1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987).djvu), страница 5

В результате предельного перехода находим, что ~'„(1) — = — ).Р„(1) + ХР,, (г). (3) При выводе этого уравнения мы предполагали, что й ~ 1. Придавая й различные значения, получим бесконечную систему уравнений для определения бесконечного числа неизвестных нам вероятностей Р„(1), Таким образом, уравнение (3) на самом деле представляет собой бесконечную систему дифференциально-разностных уравнений.

К этой системе мы должны добавить еще одно уравнение, которому удовлетворяет функция Р, (г) . В силу условия, определяющего простейший поток, имеем равенство Р,(Ь+ й) = Р,(1)Р,(й). На основании уже проделанных подсчетов это равенство можно заменить на следующее, ему эквивалентное: Р, (1+ й) = Р, (1) (1 — Хй+ о (Ь) ) . Предельным переходом находим теперь уравнение для определения Р,(~): 5. Решение уравнений. Последнее уравнение, как легко убедиться, имеет решение Р,(1)= Се "'. (5) Для определения постоянной С воспользуемся равенством (1), из которого следует, что Р,(О)= 1.

В то же время согласно (5) Р,(О) = С. Сравпение последних равенств приводит нас к тому, что Р0('1) = е ". (6) Подставляя Р,(Г) в уравнение для определения Р1(1), получим решение Р, (1) = ) ге "'. Последовательной подстановкой уже найденных вероятностей в уравнение (3) можем получить вероятности Р,(1) с произвольными индексами. Несложный расчет показывает, что при Я !.!. ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК любом й~ О (7) В вычислительном отношении решение системы уравнений становится совсем простым, если ввести замену Р„(!) = е-"'п„(!). В терминах функций Р,(!) уравнения (3) и (4) принимают такой вид: Рь(!) = Лаз !(!)(й= 1, 2, ...) н Р,(!) = О. Начальные же условия даны равенствами по(О) = Р,(0) =1, Р„(О) = Р„(0) = О (й = 1, 2, ...).

При учете начальных условий уравнения для Р„(!) приводят к равенствам н вообще при любом й ~ 0 (Л!)" гь(!) = Возвращение к функциям Р„(!) приводит к равенствам (7). б. Вывод дополнительного предположешгя из трех основных. Прн выводе уравнений, посредством которых был найден общий вид простейшего потока, мы ввели временно условие (1). Наша ближайшая задача — вывести это условие из трех основных. С этой целью рассмотрим промежуток длительности 1 и обозначим через 0 вероятность того, что за этот срок не появится ви одного треоования, т. е. Разобьем рассматриваемый промежуток времени на п равных частей.

Для того чтобы за весь промежуток времени не поступило требований, необходимо н достаточно, чтобы они не появились нн в одном из и частных промежутков. Отсюда и из предположений стационарности потока и отсутствия в нем последействия получаем равенство Следовательно, 6 пг, пРОстейший пОтОк 23 Р, (с) + Р, (1) + Р~, ( с) = 1. При малых с из условия ординарности потока и из (8) находим, что Р,(с) = 1 — Ьс+ о(с).

Зто равенство и условие ординарности приводит нас к (1). Требуемое доказано. 7. Распределение моментов событий потока. Рассмотрим полуинтервалы А,=(О, с,— Ь,), А, = [с, + Ь„с, — Ь,), В, =(сг — )г„с,+Ь), В, = (С, — Ьм си+ Ьг), А = (С„-, + Ь„-„1„— й„), В„= гг„— й„, Ф„+ Ь„) . Величины Ьь Ь, рассматриваем как бесконечно малые. Вероятность сооытия, состоящего в том, что в интервалах Ао ... ..., А„нет ни одного события потека, а в каждом из интервалов В„..., В„ровно по одному событию, согласно предьгдущему равна е ( г г) (Х(Ьг + Ьг) + о(йг+ Ьг)] е г ' г ') (Х(йс + Ьг) + + о(й -)- Ьг)) е 'Р" "" "-' ")(Х(йи+ Ьл) + о(йл+ Ьл)) = п = П (е ( ' г-') Х (йг + Ьг) + о (йг + Ь ))„ где с, О.

Зта же вероятность совпадает с вероятностью того, что (тг — моменты поступления событий) 1~ — Ь~~~т~<С,+Ье ..и ф— й„<т <1 +Ь„. Следовательно, случайный вектор (т„..., т ) обладает плотностью вида Х е х(~и 'г) = П ()ге х(гг г' г)1. Последнее означает, г=г Заметим, что при выводе атой формулы совсем не предполагалось, что поток ординарон. Последнюю формулу мы должны трактовать так: вероятность того, что промежуток времени между двумя последовательными моментами наступления событий стационарного потока без последействия превзойдет г, равна е ". Значит, функцйя распределения длины промежутка между двумя последовательными наступлениями событий потока равна Р(г) = 1 — е-"'. (9) Так как за промежуток времени 1 какое-то число требований наступает, то 24 Гл.

