезервированной системы равен (и+1)IЛ, т.

е. пропорционален общему числу элементов в системе. 5. Нагруженный резерв без восстановления. Рассмотрим еще одну простую задачу теории резервирования. Основной элемент снова имеет и резервных, но все резервные элементы находятся в том же состоянии, что и основной.

Каждый нз элементов за промежуток времени (о, 1+ й) отказывает с вероятностью 1 1,3 ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ 43 Лй+о(й). Система в целом отказывает в момент, когда откажут все элементы. Мы вновь имеем дело с процессом чистого размножения, для которого Л„=(п+1 — й)Л при О( й~ и, Л„+1=0. Уравнения задачи принимают такой вид: Р, (Г) = — (и + 1) ЛР, (Г), при 1~й~п Р» (г) = — (и + 1 — й) ЛР» (Г) -(- (и — й (- 2) ЛР» 1(1) и при й =и+1 Р»+1 (Г) ЛР„(1) Регпение выписанной системы уравнений приводит к равенствам Р,(1)= е '"+"" Р1(1) =(и+1)е ""'(1 — е "), Р (1)=(н+1)е "'(1 — е ")", Р +1(Г)=(1 — Е ")'+1 Вычисление средней длительности жизни резервированной си- стемы мы проведем следуюгцим способом: отметим па оси абсцисс моменты последовательных отказов 1„1„..., 1»о Введем обозна- чении т, =1„т» = 11 — 1„..., 1+1=8„»1 — 1„.