1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987).djvu), страница 4

Попытка указать достаточно общие условия, при выполнении которых такой ноток действительно имеет место, были предприняты давно. Так, в зз 81 и 82 известной книги Фрая Щ даны понятия случайности в индивидуальном и коллективном смысле слова и показано, что при совместном их выполнении поток требований должен быть пуассоновским только что укаэанного вида. Нельзя сказать, что рассуждения Фрая были исчерпывающими, но они указывали практикам достаточно широкие условия, при которых простейший поток оказывается единственно возможным.

Несколько иные условия ранее рассмотрены М. Смолуховскнм и А. Эйнштейном (Ц в их работах, посвященных теории броуновского движения. В монографии А. Я. Хинчина [21 эти условия были приведены к трем следующим: стационарность, отсутствие последействия, ординарность. Четвертое условие (см. с. 18), которое постоянно отмечается в учебной тб ГЛ. 1, ЗАДАЧП ТВОРИН МАССОВОГО ОВСЛУЗ1ПВАНПЯ литературе по теории вероятностей, как показал А. Я.

Хинчин, является следствием перечисленных. В настоящем параграфе мы изучаем только этот подход. Поток Пуассона не только подтверждается статистически при наблюдении многих реальных потоков, но н появляется в качестве предельного объекта во многих вероятностных схемах. С ними можно познакомиться по работам Дж. Дуба [ть Р. Л. Добрушина [1), Бреймана Щ О работах и результатах А. Я. Хннчнна [2), Г.

А. Ососкова [11, Репьи [1), Ю. К. Беляева Щ будет сообщено ниже. 2. Понятие потока однородных событий. Определение. Потоком однородных событий называется конечная нли счетная последовательность (т„) случайных величин, определенных на одном и том же вероятностном пространстве, прн условии, что в любой фиксированный интервал времени (а, Ь) с вероятностью 1 попадает конечное число втпх величин. Если данное 1 совпадает с г элементамн последовательности (т„), скажем, что в момент 1 происходит г событий потока.

Если т, упорядочены так, что т„<а<т„+,<т+с«...т+1<Ь< < т А,+„то т„+; называется моментом наступления 1сго события потока однородных событий в полуннтервале [а, Ь). Изучению свойств потоков однородных событий посвящена гл. 2. Отметим только одно свойство, которое понадобится в данном параграфе. Л е м м а. Число т (а, Ь) событий потока в полуинтервале [а, Ь) есть случайная величина.

Доказательство. Имеем [т(а, Ь)) й) = () [а(т„~ ( Ь, ..., а(т„( Ь); ь «...ьь остается заметить, что конечнее илн счетное объединение случайных событий есть случайное событие. 3. Качественные предпосылки и их анализ. Определим свойства стационарностп, отсутствия последействия и ординарности потока однородных событий. Стационарность потока означает, что для любой группы пз конечного числа непересекающихся отрезков времени вероятность появления в них соответственно йо йм ° ° , ь. требований зависит только от этих чисел и от длин указанных проме1кутков времени, но не зависит от их располов1ения на оси времени. Б частности, вероятность появления й требований в промежутке времени (Т, Т + ~) не вавнснт от Т и является функцией только переменных к и й Отсутствие послсдейстеия состоит в том, что вероятность поступления й требований в течение промежутка времени (Т, Т + ~) не зависит от того, сколько требований и как поступали до этого промежутка.

Таким образом, вто предположение озиа- 5 1.1. пРОстейший поток 17 чает, что условная вероятность поступления й требований ва промежуток 1Т, а'+1), вычисленная при произвольном предположении о поступлениях требований до этого промежутка времени, совпадает с безусловной вероятностью того же события. В частности, отсутствие последействия означает взаимную независимость появления того или иного числа требований на обслуживание в неперекрывающихся отрезках времени.

Ординарность потока требований выражает собой условие практической невозможности появления двух илн нескольких требований в один и тот же момент времени. Это условие точнее сформулируем следующим образом: обозначим через Р ,(Ь) вероятность появления в промежутке длины й двух или более требований. Условие ординарности потока состоит в том, что при й- О Р~1 оь) О Ь Ф или, что то же, Р~~(й)= о(й). Поток однородных событий, удовлетворяющий сформулированным условиям, называется простейшим потоком. Перейдем к краткому анализу только что перечисленных трех условий, обращая при этом особое внимание на их содержательный, физический смысл.

Такой анализ крайне необходим, особенно если мы учтем важность тех выводов теоретического характера и практических приложений, которые базируются на указанных предпосылках. Экспериментальная проверка, предпринятая в различных областях знаний — физике, телефонном деле, теории наде кности (отказы элементов систем), транспорте, торговле и пр.,— показала, что простейший поток наблюдается не так часто, как это предполагалось первоначально.