1. ЗАДАчи твогии мАссОВОГО ОБслужиВАния что т„т1 — ть ..., т„— т„, — независимые случайные величины, показательно распределенные с параметром Х. В данном рассуждении можно считать т„т„... моментамп последовательпых событий простейшего потока, начиная с любого фиксированного момента времеви ~„если совместить начало отсчета времени с 11, Докажем в качестве следствия свойство, названное Фраем ((1), с. 172) случайностью в индивидуальном смысле. Т е о р е м а.

При условии, что число событий простейшего потока в интервале (а, Ь) равно и, моменты этих событий независимы и равномерно распределены в интервале (а, Ь). Доказательство. Предположим вначале, что моменты событий т„..., т„расположены в порядке возрастания. Согласно предыдущему Р(й (а, Ь) = и; й < т, < й+ агь 1 < 1 < и) Р(й < т; < й+ й;, 1 < 1 < и; т..„> Ы, где т~ — 1-й момент события потока, начиная с момента а. Данная вероятность равна й"е "' "й,...

с(1„: вероятность события, -1(Ь-1ь-И1„ связаБного с т„..., т„, умножается на вероятность е е (ь '") отсутствия событий в интервале (~„+агйи Ь). Мы видим, что случайный вектор (т„..., т„) равномерно распределен в области (а < г, «... 1„< Ы. если о взаимном расположении моментов событий ничего не известно и если считать, что любая система неравенств т;, < т;, « ... т1„имеет вероятность 1/и1, то получим равномерное распределение в гиперкубе (а < т~ < Ь, 1 .= 1 < и), в чем и состоит требуемое свойство. 8. Интенсивность и параметр потока. Проведем несколько несложных подсчетов.

Прежде всего легко подсчитать, что для простейшего потока среднее число требований, поступающих за время г, равно М(1 (1) ~ йР„(1) = е 11 Х й —. = ) с. 1=1 1=1 Здесь через (1(~) обозначено истинное число требований, поступивших за промежуток времени й Математическое ожидание числа требований, поступающих за единицу времени, называется интексивностью потока. Обозначим интенсивность буквой (1.

Для простейшего потока Величина ) носит название параметра потока. Из последнего равенства видно, что для простейшего потока интенсивность совпадает с параметром потока. З 1.2. ОБСЛУЖИВАНИЕ С ОЖИДАНИЕМ 25 Обозначим через я,(1) вероятность поступления за промежуток времени 1 хотя бы одного требования, т. е. положим ° 1(З) = Х РЬ(З) = ~ — Рв(Г) %=1 Для простеишего потока имеет место следующее предельное равенство: я, (1) )пп — '= Х. ((О) 1- О Это равенство будем считать определением параметра потока. Для произвольного стог(ионарного потока (для которого предел (10) существует) выполняется неравенство (1 ~ ~Х. Действительно, для стационарного потока Р ~Ю М(1(Г) = Ф = Х йрь (Г) = Х Рь (З) = ° (().

Отсюда находим, что при любом 1 н, (1) )1 )— Ясно, что это неравенство доказывает требуемое утверждение. й 1.2. Обслуживание с ожиданием Е Постановка задачи, Мы изучим здесь классическую задачу теории массового обслуживания в тех условиях, в каких она была рассмотрена п решена Эрлангом. На гп одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности Х.

Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приооры заняты, то вновь прибывшее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которые поступили раньше и еще не начали обслуяшваться. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживанию очередного требования, если только имеется очередь. Каждое треоование обслуживается только одним прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент не более одного требования.

Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей г'(х). Предполагается, что при х ) 0 г'(х)= 1 — в ', где )1 ) 0 — постоянная. 26 Гл. с. злдлчи теогип мАссОВОГО овслуживлния Только что описанная задача представляет значительный прикладной интерес, и результаты, с которыми мы познакомимся, широко используются для практических целей. Позднее мы рассмотрим схематически пример такого рода.

Нет нужды говорить, что реальных ситуаций, в которых возникают подобные вопросы, исключительно много. Как уже было упомянуто во введении, Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов, возникших к тому времени в телефонном деле. Выбор распределения (1) для описания длительности обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точностью описывает ход интересующего нас процесса.

Мы увидим, что распределение (1) играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызвана следующим его свойством: При показательном распределении длитесьности обслуживания распределение длительности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалоеь. Действительно, пусть )",(~) означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжается время а, продлится еще не менее чем ~. В предположении, что длительность обслухсивания распределена показательно, (,(г) = е "'.