Собственно, такого заключения можно было ожидать и до получения результатов экспериментальных исследований. Действительно, предположение стационарности в реальной обстановке является довольно сильной абстракцией. 11а самом деле оно нарушается в силу большого числа различных причин. В явлении радиоактивного распада необходимо учитывать, что со временем масса вещества, способного к распаду, уменьшается и тем самым стационарность в строгом смысле этого слова отсутствует. Поток вызовов, поступающий на телефонную станцию, не может считаться вполне стационарным, так как в течение суток режим работы станции существенно меняется. Поток вызовов скорой медицинской помощи, оказывается, также существенно зависит от времени суток. Однако если рассматривать явления в сравнительно ограниченные промежутки времени, то предположение стационарности может служить достаточно удовлетворительным первым приближением.

В. и. Гвевевко, И. Н. Ковааевко 18 Гл. к ЗАдачи теОРии мАссОВОГО ОвслгжиВАния Гипотеза отсутствия последействия во многих случаях такн1е должна считаться недостаточно обоснованной. Имеются мною- численные явления, в которых наступление одного события влечет за собой появление других. Скажем, один телефонный звонок может повлечь за собой большое число звонков к другим абонентам. Другой пример — радиоактивный распад. В случае, когда имеется большое количество нераспавшегося вещества, распад атома может вызвать распад других, в результате чего произойдет цепная реакция. Однако если взято небольшое количество вещества, то гипотеза отсутствия последействия достаточно удовлетворительна.

Цепная реакция телефонных звонков оказывает на работу станции ничтожное влияние из-за наличия огромного числа других абонентов. Предположение ординарности потока во многих случаях оказывается выполненным далеко не с полной строгостью. Известно, например, что в магазины и в билетные кассы обращаются сразу группами. В речной порт под разгрузку поступают пе только самоходные баржи, но и караваны оарж, приводимых одним буксиром. К шлюзу подходит не только отдельный пароход, но и буксир с баржами.

Подобные же появления групп событий наблюдаются и во многих физических явлениях. Несмотря на то, что три условия, о которых только что шла речь, как правило, не выполняются со всей определенностью, они могут служить хорошим отправным пунктом для изучения реальных потоков. Позднее мы выясним, какое влияние оказывает на характер потока каждое из указанных условий. 4. Вывод уравнений простейшего потока.

Обозначим через Р„(1) вероятность того, что в течение промежутка времени длительности 1 к обслуживанию будут предъявлены Й требований. В силу стационарности потока зта вероятность не зависит ни от выбора начала отсчета, ни от всей его предыстории. Условия, определяющие простейший поток. позволяют однозначно, с точностью до одного параметра, найти формулы дчя вероятностей Рь(1). Для простоты рассуждений добавим к трем перечисленным предположениям еще одно, согласно которому Р,(Й) = ),Й + о(Й), (1) где Х вЂ” некоторое постоянное число. Позднее мы докажем, что это предположение является следствием трех ранее сделанных. Прежде всего определим вероятность того.

что в течение промежутка времени 1+ Й поступит ровно Й требований. Это событие мо1кет осуществиться Й+ 1 различными способами. Действительно, отметим следующие несовместимые возможности: 1) за промежуток времени 1 наступят все Й требований, а эа промежуток Й вЂ” ни одного; 5 1Л, ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК 2) за промежуток длительности ( наступят й — 1 требований, а за промежуток длительности й — одно; й+1) за промежуток длительности Ф не наступит ни одного требования, а за время й — все й требований. Воспользуемся теперь формулой полной вероятности, которая при учете отсутствия последействия принимает такой вид: Р» (~ + й) = Х Р.

М Р -1(й) 1=» Введем обозначение »г(» = ~» Р; (8) Р„;(й) и оценим зту сумму, заметив, что величины Р»(1), как вероятности, не могут преносходить единицы. Таким образом, Л„-ч Р„(й) ч, Р (й) Распространив суммирование в правой части неравенства до бесконечности, мы только усилим предыдущее неравенство, т. е. В»~ч", Р,(й) =Р,(й). Согласно условию ординарности потока Р,(й) = о(й), В результате получаем равенство Р„(1+й)=Р,(г)Р,(й)+Р„,(1)Р,(й)+о(й).

(2) В етом равенстве можно заменить Р,(й) на Лй+ О(й) в силу дополнительного условия (1), от которого позднее мы освободимся. Кроме того, ясно, что Р,(й) = 1 — У,' Р,(й) = 1 — Р (й) — ~ Р,(й). Следовательно, Р, (/г) = 1 — Лй+ о(й) . Теперь равенство (2) переписывается в виде Р„(1+ й)= Р,Я (1-Лй)+ Р»,(~)ЛЬ+ о(й), из которого следует, что Р, (1+ й) — Р» (1) = — ЛР»(1) + ЛР» 1(1) + о(1). 20 Гл. 1. ВАдАчи теОРие мАссОВОГО ОвслужиВАе1ия Пусть 11- О. Так как предел правой части существует, то существует и предел левой части последнего равенства.